方差分析与试验设计
实验设计的方差分析与正交试验
实验设计的方差分析与正交试验一、实验设计中的方差分析方差分析（analysis of variance，ANOVA）是一种统计方法，用于比较不同组之间的均值差异是否具有统计学上的显著性。
在实验设计中，方差分析主要被用来分析因变量（dependent variable）在不同水平的自变量（independent variable）中的变化情况。
通过比较不同组之间的方差，判断是否存在显著差异，并进一步分析差异的原因。
1. 单因素方差分析单因素方差分析是最简单的方差分析方法，适用于只有一个自变量的实验设计。
该方法通过比较不同组之间的方差来判断各组均值是否有差异。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差和组间方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
2. 多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上，增加了一个或多个自变量的情况下进行的。
这种方法可以用来分析多个因素对因变量的影响，并判断各因素的主效应和交互效应。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和多个自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差、组间方差和交互方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
二、正交试验设计正交试验设计是一种设计高效实验的方法，可以同时考虑多个因素和各个因素之间的交互作用，并通过较少的试验次数得到较准确的结果。
1. 正交表的基本原理正交表的设计是基于正交原理，即每个因素和其他所有因素的交互效应都是独立的。
通过正交表设计实验，可以确保各因素和交互作用在样本中能够均匀地出现，从而减少误差来源，提高实验结果的可靠性。
2. 正交试验设计的步骤（1）确定要研究的因素和水平。
实验设计及数据分析-方差分析
实验设计及数据分析-方差分析实验设计及数据分析方差分析一、方差分析的基本原理方差分析的核心思想是将观测值的总变异分解为不同来源的变异，然后通过比较不同来源变异的大小来判断因素对观测结果的影响是否显著。
总变异可以分解为组间变异和组内变异。
组间变异反映了不同组之间的差异，组内变异则反映了组内个体之间的随机误差。
如果组间变异显著大于组内变异，就说明不同组之间的均值存在显著差异，即所研究的因素对观测结果有显著影响。
二、实验设计要点1、确定研究因素和水平首先要明确研究的因素，以及每个因素的不同水平。
例如，研究不同肥料对作物产量的影响，肥料种类就是因素，不同的肥料品牌或配方就是水平。
2、选择合适的实验对象实验对象应具有代表性和随机性，以减少偏差。
3、控制无关变量在实验过程中，要尽量控制其他可能影响结果的无关变量，以确保结果的准确性。
4、确定样本量样本量的大小会影响统计检验的效力，一般来说，样本量越大，结果越可靠，但也要考虑实际操作的可行性和成本。
5、随机分组将实验对象随机分配到不同的组中，以保证各组之间的初始条件相似。
三、方差分析的类型1、单因素方差分析只考虑一个因素对观测结果的影响。
2、双因素方差分析同时考虑两个因素对观测结果的交互作用。
3、多因素方差分析涉及两个以上因素的情况。
四、数据分析步骤1、提出假设零假设（H0）：不同组之间的均值没有显著差异。
备择假设（H1）：不同组之间的均值存在显著差异。
2、计算统计量根据实验数据，计算出组间平方和、组内平方和、总平方和等，进而得到 F 统计量。
3、确定显著性水平通常选择 005 或 001 作为显著性水平。
4、查找临界值根据自由度和显著性水平，在 F 分布表中查找临界值。
5、做出决策如果计算得到的 F 统计量大于临界值，拒绝零假设，认为不同组之间的均值存在显著差异；否则，接受零假设。
五、结果解读1、查看 ANOVA 表ANOVA 表中会给出各项变异的来源、自由度、平方和、均方和 F 值等信息。
方差分析与试验设计
方差分析与试验设计方差分析是一种通过比较不同组之间的变差来判断均值差异是否显著的统计方法。
它通常用于试验设计中，用于分析不同处理组间的均值差异是否显著，从而评估不同处理的效果。
试验设计是科学研究中的一项重要工作，旨在通过科学的方法来验证研究假设。
试验设计涉及确定适当的样本大小、确定控制组和实验组、识别并控制潜在的影响因素等。
好的试验设计能够最大程度地减少偏差，提高实验的可靠性和准确性。
在方差分析中，我们通常将变量分为因素变量和响应变量。
因素变量是试验设置的处理组，例如不同的药物剂量或不同的施肥量。
响应变量是实验结果，可以是连续变量（如体重、收益等）或分类变量（如治疗成功与否）。
方差分析的基本原理是计算组内变差与组间变差之比，通过比较比值与理论的F分布来判断差异是否显著。
如果比值较大，则表明组间差异显著，即不同处理组的均值差异明显。
在进行方差分析时，我们需要满足一些前提条件，如独立性、正态性和方差齐性。
如果数据不符合这些条件，我们可以应用一些转换方法或进行非参数检验来处理。
完全随机设计是最简单的试验设计方法之一，它将实验对象随机分配到不同的处理组中。
这种设计方法适用于研究变量之间没有任何关系的情况，其优点是简单易行，但缺点是可能存在一些潜在的影响因素未被控制。
随机区组设计是一种常用的试验设计方法，它将实验对象分组后再随机分配到不同的处理组中。
这种设计方法能够控制部分潜在因素的影响，并提高实验的可靠性和准确性。
Latin square设计是一种更加复杂的试验设计方法，它在随机区组设计的基础上增加了均衡性。
Latin square设计通过交叉安排处理组和区块，使得每个处理出现在每个区块中，从而进一步控制潜在因素的影响。
除了上述常见的试验设计方法外，还有其他一些高级试验设计方法，如因子分析设计、回归分析设计等。
这些方法可以根据实验的具体要求来选择和应用。
综上所述，方差分析和试验设计是统计学中重要的概念和方法。
方差分析与实验设计(1)幻灯片
❖ 所以，方差分析是一种实用、有效的分析方 法。
6.1.2 方差分析及其有关术语
❖1.方差分析的概念 ❖2.方差分析的有关术语 ❖3.方差分析的种类
1.方差分析的概念
❖ 方差分析是检验多个总体均值是否相等的一 种统计分析方法，它是通过检验各总体的均 值是否相等来判断分类型自变量对数值型因 变量是否有显著影响。
方差分析与实验设计(1)幻 灯片
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第6章 方差分析
❖6.1 方差分析引论 ❖6.2 单因素方差分析 ❖6.3 方差分析中的多重比较 ❖6.4.1.1 引言 ❖6.1.2 方差分析及其有关术语 ❖6.1.3 方差分析的基本思想和原理 ❖6.1.4 方差分析中的基本假定 ❖6.1.5 方差分析中的F统计量
6.1.1 引言
❖ 方差分析和第七章将要介绍的回归分析都是数理统 计中最古典、最常用、应用最广泛的方法。
❖ 方差分析是由英国统计学家费歇（R.Fisher）在 1918年的著作《试验之设计》中首先提出来的，它 最初应用于农业方面的试验设计及试验结果的分析， 后来逐渐推广，现已广泛应用于工业、农业、生物、 医学等领域，成为最常用的一种统计推断方法。
对想检而验 知共。有C3 2 0435个，检验的工作量之大，可
10方差分析与试验设计
10方差分析与试验设计方差分析是一种统计学方法，用于比较多个组之间的均值是否有显著差异。
在实验设计中，方差分析可以用来确定不同处理之间的差异是否由于实验因素的变化引起，同时还可以帮助研究人员确定实验因素对结果的影响程度。
方差分析的一个重要应用是试验设计。
试验设计是一种系统地操纵和控制实验因素的方法，旨在确定因素对结果的影响。
通过合理的试验设计和方差分析，研究人员可以确定实验因素对结果的作用，找出最佳的处理组合，并进一步进行优化和改进。
在试验设计中，常用的方差分析方法有单因素方差分析、多因素方差分析和混合设计方差分析。
单因素方差分析是用于比较一个处理因素对结果的影响是否显著。
在单因素方差分析中，研究人员将被试随机分配到不同的处理组中，并对各组进行实验。
通过方差分析，可以检验不同组之间均值是否存在差异，从而确定处理因素的显著性。
多因素方差分析是用于比较两个或更多处理因素对结果的影响是否显著，并确定各因素之间以及因素与交互作用之间的关系。
在多因素方差分析中，研究人员将被试随机分配到多个处理组中，并对各组进行实验。
通过方差分析，可以判断不同因素和因素交互作用对结果的影响是否显著，并进一步分析因素之间的关系。
混合设计方差分析是将固定效应和随机效应结合起来分析的一种方法，适用于同时考虑因子固定效应和随机效应的情况。
在混合设计方差分析中，研究人员将被试随机分配到不同的处理组中，并对各组进行实验。
通过方差分析，可以确定因子的固定效应和随机效应对结果的影响是否显著，并进一步分析这些效应的大小和方向。
方差分析和试验设计在很多领域中都有广泛的应用。
例如，在医学研究中，可以使用方差分析和试验设计方法来比较不同药物的疗效；在工程领域中，可以用于优化生产过程和改进产品质量；在社会科学研究中，可以用于分析不同因素对人们行为的影响。
总之，方差分析和试验设计是统计学中重要的方法，可以帮助研究人员确定因素对结果的影响，找出最优解，并加以优化和改进。
方差分析及其在实验设计中的应用
方差分析及其在实验设计中的应用方差分析是一种重要的统计方法，它可以用于比较两个或多个样本均值之间的差异。
在实验设计中，方差分析广泛应用于确定不同处理因素对研究变量的影响程度，以及判断这些变量之间是否存在显著差异。
本文将介绍方差分析的原理和应用，并探讨其在实验设计中的重要性。
一、方差分析的原理方差分析是建立在方差的概念之上的一种统计方法。
其基本假设是各样本之间的差异仅由于抽样误差所引起，而不受其他因素影响。
方差分析的原理是将总体方差分解为不同来源的方差，然后通过比较这些方差的大小来确定样本均值之间的差异是否显著。
方差分析通常包括三个要素：处理因素、响应变量和误差项。
处理因素是指研究中的独立变量，可以有两个或多个水平。
响应变量是指研究中的因变量，用于测量不同处理因素之间的差异。
误差项是指实验过程中未被考虑到的因素所引起的差异，通常假设为服从正态分布。
二、方差分析的应用方差分析在实验设计中具有广泛的应用，其中包括以下几个方面：1. 单因素方差分析单因素方差分析用于比较一个因素（处理）对响应变量的影响程度。
例如，研究人员想要了解不同施肥水平对作物产量的影响。
他们可以设计实验，将施肥水平设为处理因素，作物产量为响应变量，然后使用方差分析来确定不同施肥水平是否对作物产量有显著影响。
2. 二元方差分析二元方差分析用于比较两个因素（处理）及其交互作用对响应变量的影响程度。
例如，研究人员想要了解药物的类型和剂量对疾病治疗效果的影响。
他们可以设计实验，将药物类型和剂量设为处理因素，治疗效果为响应变量，然后使用方差分析来确定药物类型、剂量以及它们之间的交互作用是否对治疗效果有显著影响。
3. 多因素方差分析多因素方差分析用于比较两个或多个因素（处理）及其交互作用对响应变量的影响程度。
例如，研究人员想要了解不同温度、湿度和光照条件对植物生长的影响。
他们可以设计实验，将温度、湿度和光照条件设为处理因素，植物生长为响应变量，然后使用方差分析来确定这些因素及其交互作用是否对植物生长有显著影响。
方差分析与实验设计
方差分析与实验设计方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是实验设计中常用的一种方法，可以帮助研究者确定实验结果是否受到不同因素的影响，并进一步分析这些因素对实验结果的贡献程度。
实验设计是科学研究中的重要环节，它涉及到如何选择实验对象、确定实验因素、设计实验方案等问题。
合理的实验设计可以提高实验的可靠性和有效性，减少误差的影响，从而得到更准确的结论。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组间变异与组内变异的大小来判断不同因素对实验结果的影响是否显著。
组间变异是指不同组之间的差异，组内变异是指同一组内部的差异。
如果组间变异显著大于组内变异，说明不同组之间的差异是由于实验因素的影响，而不是由于随机误差的影响。
二、方差分析的步骤方差分析的步骤主要包括：确定实验因素、选择实验对象、设计实验方案、收集数据、计算方差、进行假设检验和结果解释等。
1. 确定实验因素：首先需要明确研究的目的和问题，确定需要研究的实验因素。
实验因素是指可能对实验结果产生影响的变量，比如不同处理、不同时间、不同地点等。
2. 选择实验对象：根据实验因素的不同水平，选择适当的实验对象。
实验对象应该具有代表性，能够反映出实验因素对实验结果的影响。
3. 设计实验方案：根据实验因素的不同水平，设计实验方案。
常用的实验设计方法有完全随机设计、随机区组设计、因子设计等。
4. 收集数据：按照实验方案进行实验，收集实验数据。
数据的收集应该准确、全面、可靠。
5. 计算方差：根据收集到的数据，计算组间变异和组内变异的大小。
常用的方差计算方法有单因素方差分析、双因素方差分析等。
6. 进行假设检验：根据计算得到的方差值，进行假设检验。
常用的假设检验方法有F检验、t检验等。
7. 结果解释：根据假设检验的结果，解释实验结果。
如果差异显著，则说明实验因素对实验结果有显著影响；如果差异不显著，则说明实验因素对实验结果没有显著影响。
利用SPSS进行方差分析以及正交试验设计
利用SPSS进行方差分析以及正交试验设计方差分析是一种常见的统计方法，用于比较两个或多个组之间的差异。
正交试验设计是一种实验设计方法，能够同时考虑多个因素对结果的影响。
本文将利用SPSS进行方差分析和正交试验设计的步骤介绍，并讨论如何解读分析结果。
首先，我们将介绍方差分析的步骤。
方差分析的基本思想是比较组间和组内的变异程度。
假设我们有一个因变量和一个自变量，自变量有两个或多个水平。
下面是方差分析的步骤：1.导入数据：将数据导入SPSS软件，并确保每个变量都已正确标记。
2.选择统计分析：点击SPSS菜单栏上的"分析"，然后选择"方差"，再选择"单因素"。
3.设置因变量和自变量：在弹出的对话框中，将需要进行方差分析的因变量拖放到因素列表框中，然后将自变量也拖放到因素列表框中。
4.点击"设定"按钮：点击"设定"按钮，设置方差分析的参数，例如是否需要进行正态性检验、多重比较等。
然后点击"确定"。
5.查看结果：SPSS将输出方差分析的结果，包括各组之间的F值、p值等统计指标。
可以根据p值判断各组之间是否存在显著差异。
接下来，我们将介绍正交试验设计的步骤。
正交试验设计是一种多因素独立变量的实验设计方法，可以在较小的实验次数内获得较高的信息量。
下面是正交试验设计的步骤：1.设计矩阵：根据研究目的和独立变量的水平，构建正交试验的设计矩阵。
2.导入数据：将设计矩阵导入SPSS软件，并将每个变量的水平标注为自变量。
3.选择统计分析：点击SPSS菜单栏上的"分析"，然后选择"一般线性模型"，再选择"多元方差分析"。
4.设置因变量和自变量：在弹出的对话框中，将因变量拖放到因子列表框中，然后将自变量也拖放到因子列表框中。
5.点击"设定"按钮：点击"设定"按钮，设置正交试验设计的参数，例如交互作用是否显著、多重比较等。
方差分析与试验设计
课程名称统计学指导教师实验日期院（系）专业班级实验地点学生姓名学号同组人实验项目名称方差分析与试验设计一、实验目的通过实验掌握方差分析基本原理，对单因素方差分析、双因素方差分析以及实验设计具有初步认识。
二、实验内容城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不同的时间段对行车时间的影响，让一名交通警察分别在3个路段和高峰期与非高峰期亲自驾车进行试验，通过实验共获得30个行车时间（单位：分钟）的数据。
试分析路段、时段以及路段和时段的交互作用对行车时间的影响。
（α=0.05）三、实验步骤1.在Excel中输入实验数据2.点击【工具】→【数据分析】【方差分析：单因素分析】，单击【确定】3.输入数据区域，单击【确定】4.重复2.3.5.选择【方差分析：可重复双因素分析】，单击【确定】四、实验结果1.路段：方差分析：单因素方差分析SUMMARY2.时段：方差分析：单因素方差分析3.路段和时段的交互作用对行车时间的影响：方差分析：可重复双因素分析SUMMARY 28.1 32.4 总计34.1观测数 3 3 6 求和93.6 104.7 198.3平均31.2 34.9 33.05方差 1.39 2.83 5.79538观测数 3 3 6求和82 94.9 176.9平均27.33333 31.63333 29.48333方差8.463333 12.62333 13.9816732.4观测数 3 3 6求和69.1 81.6 150.7平均23.03333 27.2 25.11667方差 4.223333 3.61 8.341667总计观测数9 9求和244.7 281.2平均27.18889 31.24444方差16.03611 15.96778方差分析差异源SS df MS F P-value F crit 样本189.4533 2 94.72667 17.15027 0.000303 3.885294 列74.01389 1 74.01389 13.40022 0.003262 4.747225 交互0.297778 2 0.148889 0.026956 0.973463 3.885294 内部66.28 12 5.523333总计330.045 17五、实验分析1. 路段对行车时间的影响F=0.915773< F crit=3.31583,表明路段对行车时间的影响不显著。
常用试验设计的方差分析
5-2-1 二裂式裂区试验的方差分析
A1
【例3-5-2】设有一小麦中耕次数（A）和施肥量（B）试验，主处理为A，分A1、A2、A3三个水平，副处理为B，分B1、B2、B3、B4四个水平，裂区设计，重复3次（r=3），副区计产面积66m2，其田间排列和产量（kg）如下：试作方差分析．
剩余误差
6 多年、多地点试验的方差分析 ——一组相同试验方案数据的联合分析
为研究作物对多年多点环境的适应性和稳定性进行的多个 相同方案的试验。叫联合试验，如区试试验。
常采用随机区组设计，属于多个随机区组试验的联合分析。
先对各个试验分析，检验各试验误差的同质性，同质才能进行联合方差分析，不同质不可进行联合方差分析。
A1B2
A2B1
A1B3
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
1、
2、
课后作业： 1, 2, 14, 20
课堂测验：
A E D C B D B A E C B A C D E C D E B A E C B A D
3、
A1B1
A2B2
A3B3
A2B3
A3B2
A1B3
A3B1
A1B2
A2B1
A2B3
A3B2
A1B2
A2B1
A1B3
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A2B2
A1B1
A3B3
A3B1
A2B3
A3B2
A3B3
A2B2
A1B1
A1B2
A2B1
A1B3
A E D C B D B A E C B A C D E C D E B A E C B A D
表 可加模型与非可加模型的比较 注：不考虑误差
处理
方差分析与正交试验设计
第七章 方差分析与正交试验设计
一 基 本 要 求
1．了解单因素试验的方差分析；会利用正交表安排试验设计。 2．了解双因素无重复试验的方差分析及双因素有重复试验的方差分析。
二
重 点 与 难 点
重点：正确理解方差分析的基本思想及解决简单实际问题一般步骤。 难点：因子间有交互作用的正交试验设计及方差分析。
j = 1,2,3,L , r ）。设对每一个水平组合 Ai B j 做了 n 次试验（这里只讨论每个水
平所作试验次数相同的情形），试验结果为 yij1 , yij 2 ,L , yijn （ i = 1,2,3,L , k ；
j = 1,2,3,L , r ）。假定对水平组合 Ai B j 试验结果的理论值为 µ ij ，即 Eyijl = µ ij ，
$ =y −y $ = y ，α $ i = yi⋅ − y ， β µ j ⋅j $ ij = yij − yi⋅ − y⋅ j + y i = 1,2,L , k；j = 1,2,L , r γ
（7-11）
n
其中， y =
1 k r n 1 r n 1 y ， y = yijl ， y⋅ j = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ i⋅ ijl nkr i =1 j =1 l =1 nr j =1 l =1 nk
—151—
方差分析与正交试验设计
差异，这是由随机误差所引起的，因此称为误差平方和，有时也称为组内差。
2 2 一定时，若 而 S 组间 = r ∑ ( y i − y ) 2 则是由 A 的不同水平变化所引起的。所以 S 总 i =1 2 2 A 的不同水平引起的变化非常显著时，则 S 组间 较大，相应地 S 误 就较小；而 2 2 当因子 A 的不同水平引起的变化不显著时，则 S 组间 较小，相应地 S 误 就较大， 2 即数据的差别主要是由随机误差造成的。这样一来我们就可以通过比较 S 组间 2 与 S误 的相对大小，来检验因子水平改变时引起的差异是否显著。记 n = kr , k
第九章 方差分析与实验设计
第十章 方差分析与实验设计一、填空题1、在方差分析中所要检验的对象称为 。
2、在方差分析中所要检验的对象称为 ，其不同表现称为 。
3、从两个总体中分别抽取17n =和26n =的两个独立随机样本。
经计算得到下面的方差分析表：其中“A ”单元格内的结果是_________________。
4、在方差分析中，设因素的水平个数为k ，全部观测值的个数为n ，总平方和的自由度为 。
5、在方差分析中，设用于检验的行因素为R ，列因素为C ，行因素有k 个水平，列因素有r 个水平，并假设两个因素没有交互作用，残差平方和的自由度是____________。
6、在单因素方差分析中，涉及到两个变量，一个是 ，另一个是 。
7、完全随机化实验设计，必须符合 要求，必须符合 原则。
8、接受“处理”的对象或实体称为 。
9、搜集样本的计划称为 。
10、在方差分析中用于检验的统计量是 。
11、从三个总体中选取了4个观测值，得到组间方差平方和SSA=536，组内平方和SSE=828，组间均方与组内均方分别为 和 。
二、单项选择题1、在方差分析中，设用于检验的行因素为R ，列因素为C ，并假设两个因素没有交互作用，用于检验因素R 的统计量是 ( )。
A 、 SSR F SSC =B 、MSR F MSC = C 、MSR F MSE =D 、MSRF MST= 2、在双因素方差分析中，度量两个分类自变量对因变量影响的统计量是2R ，其计算公式为 （ ）。
A 、2SSR SSC R SST +=B 、2MSR MSC R MST += C 、2SSR R SST =D 、2SSC R SST=3、一次涉及因子A 的4个水平与因子B 的3个水平以及3次重复的因子试验得到的结果为SST=280，SSA=26，SSB=23，SSAB=175，在0.05α=的显著性水平下，检验因子A 的显著性，即检验假设0H ：因子A 不显著，得到的结论是（ ）。
实验设计与方差分析
试验设计与方差分析SPSS操作一、试验设计与方差分析的关系试验设计并不是一种统计方法，而是一组统计方法的统称，其主要用途在于分析自变量x的值与因变量y值之间的关系。
此外，还用于降低背景变量对理解x值与y值之间关系时的影响。
试验设计使用的最主要的统计工具是方差分析，因此，许多教材将试验设计与方差分析设计为同一部分，使用共同的概念和术语。
其实方差分析并不仅仅在试验设计领域使用，也可以用来分析观察数据。
二、基本术语例：影响某温室水果产量的主要因素有三个：施肥量、浇水量、温度。
如果想通过控制三个因素的量，找出一个最优组合来提高产量，就是实验设计与方差分析问题。
相关的术语有：自变量（因子、因素、输入变量、过程变量）：可以控制的、影响因变量的变量。
本例为施肥量、浇水量、温度。
因变量（反应变量、输出变量）：我们所关心的、承载试验结果的变量。
本例为产量。
背景变量（噪声、噪声变量、潜伏变量）：能观察但不可控的因子或因素，影响较小、达不到自变量水平。
本例可能有测量误差等。
水平（设置）：自变量的不同等级。
水平数通常不多，连续型变量需离散化取值。
如本例：施肥设1000克、1100克、1200克三个量，浇水量设200千克、220千克两个量，温度设18度、20度、22度三个量。
处理：各因子按设定水平的一个组合。
如本例：施肥1000克、浇水200千克、温度18度为一个处理。
试验单元：试验载体的最小单位。
如本例的一个温室或由一个温室分割形成的房间。
主效应与交互效应：两因子及以上试验时，各因子可能对因变量有影响，因子间的相互作用也可能对因变量有影响。
于是就有了上述概念。
有时，交互效应比主效应更重要。
如本例：施肥固定在1000克，浇水固定在200千克，18度、20度、22度三个温度条件下产量的差异，可以理解为温度的主效应；而同一温度条件下，不同的施肥量、浇水量造成的产量差异，就是交互效应。
三、试验设计的三个基本原则第一，随机化。
即采取机会均等的措施，将各种条件完全随机地配置在试验单元上。
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H0 : 1 2 r H1 : 1 , 2 ,, r , 不全相等
由于X ij 相互独立，且
(1)
X ij ~ N (i , 2 )
j 1, 2,, ni ; i 1, 2,, r.
若记
ij X ij i
( j 1,2,, ni ; i 1,2,, r )
在实践中 , 影响一个事物的因素往往是很多的 ,
人们总是要通过试验, 观察各种因素的影响. 例如:不
同型号的机器 , 不同的原材料、不同的技术人员以
及不同的操作方法等等 , 对产品的产量、性能都会 有影响. 当然, 有的因素影响大, 有的因素影响小, 有 的因素可以控制, 有的因素不能控制. 如果从多种可 控制因素中找出主要因素 , 通过对主要因素的控制、
2 r ni 2
j 1
＝ ( X ij X i ) ( X i X )
i 1 j 1 i 1 j 1
ni
QE
（组内离差）
QA
（组间离差）
QE QA
QA＝ ( X i X )2＝ ni ( X i X )2 组间离差
i 1 j 1 i 1
2
则
ij ~ N (0, ), 且相互独立
X ij i ij ij ~ N (0, 2 ) ij 相互独立 其中 j 1, 2,, ni j 1, 2,, r
其中 i 与 2 均为未知参数。 式（2）称为单因素方差分析的数学模型。
r
ni
r
反映 Ai 水平下的子样均值与总平均值之间的差异, 叫水平Ai 效应的平方和
QE ( X ij X i )2 组内离差
i 1 j 1
r
ni
反映Ai 水平下的子样均值与样本值之间的差异,它 是由随机误差引起的, 叫误差平方和.
总离差平方和的分解为：
QT QE QA
r
r
i 1
i 1
r
2
2
( r 1) ni 2 ni i ni n
2 2
r
r
r
( r 1) ni .
2 i 1 2 i
i 1 r
i 1
i 1
2 i
2
r
n
i 1 i
r
i
0
即
E (QA ) ( r 1) 2 ni i2 .
i 1
r
QT QE QA
E (QT ) ( n 1) 2 ni i2 .
i 1 r
若 H 0 : 1 2 r
则X ij ~ N ( , )且相互独立.
2
nj
2
QT
2 ( X X ) ij j 1 i 1
s
2
2
2 (n 1)
都在同一块田的五个小区各做一次实验，实验结 果如下表所示。 品种
A1
A2
A3 A4
32.3 33.3 30.8 29.3
产量（斤/小区） 34.0 34.3 35.0 33.0 36.3 36.8 34.3 35.3 32.3 26.0 29.8 28.0
36.5 34.5 35.8 29.8
试问不同品种对玉米的平均产量是否有显著影响？
QA
2
H0
~ ( r 1)
2
QA的自由度为r-1.
即：若 H 0 : 1 2 r 0 成立时，
2
QE QT ~ ( n 1), 2 ~ ( n r ), 2 ~ ( r 1).
2
2
取统计量 F QE /( n r ) 2
方差分析的任务：检验线性统计模型 () 中的各i的相等性，即有 个总体 i
H 0 : 1 2 r H 1 : i j （1.2） 至少有一对i , j
i i 等价假设：
H 0 : 1 2 r =0 ' （1.2） H 1 : i 0至少i
E (QE ) ( n r ) , E (QT ) ( n 1) 2 .
QA与QE 相互独立.
QA与QE 相互独立，QT QA QE
2 2 2 QT ~ 2 ( n 1), 2 QE 2 ~ ( n r ), 2 QT QA QE
X
j 1
ni
ij
i 1 r i 1
( Xi X )
j 1 ni
ni
( X ij X i ) ni X i ) 0
X
j 1
ni
ij
ni X i 0
(X
i
X )(
X
j 1
ij
总离差平方和分解为
QT
i 1
r
r
ni
( X ij X )2
r
ni
QA = ( X i X ) ni ( X i X )
2 i 1 j 1 r i 1
r
ni
r
2
= ni X i2 nX 2
i 1
E (QA ) E ( ni X nX ) ni E ( X ) nE ( X 2 )
2 i 2 2 i i 1 i 1
i 1
QE ( X ij X i ) ,
2 i 1 j 1
r ni
r
ni
E (QE ) ( n r ) .
2
r
QA = ( X i X )2 ni ( X i X )2
i 1 j 1 i 1
E (QA ) ( r 1) 2 ni i2 .
材料批号 1 2 3 寿命测定值（单位：小时） 1600 1610 1650 1680 1700 1700 1800 1580 1640 1640 1700 1750 1460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 1820
试问测试结果是否说明这批电子管的寿命有明显差异？
例2 设对四种玉米品种进行对比实验，每个品种
表 5.1
水平
A1 A2 A3
X11 X 21 X 31
样
X12 X 22 X 32
本
X1n1 X 2n2 X 3n3
样本均值
X1 X2 X3 Xr
Ar
X r1
Xr2
X rnr
1 Xi ni
X
j 1
ni
ij
, i 1, 2,, r .
要判断因素的各水平间是否有显著差异，也就是 要 判断各正态总体的均值是否相等，即检验假设
(2)
再令
1 r ni i n i 1 i i
n ni
i 1
r
(3)
则μ是各水平下总体均值的加权平均，称为总平均值； 这个差异称为 Ai 的效应， 它满足
i 代表了第i水平下的总体均值与平均值的差异，
n
i 1 i
r
i
0
(4)
由式(2),(3)可以得到单因素方差分析的等价数学模型
X4 X
X2
X1
A4(X4)
X 41
X4
X
A1(X1)
A2(X2)
A3
总离差平方和为
QT
＝
(X
i 1
r
r
ni
ij
X)
2
j 1
全部数据与总平均之间的 差异,又叫总变差
分解
i 1 j 1
ni
[( X ij X i ) ( X i X )]2
＝
i 1 j 1
检验此假设的问题就是方差分析.
1. 总离差平方和的分解
记在水平Ai下的样本看作一组，记组内平均为
1 Xi ni
样本总平均
X
j 1
ni
ni
ij
1 r X n i 1
r
1 r X ij＝ ni X i , n i 1 j 1
其中n ni
i 1
X 41 X 4
r
ni
( X ij X i )2
ni ij
i 1 j 1
r
ni
( X i X )2
＋2
( X
i 1 j 1
r
X i )( X i X )
下面证明交叉项为0，因为
i 1 r j 1
r
ni
( X ij X i )( X i X )
1 Xi ni
X ij i ij , i 1,2, , r ; j 1,2, , ni r 2 ~ N (0, )且相互立, ni i 0. ij i 1
(5)
式(5)表明：样本由总平均值μ 因素的水平效应αi 随机误差εij三部分叠加而成。 因而式(5)也称为线性可加模型。
i 1 j 1 r i 1
r
ni
r
= ni X nX
i 1 2 i
2
1 r X ni X i n i 1
r 1 X X ij , 其中n ni . 所以 n i 1 j 1 i 1
2 1 r 1 r E ( X ) ni i , D( X ) 2 ni 2 . n i 1 n i 1 n
QE, QA 的统计特性