新定义函数-重庆中考新题型

函数图形变换
方法总结：
1．掌握函数平移的规律，包括一次函数、反比例函数和二次函数； 2．确定函数的特征点为基准移动函数，并确定移动后的解析式； 3．根据题目要求结合函数性质解决问题。

例1．我们规定：形如()ax k
y a b k k ab x b
+=≠+、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当
0a b ==时，“奇特函数”ax k y x b +=
+就是反比例函数(0)k
y k x
=≠. （1） 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；
（2） 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，
0）、（0，3）．点D 是OA 的中点，连结OB ，CD 交于点E ，“奇特函数”6
ax k
y x +=-的图象
经过B ，E 两点.
①求这个“奇特函数”的解析式；
②把反比例函数3
y x
=的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①
中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于
P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16
103
，请直接写出点P 的坐标．
例2．定义{a ，b ，c }为函数y =ax 2+bx +c 的“特征数”．如：函数y =x 2
-2x +3的“特征数”是{1，-2，3}，函数y =2x +3的“特征数”是{0，2，3}，函数y =-x 的“特征数”是{0，-1，0}
（1）将“特征数”是30,,13⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是3
13
y x =
-； （2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线3x =分别交于D 、C 两点，判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长；
（3）若（2）中的四边形与“特征数”是211,2b,b 2⎧
⎫-+⎨⎬⎩
⎭的函数图象的有交点，求满足条件
的实数b 的取值范围．
变式
如果二次函数的二次项系数为l ，则此二次函数可表示为y =x 2
+px +q ，我们称[p ，q ]为此函
数的特征数，如函数y =x 2
+2x +3的特征数是[2，3]．
(1)若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标． (2)探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．
②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]
例3．如图1，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的顶点为M ，直线y =m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高．
（1）抛物线212
y x =
对应的碟宽为 ；抛物线y =4x 2对应的碟宽为 ；抛物线y =ax 2（a ＞0）对应的碟宽为 ；抛物线y =a (x -2)2+3（a ＞0）对应的碟宽为 ；
（2）抛物线2
543
y ax ax =--（a ＞0）对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值；
（3）将抛物线y =a n x 2+b n x +c n （a n ＞0）的对应准蝶形记为F n （n =1，2，3…），定义F 1，F 2，…，
F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F n 与F n ﹣1的相似比为1
2
，且F n 的碟顶是
F n ﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1． ①求抛物线y 2的表达式；
②若F 1的碟高为h 1，F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n ，则h n = ，F n 的碟宽有端点横坐标为2；若F 1，F 2，…，F n 的碟宽右端点在一条直线上，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由。

例4．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB 绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．
（1）若l：y=-2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=-x2-3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图②，若l：y=-2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx-4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=10，直接写出l，P表示的函数解析式．
参考答案： 例1【解析】
（1）322x y x -+=
+，是 “奇特函数”；（2）①296x y x -=-；②(7,5)或53,3⎛
⎫- ⎪⎝
⎭或715,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(5,1)-. 试题分析：（1）根据题意列式并化为32
2
x y x -+=+，根据定义作出判断.
（2）①求出点B ，D 的坐标，应用待定系数法求出直线OB 解析式和直线CD 解析式，二者联
立即可得点E 的坐标，将B （9，3），E （3，1）代入函数6
ax k
y x +=-即可求得这个“奇特
函数”的解析式.
②根据题意可知，以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ 或BQEP ，据此求出点P 的坐标.
试题解析：（1）根据题意，得，
∵，∴
.∴
.
根据定义，是 “奇特函数”.
（2）①由题意得，.
易得直线OB 解析式为
，直线CD 解析式为
，
由解得.∴点E （3，1）.
将B （9，3），E （3，1）代入函数，得，整理得，解
得.∴这个“奇特函数”的解析式为
.
②∵
可化为
，
∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就
可得到
.∴
关于点（6，2）对称.
∵B （9，3），E （3，1），∴BE 中点M （6，2），即点M 是的对称中心.
∴以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ 或BQEP . 由勾股定理得，
.
设点P 到EB 的距离为m ，
∵以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为
，
∴.
∴点P在平行于EB的直线上.
∵点P在上，
∴或.
解得.
∴点P的坐标为或或或.
考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.
例2【解析】
（1）根据函数“特征数”写出函数的解析式，再根据平移后一次函数的变化情况写出函数图象向下平移2个单位的新函数的解析式．
（2）判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状，可根据一次函数图象向下平移2个单位与原函数图象的关系，得出AB=2，并确定为平行四边形，由直线相交计算交点坐标后，求出线段BC=2，再根据菱形的判定（邻边相等的平行四边形是菱形）得出，其周长=2×4=8；（3）根据函数“特征数”写出二次函数的解析式，化为顶点式为y=（x-b）2+，确定二次函数的图象不会经过点B和点C，再将菱形顶点A（0，1），D（）代入二次函数解析式得出实数b的取值范围．
【解析】
（1）y=（1分）“特征数”是的函数，
即y=+1，
该函数图象向下平移2个单位，得y=．
（2）由题意可知y=向下平移两个单位得y=
∴AD∥BC，AB=2．
∵，
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD为平行四边形．
，
得C点坐标为（，0），
∴D（）
由勾股定理可得BC=2
∵四边形ABCD为平行四边形，AB=2，BC=2
∴四边形ABCD为菱形．
∴周长为8．
（3）二次函数为：y=x2-2bx+b2+，化为顶点式为：y=（x-b）2+，
∴二次函数的图象不会经过点B和点C．
设二次函数的图象与四边形有公共部分，
当二次函数的图象经过点A时，将A（0，1），代入二次函数，
解得b=-，b=（不合题意，舍去），
当二次函数的图象经过点D时，
将D（），代入二次函数，
解得b=+，b=（不合题意，舍去），
所以实数b的取值范围：．
例3【解析】
试题分析：（1）根据定义可算出y=ax2（a＞0）的碟宽为、碟高为，由于抛物线
可通过平移y=ax2（a＞0）得到，得到碟宽为、碟高为，由此可得碟宽、碟高只与a有关，与别的无关，从而可得．
（2）由（1）的结论，根据碟宽易得a的值．
（3）①根据y1，容易得到y2．
②结合画图，易知h1，h2，h3，…，h n﹣1，h n都在直线x=2上，可以考虑h n∥h n﹣1，且都过F n
的碟宽中点，进而可得．画图时易知碟宽有规律递减，由此可得右端点的特点．对于“F1，﹣1
F2，…，F n的碟宽右端点是否在一条直线上”，我们可以推测任意相邻的三点是否在一条直
线上，如果相邻的三个点不共线则结论不成立，反之则成立，所以可以考虑基础的几个图形关系，利用特殊点求直线方程即可．
试题解析：（1）4；1；；．
∵a＞0，
∴y=ax2的图象大致如下：
其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．
∵△DAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，
∴OC⊥AB，∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=×90°=45°，
∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC，
∴x A=-y A，x B=y B，代入y=ax2，
∴A（﹣，），B（，），C（0，），
∴AB=，OC=，
即y=ax2的碟宽为．
①抛物线y=x2对应的a=，得碟宽为4；
②抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽为为；
③抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为；
④抛物线y=a(x﹣2)2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，
∵平移不改变形状、大小、方向，
∴抛物线y=a(x﹣2)2+3（a＞0）的准碟形与抛物线y=ax2的准碟形全等，
∵抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为，
∴抛物线y=a(x﹣2)2+3（a＞0），碟宽为．
（2）∵y=ax2﹣4ax﹣，
∴由（1），其碟宽为，
∵y=ax2﹣4ax﹣的碟宽为6，
∴=6，解得A=，
∴y=x2﹣x﹣=(x﹣2)2﹣3
（3）①∵F1的碟宽：F2的碟宽=2：1，∴=，
∵a1=，∴a2=．
∵y=(x﹣2)2﹣3的碟宽AB在x轴上（A在B左边），
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴F2的碟顶坐标为（2，0），∴y2=(x﹣2)2．
②∵F n的准碟形为等腰直角三角形，
∴F n的碟宽为2h n，
∵2h n：2h n﹣1=1：2，
∴h n=h n﹣1=()2h n﹣2=()3h n﹣3=…=()n+1h1，
∵h1=3，∴h n=．
∵h n∥h n﹣1，且都过F n﹣1的碟宽中点，
∴h1，h2，h3，…，h n﹣1，h n都在一条直线上，
∵h1在直线x=2上，
∴h1，h2，h3，…，h n﹣1，h n都在直线x=2上，
∴F n的碟宽右端点横坐标为2+．
另，F1，F2，…，F n的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=﹣x+5．
分析如下：
考虑F n﹣2，F n﹣1，F n情形，关系如图2，
F n﹣2，F n﹣1，F n的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，连接右端点，BE，EH．
∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，
∴AB∥DE∥GH，
∴GH平行且等于FE，DE平行且等于CB，
∴四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形，
∴HE∥GF，EB∥DC，
∵∠GFI=∠GFH=∠DCE=∠DCF，
∴GF∥DC，∴HE∥EB，
∵HE，EB都过E点，∴HE，EB在一条直线上，
∴F n﹣2，F n﹣1，F n的碟宽的右端点是在一条直线，
∴F1，F2，…，F n的碟宽的右端点是在一条直线．
∵F1：y1=(x﹣2)2﹣3准碟形右端点坐标为（5，0），
F2：y2=(x﹣2)2准碟形右端点坐标为（2+，），
∴待定系数可得过两点的直线为y=﹣x+5，
∴F1，F2，…，F n的碟宽的右端点是在直线y=﹣x+5上．
考点：1、等腰直角三角形；2、二次函数的性质；3多点共线例4解析：
参考题目： 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”，已知点C 的坐标为（0，
32
），点M 是抛物线C 2：y =mx 2-2mx -3m (m <0)的顶点.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限内是否存在一点P，使得∆PBC的面积最大若存在，求出∆PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当∆BDM为直角三角形时，请直接写出m的值.(参考公式：在平面直角坐标系中，若M(x1,y1)，N(x2,y2)，则M、N两点间的距离为MN=.
（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）存在，；（3）-1或-.
【解析】
试题分析：（1）将y=mx2-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到
△PBC面积的最大值；
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．
试题解析：（1）y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），
∵m≠0，
∴当y=0时，x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：
，解得，
故C1：y=x2-x-．
依题意，设点P的坐标为（n，n2-n-）(0<n<3)
则S∆PBC=S∆POC+S∆BOP-S∆BOC=××n+×3×(-n2+n+)-×3×
=-(n-)2+
∵-＜0,
∴当n=时S∆PBC的最大值是
（3）y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，顶点M坐标（1，-4m），
当x=0时，y=-3m，
∴D（0，-3m），B（3，0），
∴DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1，
MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4，
BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9，
当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．
①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，
解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；
②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，
解得m=-（m=舍去）．
综上，m=-1或-时，△BDM为直角三角形．
2．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点的坐标为（，）（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属派生点”．
例如：P（1，4）的“2属派生点”为（1+，），即（3，6）．
（1）①点P的“2属派生点”的坐标为____________；
②若点P的“k属派生点”的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P 的坐标____________；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点，且△为等腰直角三角形，则k的值为____________；
（3）如图, 点Q的坐标为（0，），点A在函数的图象上，且点A是点B的“属派生点”，当线段B Q最短时，求B点坐标．
（1）①；②（1，2）（答案不唯一）；（2）；（3）.。