第三节一维射影对应

于是 ( P0 P1 , P2 P ) ( P0 ' P1 ' , P2 ' P'' ) ( P0 ' P1 ' , P2 ' P' ).
因为P0, P1, P2互异, 故P0„, P1‟, P2„互异。
从而P‟=P‟‟， 即P l ( P ), 均有 P‟=P”=φ(P)。 故φ可以通过两次透视对应得到, 即φ满足Poncelet定义。
S (a, b, c,...)
(s)
透视中心
ห้องสมุดไป่ตู้
S ' (a' , b' , c' ,...)
透视轴
注 (1). 透视对应是两个一维基本形之间的一个双射, 保持任意 四对对应元素的交比不变. (2). 连续两次透视对应的结果显然不一定仍是透视对应 .
2. 一维射影对应的综合法定义
1. Poncelet定义 设[π], [π']为两个一维基本形. 若存在n个一维基本形[πi]
命题：圆内接四边形的一组对边的交点、位 于对边上的相邻顶点处的切线的交点和对角线的交点， 三点共线。
金鸡独立
习题选解
如果三点形ABC的边BC、CA、AB分别通过
在同一直线上的三点P、Q、R，又顶点B、C各在
一条定直线上。求证：顶点A也在一条定直线上。
证明一：因为
b(B) c(C),
Q B0 P C0 R
P C' C S A B Q b B' R A' c
R共线，故根据笛沙格
逆定理知其对应顶点的
连线AA’、BB’、CC’共点。
记b, c的交点位S，则A、A’、S 共线。若让A’固定，则A’S为定直线， 从而ΔABC的第三个顶点A也在 一条定直线上移动。
[ ]
[ ' ].
定理
Poncelet定义 Steiner定义.
证明. “=>”. 显然. “<=”. 用同一法证明点列↔点列. 设φ: l(P)→l‘(P’)为满足Steiner定义的射 影对应. 只要证φ可以表示为有限次 透视对应的积. 设P0, P1, P2为l(P)上相异三点, P为l(P)上任意一点, 且
交A2B1于X, A2C1交B1C2于Y.
因为 所以 (B1, A2, N, X) (B1, A2, N, X) (B1, A2, N, X) (O, A2, B2, C2)
(B1, Y, L, C2)。 (B1, Y, L, C2)。
又因为 B1自对应，所以 所以 A2Y，NL， XC2共点，即L，M，N共线。
素, 求作任一元素的对应元素.
(5). 思考：将(4)中 “点列” 改为 “一维基本形”. (6). 定理 两个一维基本形间的射影对应可由已知相异的三 双对应元素唯一确定.
3. 射影对应成为透视对应的条件
定理 两个同类的一维基本形之间的射 影对应成为透视对应公共元素自对应。 证明 由对偶原则, 只要考虑点列. “=>” 设点列l(P)与l‘(P’)透视对应, S为透视 中心, l×l'=X. 由于直线SX交l, l'于同一点X, 所以X自对应。 “<=” 设f: l(P)→ l‘(P’)为射影对应, 使得 f(X)=X. 设 f(P)=P'. 在l(P)上取异于X的两相异点A, B. 设f(A)=A', f(B)=B'. 则A', B' 相异且不同于X. 设AA'×BB'=S, 并设SP×l'=P''. 设φ是以S为透视中心l(P), l'(P')间的透视对应. 则因为射影对 应φ与f有相异的三双对应点重合, 即A, A'; B, B'; X, X, 从而φ=f. 于是P'=P''. 即f是透视对应. 注：由定理想到 证其为某两透视线束对应直线的交点。 证诸点共线 证诸线共点 证其为某两透视点列对应点的连线。
(i=1,2,…,n), 使得
[ ]
[ 1 ]
…
[ n ]
[ ' ] [ ]
则称由此决定的[π]到[π']的对应为一个射影对应, 记作
[ ' ].
注1. 显然 所以透视对应是射影对应的特例. 注2. 为一个保交比的双射. 注3. 有限多个射影对应的积仍然是一个射影对应. 2. Steiner定义 如果两个一维基本形之间的一个对应 : [ ] [ ' ] 满足 (1) φ为一个双射； (2) φ使得任意四对对应元素的交比相等, 则称φ为[π]到[π']的一个射影对应, 记作
例2 在△ ABC中，直径为BC的圆交AB、AC于E、 F，自这两点所引圆的切线交于点P，求证：AP⊥BC。 证明：如图，连CE、BF，延长EP交AC A 于S，延长FP交AB于T。 T S 因为 E(E, B, C, F) F(E, B, C, F) P 所以 E(EB, CF) = F(EB, CF) E F = F(CF, EB) H = F(FC, BE) C B 所以E(E, B, C, F) F(F, C, B, E) 那么由EF自对应知，此射影对应为透视对应。 所以对应直线的交点共线，即EB与FC的交点A，EC与BF 的交点H，两切线的交点P共线。 另一方面，BC是直径，故BF⊥AC，CE⊥AB，故H 是ΔABC的垂心。所以AP⊥BC。
注：对本定理的进一步思考。 (1). 利用截的方法, 可证两个线束的情况. 也可证明一个点列与一个线束的情况. (2). 推论 两个相异的同类一维基本形之间 的任一射影对应都可表为不超过两个透视对 应的积. (3). 推论 任何两个一维基本形之间的射影对应都可表为不超过 三个透视对应的积. (4). Steiner作图法 已知两点列间射影对应的三双相异的对应元
仔细观察本例的证明过程，可知 连CE、BF，延长EP交AC于S，延长FP交AB于T。 A 因为 E(E, B, C, F) F(E, B, C, F) 所以 E(EB, CF) = F(EB, CF) T = F(CF, EB) E P S = F(FC, BE) F 所以E(E, B, C, F) F(F, C, B, E) Q 那么由EF自对应知，此射影对应 B 为透视对应。所以对应直线的 C 交点共线，即EB与FC的交点 A，EC与BF的交点Q，两切线的交点P共线。
l ( P0 , P1 , P2 , P )
(P 0 ' )
m(Q0 , Q1 , Q2 , Q)
(P0)
l ' ( P0 ' , P1 ' , P2 ' , P' ' )
据Poncelet定义，有 l ( P0 , P1 , P2 , P )
l ' ( P0 ' , P1 ' , P2 ' , P' ' ) .
§3 一维射影对应
1. 透视对应(中心射影)
定义 以下三种对应称为一维基本形的透视对应
(1). 点列↔线束. 对应元素是关联的 s( A, B, C ,...) S (a, b, c,...) (2). 点列↔点列. 对应点连线共点 s( A, B, C ,...) (S) s' ( A' , B' , C ' ,...) (3). 线束↔线束. 对应直线交点共线
例1 (Pappus定理)在共面的相异二直线li
上各取相异三点Ai, Bi, Ci(i=1,2). 设
B1C 2 B2C1 L C1 A2 C 2 A1 M , A1 B2 A2 B1 N
则L, M , N三 点 共 线 .
证明 设直线A1B1与A2B2交于O, A1C2
Pappus线 (B1, Y, L, C2)
B0 与 C0 是一对对应点， R(B) Q(C) 所以 Q(C) b(B), c(C), R(B)。
B A
由QC0与RB0是对应直线，且 它们是同一条直线，即QC0与RB0 是自对应直线，所以 Q(C) R(B)。
c C
b
所以QC与RB的交点A在一条定直线（Q(C)与R(B)的透视轴）上。
证明二： 如图，设ΔA’B’C’是满足条件的任意三角形。 因为ΔA BC和ΔA’B’C’ 的对应边的交点P、Q、
( Pi ) Pi ' (i 0,1,2), ( P ) P'.
则有
( P0 P1 , P2 P ) ( P0 ' P1 ' , P2 ' P' ).
连P0'P1, P0'P2; P0P1', P0P2'. 设P0'P1×P0P1'=Q1, P0'P2×P0P2'=Q2. 连 Q1Q2=m. 连P0'P交m于Q, 连P0Q交l于P'', 设P0P'0交m于Q0, 则