必修五一元二次不等式及其解法
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;当
a=1 时,原不等式的解集为∅;当 a>1 时,原不等式的解集为x1a<x<1
.
[规律方法] 解含参数的一元二次不等式的一般步骤
注:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.
[跟踪训练] 2.解关于 x 的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0).
[解] 原不等式移项得 ax2+(a-2)x-2≥0, 化简为(x+1)(ax-2)≥0. ∵a<0,∴(x+1)x-2a≤0. 当-2<a<0 时,2a≤x≤-1; 当 a=-2 时,x=-1; 当 a<-2 时,-1≤x≤2a.
母题探究:1.(变结论)本例中的条件不变,求关于 x 的不等式 cx2-bx+ a>0 的解集.
[解] 由根与系数的关系知ba=-5,ac=6 且 a<0.
∴c<0,bc=-56,故不等式 cx2-bx+a>0
即 x2-bcx+ac<0,即 x2+56x+16<0.
解之得x-12<x<-31
.
2.(变条件)若将本例中的条件“关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集为
[规律方法] 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为 0,使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别 式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实 根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
求方程
或 f(x)=0 的解
f(x)
有两个不等的实数解 有两个相等的实数解
x1,x2
x1=x2
没有实数解
<0 的
步骤
画函数
解不
y=f(x)
等式 的示意图
f(x)
>0 得等 f(x)
________
R
或
的 >0 集不
________
__________
f(x) 式
<0 的 解
f(x) <0
______ ______
(2)∵Δ=0,方程 x2-4x+4=0 的根是 x1=x2=2,
∴不等式 x2-4x+4>0 的解集为x|x≠2.
(3)原不等式可化为 x2-2x+3>0,
由于 Δ<0,方程 x2-2x+3=0 无解,
∴不等式-x2+2x-3<0 的解集为 R.
(4)原不等式可化为 3x2-5x+2<0,
由于 Δ>0,方程 3x2-5x+2=0 的两根为 x1=23,x2=1,
3.设一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)和 ax2+bx+c<0(a>0)的解集分 别为{x|x<x1 或 x>x2},{x|x1<x<x2}(x1<x2),则 x1+x2,x1x2 为何值?
提示:一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)和 ax2+bx+c<0(a>0)的解集分
别为{x|x<x1 或 x>x2},{x|x1<x<x2}(x1<x2),则xx11+x2=x2a= c,-ba,
[提示] 此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不 是一元二次不等式.
3.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解, 其解的集合,称为这个一元二次不等式的 . 思考:类比“方程 x2=1 的解集是{1,-1},解集中的每一个元素均可 使等式成立”.不等式 x2>1 的解集及其含义是什么?
3.2 一元二次不等式及其解法
学习目标:1.掌握一元二次不等式的解法(重点). 2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).
[自 主 预 习·探 新 知]
1.一元二次不等式的概念 只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次 不等式.
2.一元二次不等式的一般形式 (1)ax2+bx+c>0(a≠0). (2)ax2+bx+c≥0(a≠0). (3)ax2+bx+c<0(a≠0). (4)ax2+bx+c≤0(a≠0). 思考:不等式 x2-y2>0 是一元二次不等式吗?
提示:y=x2-2x-3 的图象如图所示.
函数 y=x2-2x-3 的值满足 y>0 时自变量 x 组成的集合,亦即二次函数 y=x2-2x-3 的图象在 x 轴上方时点的横坐标 x 的集合{x|x<-1 或 x>3};同 理,满足 y<0 时 x 的取值集合为{x|-1<x<3},满足 y=0 时 x 的取值集合,亦 即 y=x2-2x-3 图象与 x 轴交点横坐标组成的集合{-1,3}.这说明:
[提示] 不等式 x2>1 的解集为{x|x<-1 或 x>1},该集合中每一个元素都 是不等式的解,即不等式的每一个解均使不等式成立.
4.三个“二次”的关系:
设 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 ax2+bx+c=0 的判别式 Δ=b2-4ac
判别式
Δ>0
Δ=0
Δ<0
4.不等式-3x2+5x-4>0 的解集为________.
∅ [原不等式变形为 3x2-5x+4<0. 因为 Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0,所以 3x2-5x+4=0 无解. 由函数 y=3x2-5x+4 的图象可知,3x2-5x+4<0 的解集为∅.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
一元二次不等式的解法
提示:(1)错误.当 m=0 时,是一元一次不等式;当 m≠0 时,是一元二 次不等式.(2)错误.因为 a>0,所以不等式 ax2+1>0 恒成立,即原不等式的 解集为 R.(3)错误.当 a>0 时,ax2+bx+c<0 的解集为{x|x1<x<x2},否则不成 立.
(4)正确.因为 Δ=(-2)2-12<0,所以不等式 x2-2x+3>0 的解集为 R.
当 a>0 时,原不等式可化为x-1a(x-1)<0. 若1a<1,即 a>1,则1a<x<1;
若1a=1,即 a=1,则 x∈∅;
若1a>1,即
0<a<1,则
1 1<x<a.
综上所述,当 a<0 时,原不等式的解集为xx<a1或x>1
;当 a=0 时,
原不等式的解集为{x|x>1};当 0<a<1 时,原不等式的解集为x1<x<1a
即不等式的解
集的端点值是相应方程的根.
例 3、已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|2<x<3},求关于 x 的不等式 cx2+bx+a<0 的解集.
[解] 法一:由不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|2<x<3}可知,a<0,且 2 和 3 是方程 ax2+bx+c=0 的两根,由根与系数的关系可知ba=-5,ac=6.由 a<0 知 c<0,bc=-65,故不等式 cx2+bx+a<0,即 x2+bcx+ac>0,即 x2-65x+16>0, 解得 x<31或 x>12,所以不等式 cx2+bx+a<0 的解集为-∞,13∪12,+∞
优解 因为 A={x|x2-x-2>0},所以∁RA={x|x2-x-2≤0}={x|- 1≤x≤2},故选 B.]
3.不等式 x2-2x-5>2x 的解集是________.
{x|x>5 或 x<-1} [由 x2-2x-5>2x,得 x2-4x-5>0, 因为 x2-4x-5=0 的两根为-1,5, 故 x2-4x-5>0 的解集为{x|x<-1 或 x>5}.]
{x|2<x<3}变为“关于 x 的不等式 ax2+bx+c≥0 的解集是x-13≤x≤2
.求
不等式 cx2+bx+a<0 的解集.
[解] 法一:由 ax2+bx+c≥0 的解集为x-13≤x≤2 知 a<0.又-31 ×2=ac<0,则 c>0.
又-13,2 为方程 ax2+bx+c=0 的两个根, ∴-ba=53,∴ab=-53.
2.方程 x2-2x-3=0 与不等式 x2-2x-3>0 的解集分别是什么?观察结 果你发现什么问题?这又说明什么?
提示:方程 x2-2x-3=0 的解集为{-1,3}. 不等式 x2-2x-3>0 的解集为{x|x<-1 或 x>3},观察发现不等式 x2-2x -3>0 解集的端点值恰好是方程 x2-2x-3=0 的根.
2.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合 A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( )
A.{x|-1<x<2}
B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
B [通解 A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1 或 x>2},所以∁RA={x| -1≤x≤2},故选 B.
以原不等式的解集为xx>-12或x<-3
.
(2)原不等式可化为2x-292≤0,所以原不等式的解集为xx=94
.
(3)原不等式可化为 2x2-3x+2>0,因为 Δ=9-4×2×2=-7<0,所以
方程 2x2-3x+2=0 无实根,又二次函数 y=2x2-3x+2 的图象开口向上,所
以原不等式的解集为 R.
例 3、已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|2<x<3},求关于 x 的不等式 cx2+bx+a<0 的解集.
法二:由不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|2<x<3}可知,a<0,且 2 和 3 是方程 ax2+bx+c=0 的两根,所以 ax2+bx+c=a(x-2)(x-3)=ax2-5ax+ 6a⇒b=-5a,c=6a,故不等式 cx2+bx+a<0,即 6ax2-5ax+a<0⇒6ax-13 x-21<0,故原不等式的解集为-∞,13∪12,+∞.
∴不等式-3x2+5x-2>0 的解集为x23<x<1
.
含参数的一元二次不等式的解法
例 2、解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0.
思路探究:①对于二次项的系数 a 是否分 a=0,a<0,a>0 三类进行讨 论?②当 a≠0 时,是否还要比较两根的大小?
[解] 当 a=0 时,原不等式可化为 x>1. 当 a≠0 时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0. 当 a<0 时,不等式可化为x-a1(x-1)>0, ∵1a<1,∴x<1a或 x>1.
综上所述,
当-2<a<0 时,解集为x2a≤x≤-1
;
当 a=-2 时,解集为{x|x=-1};
当 a<-2 时,解集为x-1≤x≤2a
.
一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系
[探究问题] 1.利用函数 y=x2-2x-3 的图象说明当 y>0、y<0、y=0 时
x 的取值集合分别是什么?这说明二次函数与二次方程、二次不 等式有何关系?
[跟踪训练] 1.解下列不等式 (1)2x2-3x-2>0; (2)x2-4x+4>0; (3)-x2+2x-3<0; (4)-3x2+5x-2>0.
[解] (1)∵Δ>0,方程 2x2-3x-2=0 的根是 x1=-12,x2=2, ∴不等式 2x2-3x-2>0 的解集为
xx<-12或x>2
.
方程 ax2+bx+c=0(a≠0)和不等式 ax2+bx+c>0(a>0)或 ax2+bx+ c<0(a>0)是函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的一种特殊情况,它们之间是一种包含 关系,也就是当 y=0 时,函数 y=ax2+bx+c(a≠0)就转化为方程,当 y>0 或 y<0 时,就转化为一元二次不等式.
例 1、解下列不等式: (1)2x2+7x+3>0; (2)-4x2+18x-841≥0; (3)-2x2+3x-2<0.
[解] (1)因为 Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程 2x2+7x+3=0 有两个
不等实根 x1=-3,x2=-21.又二次函数 y=2x2+7x+3 的图象开口向上,所
_
_
步骤
思考:若一元二次不等式 ax2+x-1>0 的解集为 R,则实数 a 应满足什 么条件?
[提示] 结合二次函数图象可知,若一元二次不等式 ax2+x-1>0 的解集 为 R,则a1+>04,a<0, 解得 a∈∅,所以不存在 a 使不等式 ax2+x-1>0 的解 集为 R.
[基础自测] 1.思考辨析 (1)mx2-5x<0 是一元二次不等式.( ) (2)若 a>0,则一元二次不等式 ax2+1>0 无解.( ) (3)若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1,x2(x1<x2),则一元二次不 等式 ax2+bx+c<0 的解集为{x|x1<x<x2}.( ) (4)不等式 x2-2x+3>0 的解集为 R.( )