新定义函数-重庆中考新题型

函数图形变换

方法总结：

1．掌握函数平移的规律，包括一次函数、反比例函数和二次函数； 2．确定函数的特征点为基准移动函数，并确定移动后的解析式； 3．根据题目要求结合函数性质解决问题。

例1．我们规定：形如()ax k

y a b k k ab x b

+=≠+、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当

0a b ==时，“奇特函数”ax k y x b +=

+就是反比例函数(0)k

y k x

=≠. （1） 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；

（2） 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，

0）、（0，3）．点D 是OA 的中点，连结OB ，CD 交于点E ，“奇特函数”6

ax k

y x +=-的图象

经过B ，E 两点.

①求这个“奇特函数”的解析式；

②把反比例函数3

y x

=的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①

中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于

P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16

103

，请直接写出点P 的坐标．

例2．定义{a ，b ，c }为函数y =ax 2+bx +c 的“特征数”．如：函数y =x 2

-2x +3的“特征数”是{1，-2，3}，函数y =2x +3的“特征数”是{0，2，3}，函数y =-x 的“特征数”是{0，-1，0}

（1）将“特征数”是30,,13⎧⎫⎪⎪

⎨⎬⎪⎪⎩⎭的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是3

13

y x =

-； （2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线3x =分别交于D 、C 两点，判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长；

（3）若（2）中的四边形与“特征数”是211,2b,b 2⎧

⎫-+⎨⎬⎩

⎭的函数图象的有交点，求满足条件

的实数b 的取值范围．

变式

如果二次函数的二次项系数为l ，则此二次函数可表示为y =x 2

+px +q ，我们称[p ，q ]为此函

数的特征数，如函数y =x 2

+2x +3的特征数是[2，3]．

(1)若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标． (2)探究下列问题：

①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．

②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]

例3．如图1，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的顶点为M ，直线y =m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高．

（1）抛物线212

y x =

对应的碟宽为 ；抛物线y =4x 2对应的碟宽为 ；抛物线y =ax 2（a ＞0）对应的碟宽为 ；抛物线y =a (x -2)2+3（a ＞0）对应的碟宽为 ；

（2）抛物线2

543

y ax ax =--（a ＞0）对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值；

（3）将抛物线y =a n x 2+b n x +c n （a n ＞0）的对应准蝶形记为F n （n =1，2，3…），定义F 1，F 2，…，

F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F n 与F n ﹣1的相似比为1

2

，且F n 的碟顶是

F n ﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1． ①求抛物线y 2的表达式；

②若F 1的碟高为h 1，F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n ，则h n = ，F n 的碟宽有端点横坐标为2；若F 1，F 2，…，F n 的碟宽右端点在一条直线上，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由。

例4．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB 绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．

（1）若l：y=-2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=-x2-3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；

（3）如图②，若l：y=-2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx-4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=10，直接写出l，P表示的函数解析式．

参考答案： 例1【解析】

（1）322x y x -+=

+，是 “奇特函数”；（2）①296x y x -=-；②(7,5)或53,3⎛

⎫- ⎪⎝

⎭或715,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(5,1)-. 试题分析：（1）根据题意列式并化为32

2

x y x -+=+，根据定义作出判断.

（2）①求出点B ，D 的坐标，应用待定系数法求出直线OB 解析式和直线CD 解析式，二者联

立即可得点E 的坐标，将B （9，3），E （3，1）代入函数6

ax k

y x +=-即可求得这个“奇特

函数”的解析式.

②根据题意可知，以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ 或BQEP ，据此求出点P 的坐标.

试题解析：（1）根据题意，得，

∵，∴

.∴

.

根据定义，是 “奇特函数”.

（2）①由题意得，.

易得直线OB 解析式为

，直线CD 解析式为

，

由解得.∴点E （3，1）.

将B （9，3），E （3，1）代入函数，得，整理得，解

得.∴这个“奇特函数”的解析式为

.

②∵

可化为

，

∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就

可得到

.∴

关于点（6，2）对称.

∵B （9，3），E （3，1），∴BE 中点M （6，2），即点M 是的对称中心.

∴以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ 或BQEP . 由勾股定理得，

.

设点P 到EB 的距离为m ，

∵以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为

，