第一章 张量代数基础
01张量基础
01张量基础第一章张量基础晶体的物理性质一般是各向异性的，这些性质常常需要用与方向有关的两个可测量的量之间的关系来定义，而用张量来描述，张量是晶体物理的数学基础。
第一章张量基础张量的基本知识张量的变换定律张量的几何表示法晶体对称性对晶体性质的影响晶体物理性质的相互关系1.1 张量的基本知识（1）一、标量与矢量1、标量在物理学中，常遇到这样一些量，如物体的温度、密度等等，它们都与方向无关。
这些无方向的物理量，称为标量（也称零阶张量）。
它们完全由给定的某一数值来确定。
1.1 张量的基本知识（2）2、矢量与方向有关的物理量，称为矢量（也称一阶张量）。
它们不仅有大小，而且有一定的方向。
如电场强度、电位移、温度梯度等都是矢量。
矢量用上方带箭头的字母表示，如电场强度可表示为 E 。
矢量还可以用直角坐标系（x1,x2,x3 ）中三个坐标轴上的分量来决定它的大小和方向，于是就可以 E 写成： E = [E , E , E ]1 2 3——字母的下标1、2、3分别代表x1, x2, x3轴。
这样，当坐标轴选定后，矢量就完全由其在这些轴上的分量来确定。
1.1 张量的基本知识（3）二、二阶张量在各向同性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的方向永远保持一致，在电场强度不高的情况下，两者成线形关系，因此，它们间的关系可以直接表示为：D =εEε——介电常数在各向异性介质中，电场强度矢量 E 和电位移矢量 D 的 E 方向经常不一致，因此， D 在三个坐标轴上的分量都与的三个分量相关，此时，它们间的关系可表示为：D1 = ε 11 E1 + ε 12 E 2 + ε 13 E3 D2 = ε 21 E1 + ε 22 E 2 + ε 23 E3 D3 = ε 31 E1 + ε 32 E 2 + ε 33 E31.1 张量的基本知识（4）即D1 ? ? ε 11 ε 12 ? ? ? ? D2 ? = ? ε 21 ε 22 ? D ? ?ε ? 3 ? ? 31 ε 32ε 13 ?? E1 ? ?? ? ε 23 ?? E 2 ? ?E ? ε 33 ? ?? 3 ?ε 11 ε 12 ε 13 方形表ε 21 ε 22 ε 23 就是一个二阶张量。
《张量基础知识》课件
线性变换是指一个向量到另一个向量的映射，保持向量的加法和数乘运算。
3 奇异值分解(SVD)
奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵乘积的形式，被广泛应用于数据降维和信号处理。
总结
1 张量的概述
2 张量的运算和应用
张量是一种多维数组，用于表示和处理多 维数据。
《张量基础知识》PPT课 件
# 张量基础知识
什么是张量？
1 张量的定义
张量是一种多维数组， 用于表示和处理多维数 据。它具有多个轴和形 状，可以存储和计算多 维数据。
2 张量的基本特征
张量具有数据类型、维 度和形状。它可以是标 量、向量、矩阵或更高 维度的数组。
3 张量的分类
张量根据维度和形状的 不同可以分为标量、向 量、矩阵和高阶张量。
2 张量的象性
3 张量的幺模性
张量的象性描述了张量 在基向量变换下的行为。 张量的象性可以用来研 究线性变换和坐标变换。
张量的幺模性表示张量 在坐标变换中的不变性。 幺模张量在物理和拓扑 学中具有重要应用。
张量的相关概念
1 秩(rank)
秩是张量的非零元素的个数。秩为0的张量是标量，秩为1的张量是向量。
张量具有丰富的运算和广泛的应用，涵盖 物理学、数学和机器学习等领域。
3 张量的性质和相关概念的介绍
4 知识点总结
张量具有特定的性质和相关概念，如对称 性、象性和幺模性。
总结张量基础知识的关键概念和要点。
Q&A
1 相关问题解答
回答听众提出的与张量基础知识相关的问题。
2 课程结束
感谢听众参与本次张量基础知识课程， 张量乘法
张量加法是对应位置元素的相加操作。两 个形状相同的张量可以直接相加。
数学物理学中的张量代数与微分几何
数学物理学中的张量代数与微分几何张量代数与微分几何是数学物理学中两个重要的分支，它们有很大的交叉点。
张量代数是关于张量的理论，而微分几何是研究曲面和曲线的理论，它们是数学物理学中重要的基础概念。
本文主要介绍张量代数和微分几何的基础知识及其应用。
1、张量代数的基础知识张量是一种适用于多维空间的数学对象，它是一个多维数组，可以表示多种物理量。
例如，一个向量可以用一个三维数组表示，而一个线性变换则对应一个二阶张量。
张量有很多性质，如对称性、反对称性等，这些性质对物理学有着重要的意义。
张量代数是关于张量的理论，它研究张量的代数性质，包括张量的加法、乘法、求逆等运算。
一个张量可以看作是一个多维数组，一般用上标和下标来表示。
上标表示协变量，下标表示逆变量，两个下标位置相同的张量相乘得到的是一个数，而两个不同位置的张量相乘得到的是一个新的张量。
张量的乘法有两种形式：内积和外积。
内积是将两个张量按照规则相乘后对某些下标求和得到的新张量；外积则是将两个张量按照规则相乘后得到的新张量。
内积和外积的规则不同，因此它们得到的结果也不同。
2、微分几何的基础知识微分几何是研究曲线和曲面的性质的学科，它是数学物理学中的基础概念。
微分几何研究的问题包括曲面的曲率、曲面的平移、曲面的旋转等。
微分几何的一个基本概念是曲率，它描述了曲线和曲面的弯曲程度。
曲线上的曲率表示了曲线在某点处的弯曲程度，曲面上的曲率则表示了曲面在某点处的弯曲程度。
曲率是微分几何中的一个重要概念，它对研究流形和张量的性质有着重要的影响。
微分几何还研究了曲线和曲面的平移和旋转的性质。
平移是指将曲线或曲面沿着平移向量移动得到的新曲线或新曲面，而旋转则是指将曲线或曲面围绕旋转轴旋转得到的新曲线或新曲面。
这些运动对曲线和曲面的局部性质有重要影响，如曲率的变化等。
3、张量代数与微分几何的应用张量代数和微分几何在物理学中有着广泛的应用。
例如，广义相对论就是利用了微分几何的概念来描述弯曲的时空结构。
高一数学中的张量初步怎么入门
高一数学中的张量初步怎么入门在高一数学的学习中，张量是一个相对较新且具有一定难度的概念。
但别担心，只要掌握了正确的方法和思路，入门张量并非遥不可及。
首先，我们来理解一下什么是张量。
简单来说，张量是一种数学对象，它可以用来描述物理、工程等领域中的各种现象和问题。
张量可以看作是向量和矩阵的推广，具有多个维度和分量。
那为什么要在高一学习张量初步呢？这是因为张量在现代科学和技术中的应用越来越广泛，提前接触和了解张量的概念，有助于为今后更深入的学习打下基础。
接下来，我们谈谈如何入门张量。
一、扎实掌握基础知识要理解张量，必须先有扎实的向量和矩阵知识。
向量是具有大小和方向的量，比如力、速度等。
矩阵则是一个按照矩形排列的数表。
熟练掌握向量的运算，如加法、减法、数乘、点乘和叉乘，以及矩阵的运算，如加法、乘法、转置等，是理解张量的重要前提。
同时，对于线性代数中的一些基本概念，如线性空间、线性变换等，也要有一定的了解。
这些知识能够帮助我们更好地理解张量的性质和运算规律。
二、从直观示例入手在学习张量的过程中，多接触一些直观的示例会很有帮助。
比如，在物理学中，应力张量可以用来描述物体内部的受力情况；在流体力学中，速度梯度张量可以描述流体的流动特性。
通过这些实际的例子，我们能够更直观地感受到张量的作用和意义。
我们可以想象一个正方体的物体，在不同的方向上受到不同大小的力。
为了准确描述这种受力情况，就需要用到应力张量。
应力张量中的每个分量都代表了在某个方向上的应力大小。
三、理解张量的指标和分量张量通常用指标来表示其维度和分量。
例如，一个二阶张量可以用两个指标来表示其分量。
在学习过程中，要学会正确地读写张量的指标和分量，并理解它们所代表的物理意义。
假设我们有一个二阶张量 T，用 Tij 表示其分量，其中 i 和 j 分别表示行指标和列指标。
通过对不同指标的组合，可以得到张量的所有分量。
四、掌握张量的运算张量的运算包括加法、减法、数乘、张量积等。
第一章张量分析基础知识
第⼀章张量分析基础知识晶体物理性能南京⼤学物理系由于近代科学技术的发展，单晶体⼈⼯培养技术的成熟，单晶体的各⽅⾯物理性能（如⼒、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作⽤的物理效应，在各尖端科学技术领域⾥，都得到了某些应⽤．特别是⽯英⼀类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电⼦技术中，⽐较早地在⼯业规模上进⾏⼤批⽣产和⼴泛应⽤．激光问世的四⼗多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应⽤中，已成单晶体应⽤中极为活跃的领域．《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之⼀，⽬的就是希望对晶体特别是光电技术中使⽤的晶体（包括基质晶体与⾮线性光学晶体）的有关物理性能及其应⽤⽅⾯的基本知识，有⼀个了解．对今后从事光电晶体的⽣长、检测和应⽤的⼯作，在分析问题、解决问题⽅⾯有所帮助，同时要在今后⼯作中不断从实践和理论两个⽅⾯扩⼤知识领域，有⼀个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个⽅⾯作深⼊全⾯的介绍，也将侧重于激光晶体有关的⼀些性能及其应⽤．鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离⼦晶体为主要对象，以光电技术上应⽤为线索组织内容，共分为⼋章．着重于从宏观⾓度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作⽤过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应⽤，包括弹性与弹性波（第⼆章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第⼋章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、⽅便地描述这些物理性能必须使⽤张量来表⽰．因此，在第⼀章，我们介绍了关于张量分析基础知识⽅⾯的内容．由于⽔平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因⽽内容安排不妥、取舍不当、错误之处⼀定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．第⼀章张量的基础知识§１．１标量、⽮量和⼆阶张量…………………………………………………………………２§１．２坐标变换和变换矩阵……………………………………………………………………§１．３正交变换矩阵的性质……………………………………………………………………§１．４晶体对称操作的变换矩阵……………………………………………………………§１．５⼆阶张量的变换与张量的定义………………………………………………………§１．６张量的⾜符互换对称…………………………………………………………………§１．７张量的矩阵表⽰和矩阵的代数运算…………………………………………………§１．８⼆阶对称张量的⼏何表⽰和⼆阶张量的主轴………………………………………§１．９⼆阶对称张量主轴的确定……………………………………………………………§１．10晶体张量与晶体对称性的关系………………………………………………………第⼆章晶体的弹性与弹性波§２．１弹性性质与原⼦间⼒…………………………………………………………………§２．２应变……………………………………………………………………………………§２．３应⼒……………………………………………………………………………………§２．４推⼴的虎克定律、弹性系数…………………………………………………………§２．５⽴⽅晶体的弹性系数…………………………………………………………………§２．６各向同性材料的弹性系数……………………………………………………………§２．７弹性扰动的传播――弹性波…………………………………………………………§２．８简谐振动和驻波……………………………………………………………………§２．９弹性常数及振动衰减因⼦的测量⽅法……………………………………………第三章晶体的介电性质§３．１介质中的宏观电场强度与极化强度………………………………………………§３．２晶体中的有效场……………………………………………………………………§３．３⾼频电场的介电极化（光的⾊散与吸收）………………………………………§３．４介电常数的测量……………………………………………………………………§３．５离⼦晶体的静电击穿………………………………………………………………§３．６激光的电击穿（激光的电击穿损伤）……………………………………………第四章铁电与压电物理§４．１铁电体的⼀般性质…………………………………………………………………§４．２常⽤铁电体的实验规律……………………………………………………………§４．３铁电体的相变热⼒学………………………………………………………………§４．４铁电体相变的微观机制……………………………………………………………§４．５晶体的压电效应……………………………………………………………………§４．６压电⽅程和机电耦合系数…………………………………………………………§４．７压电晶体的应⽤实例――⽯英……………………………………………………第五章晶体光学§５．１光学各向异性晶体…………………………………………………………………§５．２各向异性介质中光的传播…………………………………………………………§５．３折射椭球与折射率曲⾯……………………………………………………………§５．４晶体表⾯上的折射…………………………………………………………………§５．５晶体偏光⼲涉及其应⽤……………………………………………………………第六章倍频与参量频率转换§６．１⾮线性极化…………………………………………………………………………§６．２⾮线性极化系数……………………………………………………………………§６．３⾮线性介质中电磁场耦合⽅程……………………………………………………§６．４光倍频………………………………………………………………………………§６．５光倍频的相匹配……………………………………………………………………§６．６第II类相匹配………………………………………………………………………§６．７⾓度匹配和温度匹配扫描实验曲线………………………………………………§６．８内腔倍频……………………………………………………………………………§６．９光参量放⼤…………………………………………………………………………§６．10参量振荡器…………………………………………………………………………§６．11参量振荡器的调谐⽅法……………………………………………………………§６．12参量频率上转换……………………………………………………………………§６．13⾮线性材料的性能要求……………………………………………………………第七章电光效应及其应⽤§７．１线性电光效应………………………………………………………………………§７．２两种典型材料的电光效应…………………………………………………………§７．３电光滞后……………………………………………………………………………§７．４电光调制原理………………………………………………………………………§７．５实际调制器的⼏个问题……………………………………………………………§７．６晶体电光开关………………………………………………………………………§７．７电光Q开关…………………………………………………………………………§７．８电光偏转……………………………………………………………………………§７．９电光材料……………………………………………………………………………§７．10晶体均匀性的实验检测……………………………………………………………§７．11晶体的激光损伤……………………………………………………………………§７．12晶体均匀性实验检测………………………………………………………………第⼋章声光效应及其应⽤§８．１弹光效应……………………………………………………………………………§８．２声光交互作⽤产⽣的衍射现象……………………………………………………§８．３声光交互作⽤的理论………………………………………………………………§８．４声光效应在⼀些物理常数测量中的应⽤…………………………………………§８．５声光调制器…………………………………………………………………………§８．６声光偏转器…………………………………………………………………………§８．７声光调Q……………………………………………………………………………§８．８声光材料……………………………………………………………………………附录A．３２点群投影图…………………………………………………………………………B．各阶张量在不同点群中的矩阵形式……………………………………………………C．主要常数表………………………………………………………………………………D．单轴晶体中光线离散⾓α的推导………………………………………………………E．双轴晶体中双折射⾯相差Γ的推导……………………………………………………F．贝塞尔函数的基本性质…………………………………………………………………第⼀章张量分析基础知识以前学的课程中，有关⼒学、热学、电学、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以⼀维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因⽅⾯是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的⼒学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，⽽晶体的各向异性却是⼀种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、⾮线性光学效应……等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来．因此，晶体结构对称性和这些性质之间的关系成为问题的主要⽅⾯。
第一章 张量初步
1
上式两端同时点乘g1得到
所以 同理
g
2
1 g 1 g c g 1 ( g 2 g 3 ) c[ g 1
1
g2
g3 ] c
g
g
1
1 g
( g2 g3 )
1 g
( g 3 g1 ) ( g1 g 2 )
13
g
3
1 g
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x
1
e 1
x
2
e 2
x
3
e 3
x
k
ek
16
空间点的局部基矢量
下面证明：空间一点的局部逆变基矢量可表示为坐标面的
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梯度，即
g x
i i
x x
i k
ek,
i , k 1, 2 , 3 x x
i k
i i ik ik
det( j ) det( g g kj ) 1
i ik
这再次证明(gij)与 (gij)互为逆矩阵。
12
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g g j j,
i i
i , j 1, 2 , 3
由上式可知，逆变基矢量g1与协变基矢量g2 、 g3垂直， 可以用协变基矢量g2 、 g3的叉积表示逆变基g1：
dr
g ij g
i
dx g idx
gi g j ,
i , j 1, 2 , 3
称为度量张量G=(gij)的分量。
9
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g ij g i g j ,
i , j 1, 2 , 3
[工学]第一章 张量分析初步
![[工学]第一章 张量分析初步](https://img.taocdn.com/s3/m/6e564091fd0a79563c1e72c5.png)
2 x j
(
xi
)
两个特殊符号
两个特殊符号
为书写的方便，可以使用kronecker符号和排列符号简化书 写。
kronecker符号
定义
1 i j ij 0 i j
11 22 33 1 12 21 13 31 23 32 0
例题
Qii, S展开？ 步骤：分析i,指标类型？字母类型？再展开 2. 写出a=Aijbicj的展开式。
1. 3. 4.
5.
写出 ti ji n j 的展开式。 写出 bik b jk ij 的展开式。 u j 的展开式。 ?写出 1 ui
eij
6.
1 ?写出 w 2 ij eij 的展开式。
第一章 张量分析初步
第一章 张量分析初步
本章学习目的 引入最基本的张量概念，为今后学习应变张量、 应力张量、广义虎克定律和弹性波方程等专业概 念及运算做准备。是本门课的数学基础。 ? 1 已学习过的物理量
标量？ 向量？
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a 21 x1 a 22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
2
有了标量和向量是否足够描述自然现象？
如何用一个最简单 的式子来表示？
用矩阵？ 还有更简单的表示方法吗? aij x j bi 可总结为： aij, xj, bi是些什么量？
§1.1 指标记号及两个特殊符号
指标记号
空间有个坐标系OXYZ，P (x, y, z)是其中的一点，坐 z 标为：x, y ,z P(x, y, z) 直角坐标系中的基向量：
张量第一章
系中也必为零。
2、设，为r阶张量，方程
为张量方程。在张量方程中的每一项都有相同的张量特性。因此在
所有能够容许变换到的坐标系普遍有效。
若将张量方程两边同乘以变换系数，则
所以方程具有张量性质。
张量分析的重要性在于，由物理关系得到的方程如果是张量方程，
那它就在所有容许变换的坐标系成立了，避免了它在各种不同坐标系中
张量相乘提高了阶数，又称为张量外积。
3、 张量的缩并 对r阶张量进行缩并，就是对张量的某两个指标求和（如使j=k），
所得到的仍是张量，阶数比缩并前的原张量少2，即变为r-2阶张量。 缩并使张量降阶，又称为张量内积。 例如：对三阶张量，使j=k，缩并为 缩并也可由乘法定义。
例：对的j、k进行缩并，则 二阶张量缩并后得到标量，是它的不变量。
变换，则这九个量的集合称二阶张量，每个元素称张量分量。 为单位二阶张量
二阶张量分量可组成一个二阶张量矩阵。 二阶张量的另一个定义： 设,为任意矢量的分量，若九个分量能与它们构成标量
则这九个分量定义一个二阶张量。 高阶张量定义： 在三维空间中，当直角坐标系旋转变换到时，基矢量和坐标按前述
规律变化。如果中确定的个分量与在中确定的之间服从相同的变换规 律，即按式
个张量中的每一个分量，它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
例如：一矢量乘以一个二阶张量，乘积为 = 为一个三阶张量。
张量乘法服从分配律和结合律，但不服从交换律。 高阶张量的乘积也可表示为不变式。张量与的乘积表示为（，可以 是任意阶张量）
五：求导的简化法
数量场Φ的梯度
向量场散度：
向量场的旋度：
§1.2 坐标变换
张量的概念
第一章 张量的概念§ 1.1 引言什么是张量？这是读者在开始学习本课程时会提出的问题，现从读者已有的力学知识出发，举例对这个问题作一些初步的阐述，使读者对张量这个新的概念，有个初步的理解。
有三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某些参考坐标系中，有三个分量，这三个分量的集合，规定了这个矢量。
当坐标变化换时 ，这些分量按一定的变换法则变换。
在力学中还有一些更复杂的量。
例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛σσσσσσσσσ=σzz zyzxyz yy yxxz xy xx ij 这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。
当坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换，再如，一点的应力状态，具有和应力张量相似的性质，称为应变张量。
把上述的力矢量、速度矢量、应力张量、应变张量等量的性质抽象化，撇开它们所表示的量的物理性质，抽出其数学上的共性，便得出抽象的张量概念。
所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。
张量有不同的“阶”和“结构”，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。
矢量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶、......等高阶张量。
可以看出，张量是矢量概念的推广。
关于张量的严密的解析定义，将在 § 1.8中讨论。
由张量的特性可以看出，它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方式。
采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其它坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。
这使它特别适合于表达物理定律，因为物理定律与人们为了描述它所采用的坐标系无关。
因此，张量分析为人们提供了推导基本方程的有力工具。
此外，张量记法简洁，是一种非常精炼的数学语言。
张量这个名词是沃伊特（V oigt ）首先提出的，用来表示晶体的应力（张力）状态，可见张量分析与弹性力学关系的密切。
第一章-矢量和张量(1)
矢量与张量为什么学习张量1. 物理量： 标量 矢量 张量2. 客观性： 客观规律与坐标系（观察者）无关第一章：矢量 矢量：1.方向性2.合成结果与顺序无关不符合这两点要求的不是矢量。
转动具有大小和方向 但由于不满足交换律（第2要素），因而不是矢量。
基本运算：1. 点积 abcos ⋅=θa b a 与b 在a 上的投影之积。
分配律：()⋅+=⋅+⋅a b c a b a c 证明：+b c 的投影等于b 的投影与c 的投影之和 推论：① ()()α+β⋅λ+γ=αλ⋅+αγ⋅+βλ⋅+βγ⋅a b c d a c a d b c b d ② ()111223311b b b b ⋅=++⋅=b e e e e e ③ ()()()333i i j j i i i 1i 1i 1a b a b ===⋅=⋅=∑∑∑a b e e2.叉积 absin ⨯=θa b n有方向的平行四边形面积3混合积 ()⋅⨯u v w 六面体体积改变六面体底、高顺序 可证：()()()⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯u v w v w u w u v推论：① 叉积分配律：()⨯+=⨯+⨯a b c a b a c 证明：()()()()()()()⋅⨯+=+⋅⨯=⋅⨯+⋅⨯=⋅⨯+⨯v a b c b c v a b v a c v a v a b a c上式对任何矢量v 都成立，所以()⨯+=⨯+⨯a b c a b a c② ()()α+β⨯λ+γ=αλ⨯+αγ⨯+βλ⨯+βγ⨯a b c d a c a d b c b d ③ ()()112233112233a a a b b b ⨯=++⨯++a b e e e e e e123231312123123231312123a a a a a a a a a b b b b b b b b b ==-+e e e e e e ④ ()⨯⋅=a b c 231312123231312a a a a a a c c cb b b b b b -+123123123c c c a a a b b b = ⑤ ()()21232123123u u u v v v w w w ⋅⨯=u v w wuvT123123123123123123u u u u u u v v v v v v w w w w w w ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅u u u v u w v uv vv ww u w v w w线性相关：一组矢量i (i=1,2,k)a 中至少有一个矢量可以用其余的矢量线性组合表示：()j i i i j≠=α∑a a线性无关：()ki i i 1=α=∑a 0等效于i 0α=(i=1,2,k)三维空间中三个线性无关的矢量,,a b c ,如果其线性组合111111112223222223323323a b c 0a b c 0a +b +c =0a b c 0a b c 0a b c 0α⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ααα⇒α= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥α⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭ 则i 0α=，说明系数矩阵满秩。
张量的基本性质
1 0 i j i j
ei e j ij
若
e1 , e 2 , e3
是相互垂直的单位矢量，则
ei e j i j
，但
ei ei e1 e1 e 2 e 2 e3 e3 3
……
A3k B3k A31B31 A32 B32 A33 B33 C33
1.3 Kronecker 符号
在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
1, i j （kronecher delta） i j 0, i j
i j 可确 其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 定一单位矩阵：
S aij xi x j
i 1 j1
3
3
展开式（9项）
S a11 x1 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a21 x2 x1 a22 x2 x2 a23 x2 x3 a31 x1 x1 a32 x1 x2 a33 x1 x3
S aijk xi x j xk aijk xi x j xk
S a1 x1 a2 x2 an xn ai xi a j x j ak xk
i 1 j1 k 1 n n n
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。
i 1 j1 k 1
3
3
3
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题：
张量第一章
第一章 笛卡儿张量§1.1 指标表示法一：指标标号，自由指标x x =1 y x =2 z x =3 i x 1=i ，2，3基矢量i e =1 j e =2 k e =3i e 1=i ，2，3 任意一个矢量 i a 1=i ，2，3 332211e a e a e a a ++=二：求和约定 哑标在一个单项式中，同一个指标重复出现两次，则将该指标按顺序1，2，3轮换求和。
该重复出现的指标为哑标。
如：332211b a b a b a b a i i ++=三：Kroneker ij δ⎨⎧≠==ji j i ij1δii δ=3 ， ijj i j ij ij i j ij ijhj ih e e x x x a δλδαλδδδ=-=-=)(四：Levi —Civita 符号 i j k e⎪⎩⎪⎨⎧-=非循环序列逆循环序列（循环序列),,(0),,1),,(1k j i k j i k j i e ijk1、循环序列： 1312231123===e e e2、逆循环序列： 1132213321-===e e e3、非循环序列： i ,j ,k 中有两个以上的指标取相同值4、奇置换和偶置换： 在i ,j ,k 的具体序列中将指标顺序进行调换，奇数次为奇置换，偶数次为偶置换，序列偶置换属于原序列，奇置换则 循环↔逆循环，非循环序列任何置换均为非循环序列。
kj ijk i kk j j i i k j i ijk b a e c b a e b a c e c c e b b e a a ba c a a a e a a a a a a a a a a ==⨯====⨯===222321333231232221131211五：求导的简化法()()i ix ,=∂∂()i ix ,ϕϕ=∂∂()jk i kj i u x x u ,2=∂∂∂数量场Φ的梯度 i i e e x e x e x g r a d ,332211φφφφφ=∂∂+∂∂+∂∂=向量场v 散度： i i v x v x v x v v d i v ,332211=∂∂+∂∂+∂∂=向量场的旋度：ki j k i j e e v e x v x v e x v x v e x v x v r o t v ,321122133113223)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=§1.2 坐标变换旧坐标系 321x x ox ：321,,e e e新坐标系 321x x x o ''' ：321,,e e e ''''11新旧坐标系间方向余弦为：332313333222122231211111332211)()()()()()('''''''''''''''αααααααααe x e x e x e x e x e x则新旧坐标关系为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''''''''''''321332313322212312111321x x x x x x ααααααααα ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''''''''321333231232221131211321x x x x x x ααααααααα j j i i x x '='α k j k j x x ''=α基矢量关系为j j i i e e ''=α k j k j e e ''=α k i j k j i ''''=δαα jk k i j i δαα='' 即变换系数矩阵为正交矩阵对a ， j j i i e a e a a =='' k j k j i i e a e a ''''=α 两边点乘j e ' ，有： j j j j a a ''=αj j i i a a ''=α k j k j a a ''=α即：矢量分量变换与坐标变换服从相同规律。
弹性力学-张量
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母替代。
为简化体现式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中反复一次，就表达对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这么反复旳指标称为哑标。
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
1
例如： e123 e231 e312 1 3
k
循环方向 j
1 若(i, j,k) (1,2,3)或(2,3,1)或(3,1,2)时 正排列顺序
eijk －1 若(i, j,k) (2,1,3)或（1，3，2）或（3，2，1）时 逆排列顺序
0 若i, j,k中任意两指标相同时
1
1
3
2
eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27个元素
ai，i
ai xi
a1 x1
a2 x2
a3 x3
ij, j
ij
x j
i1
x1
i2
x2
i3
x3
*若反复出现旳标号不求和，应尤其申明
1.2.3 自由指标
一种体现式中假如出现非反复旳标号或一种方程每项中出现非
反复旳旳指标，称为自由指标。对于自由指标能够从最小数取
到最大数。
例如
xi aijxj
aij x j xi (aij ij )x j
② 微分运算
xi x j
xi, j
ij
aii a jk
jk
aij aklBiblioteka 1 2(ik
jl
il jk )
张量代数1
第一部分第一章 张量代数本章的目的是要简略地介绍张量代数的基本知识。
首先从指标记法开始，然后用坐标变换的方法引进张量的概念，接着讲述张量代数的基本知识。
为大家便于接受，这里讲述直角坐标系下的卡氏张量。
1.1指标记法1.求和约定与哑指标 考虑和式n n X a X a X a s +++= 2211 (a) 我们可以用普通的求和符号把上式写成如下形式：∑==ni ii Xa S 1(b)当然，方程(b)也可以写成∑==nj jjXa S 1(c)∑==nm m mX aS 1(d)等等。
方程(b)中的指标i ，方程(c)中的指标j 和方程(d)中的指标m ，皆与求和无关，所用字母可以任意选取。
如果采用下列约定，还可以进一步简化方程(a)的写法：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对所该指标求和，指标取遍整数1，2……n 。
这样重复的指标，称为哑指标。
这个指标就是有名的爱因斯坦(Einstin )求和约定。
按照这个约定，和式(a)可以写成下列紧凑的形式：i i X a S = (e) 在此需要强调的是，诸如i i i X b a 这样表达式不在此约定范围之内。
换言之，如果应用求和约定，指标重复不能多于一次。
因此，对于下列的表达式必须保留它的求和符号：∑=ni ii i Xb a 1另外，如无特别声明，本书总取n=3，n 表示空间维数。
例如 332211X a X a X a X a i i ++= 332211a a a a ii ++= 332211e e e e a a a a i i ++=显然求和约定出可以用来表示双重和式，三重和式等等。
例如∑∑===3131i j j i ijX X aS (f)用爱因斯坦求和约定可将上式简写成j i ij X X a S = (g) 展开之，表达式(g)给出九项之和，即 j i ij X X a S =311321121111X X a X X a X X a ++= 322322221221X X a X X a X X a +++333323321331X X a X X a X X a +++对于初学者，可把上述展开分成两步进行，即首先对i 求和，然后再对j 求和(反之亦然)，即j j j j j j j i ij X X a X X a X X a X X a 332211++= 而31132112111111X X a X X a X X a X X a j j ++=32232222122122X X a X X a X X a X X a j j ++= 33332332133133X X a X X a X X a X X a j j ++=类似地，可把三重和式∑∑∑====313131i j k k j i ijX X X aS (h)简写成为k j i ijk X X X a S = (i)显然，上述三重和式表示27项之和。
第1章 张量分析基础剖析
张量分析与连续介质力学教材：《The Mechanics and Thermodynamics of Continua》M.E. Gurtin, E. Fried, L. Anand. Cambridge University Press, 2010教学参考书：1、《An Introduction to Continuum Mechanics》, M.E. Gurtin, AcademicPress, 1981. （中译本：郭仲衡等译，连续介质力学引论，高等教育出版社，1992）2、《连续介质力学基础》，熊祝华等，湖南大学出版社，19973、《连续介质力学基础》，黄筑平，高等教育出版社，20034、《非线性连续介质力学》，匡正邦，上海交大出版社，2002x vy第一章张量分析基础第一节矢量和张量代数一、矢量代数本课程只在三维欧氏空间 内讨论连续介质力学的基础原理。
1、点——反应一定的空间位置，由x表示2、矢量——具有大小和方向且满足一定规则的空间实体，用v来表示。
（两点间的距离可由一矢量表示）（点x和矢量v之和是另一个点y）3、矢量的点积和叉积1）点积（θ为两个矢量间的夹角）u 表示矢量的大小，为一标量，有u u u ⋅=。
2）叉积w v u =⨯ （为一新的矢量）v u ⨯表示由u 和v 构成的平行四边形的面积。
θsin v u v u =⨯且u w ⊥，v w ⊥3）混合积()w v u ⨯⋅()w⋅表示由u，v和w三个矢量围成的体的体积。
vu⨯●如果该体的体积不为零，则称u，v和w线性无关。
●如果对于不为零的常数a，b，c，有：u cabv+w=+则称u，v和w线性相关。
不满足线性相关的矢量则是线性无关的。
4、矢量空间及其性质由欧氏空间ε中对应的点构成的矢量形成的空间称为矢量空间ν。
如果u，v和w是线性无关的，则{}wu,构成矢量空间ν的基，即ν中任一矢量v,都可以表示为：w v u γβα++=a1） 如果()0>⨯⋅w v u ，则基{}w v ,u,是正向的（右手法则）。
第一章 张量代数
= Ci Li e i Le i
1 m+n 1
m+ n
=C
其中： 其中：
3
C i1 Lim + n = Ai1Lim Bim +1Lim + n
张量的缩并
u ur ur r 中的i 缩并。 对式子 A = Aijk ei e j ek 中的i、k缩并。
1)阶数不同的张量可以并积 1)阶数不同的张量可以并积 2)并积是有顺序的。 2)并积是有顺序的。 并积是有顺序的
分别为m阶和n阶张量，则它们的并积为： 推广 若A和B分别为m阶和n阶张量，则它们的并积为：
AB = (Ai Li ei Lei )(Bi
1 m 1 m
i m+1L m+ n
ei Lei )
a13 σ 11 σ 12 σ 13 a11 a23 σ 21 σ 22 σ 23 a12 a33 σ 31 σ 32 σ 33 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
1.6
1
张量代数运算
张量的加减法
eijk elmk = δil (δ jmδ kk − δ jkδ km ) − δ jl (δimδ kk − δikδ km )
+ δ kl (δimδ jk − δikδ jm )
= 3δ il δ jm − δ ilδ jm − 3δ jlδ im + δ jlδ im + δ jl δ im − δ il δ jm = δ il δ jm − δ jlδ im
δ ij =
1 0 当i=j时 当i ≠ j时
亦即：
张量分析及其应用
每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。
于是 or or
Saixi ajxjakxk
n
a b x i i i 是违约的，求和时要保留求和号 a ibi xi i1
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题
1.5.3 矢量（Vector）
ai ii ai
ai ii ai
ai ii ikak
哑标换成 k
ikak ii ikak
{a 1 ,a2,a3 },{a 1,a2,a3}
即
a a ie i, a a ie i
aiaeiaieiei a i a e i a ie ie i a ie ie i
a a i
ii i（对 i’ 求和）
a a i
ii i（对 i 求和）
ni ij nj
所以
Tijnj ijnj0
即
(Tijij)nj0
1.4 指标记法的运算
1.4.4 缩并
使两个指标相等并对它们求和的运算称 为缩并。如各向同性材料应力应变关系
T ijE kkij2E ij
缩并 T ii E k kii 2 E ii 3 E k k 2 E ii
Tii(32)E ii
哑标与求和无 关，可用任意 字母代替
为平均应力应变之间的关系
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换
求和约定同样适用于微分方程。 不可压缩牛顿流体的连续性方程：
其普通记法
U i 0 xi
U1U2 U3 0 x1 x2 x3
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当（i, j, k）成偶排列 当（i, j, k）成奇排列 当（i, j）相同（不成排列）
ˆi (e ˆj e ˆk ) e ˆi e jkl e ˆl e jkቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (e ˆi e ˆl ) e jkl il e jki eijk （基矢量的混合积） （3） e
3
第一章 张量代数基础
（3） Aij ij Aii （4） ai ij a j （5）对于坐标 xi 有，
xi xi , j ij x j
2．置换（排列）符号（顺序记号，e-Permutation Symbol） eijk
eijk 亦称列维-齐维塔（levi-Civita）或黎奇（Ricci）符号，是一个三指标符号，共有 27 个分量，
1'2 2'2 3 '2
ˆ1 1'3 e ˆ2 2'3 e ˆ3 3'3 e
xi ' i ' j x j
j 1
3
。 在 i ' j x j 中 j 指标重复两次，这种在单项式中重复出现的指标称为哑标（Dummy Index）
2
计算塑性引论
求和约定：在一个单项式中，如果同一个指标重复两次（即哑标） ，就表示要把这个指标
取值为 1, 2, 3 时所得到的各项加起来。 因此，哑标是一种求和指标（Summation Index） 。 根据这一约定，上式可以省略求和记号，直接写为
表示行列式
A11 A12 A22 A32 A13 A23 eijk A1i A2 j A3k eijk Ai1 Aj 2 Ak 3 A33
（1.2.2-5）
| A | A21 A31
当原行列式中的行或列任意调换位置时，得到的新行列式的值为
erst | A | eijk Ari Asj Atk （调换行） eijk Air Ajs Akt （调换列）
新坐标轴轴号，第二个右下标代表老坐标轴轴号。 在老坐标系下，新坐标轴的基矢量可分别表示为：
ˆ1' cos(e ˆ1' , e ˆ1 ) cos(e ˆ1' , e ˆ2 ) cos(e ˆ1' , e ˆ3 ) e ˆ1 1'1 e ˆ2' cos(e ˆ2' , e ˆ1 ) cos(e ˆ2' , e ˆ2 ) cos(e ˆ2' , e ˆ3 ) e ˆ e 2 2'1 e cos(e ˆ3' , e ˆ1 ) cos(e ˆ3' , e ˆ2 ) cos(e ˆ3' , e ˆ3 ) ˆ3 ˆ3' e 3'1
{u} ， P ， u 等形式。
张量（Tensor）
在力学分析中，描述三维空间中一点的应力、应变状态需要九个分量，这九个分量就构成了张 量： 应力分量： x ， y ， z ， xy ， xz ， yx ， yz ， zx ， zy
应力张量：
x xy xz σ yx y yz zx zy z
3． e 等式
（1.2.2-6）
eijk eist js kt jt ks
4． ij 、 eijk 在向量运算中的应用
（1.2.2-7）
ˆi ， 如果 e （ i 1, 2,3 ）为单位正交矢量，则
4
计算塑性引论
ˆi e ˆ j ij （1） e ˆi e ˆ j eijk e ˆk （2） e
ai bi ci 也可以写为 am bm cm 或 ak bk ck 等等，自由指标遍取 1, 2, 3 后的三个分量由
三个方程表示：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a b c 3 3 3
2．求和约定 向量、张量运算中常常遇到求和。例如坐标变换
ˆi b j e ˆ j ai b j e ˆi e ˆ j ai b j ij （1.2.2-11） a b ai bi ai ( ij b j ) ai b j ij 或 a b ai e
（2）向量的叉积或矢积（cross product，vector product） 叉积 a b 的分量：
(a b)i eijk a j bk
（1.2.2-12）
（3）向量的混合积（mixed product，三矢标积 scalar triple product，箱积 box product）
a (b c ) eijk ai b j ck
（1.2.2-13）
§1.3 笛卡尔张量
§1.3.1 张量的定义
u ˆx u y e ˆ y uz e ˆz 位移向量： u v ， u u x e w
ˆx ， u y u e ˆ y ， uz u e ˆz 。 分量： u x u e
向量或矢量的书面表达形式通常为黑体字母。由于书写上的限制，书写时常采用 P ，u 或 {P} ，
xi ' i ' j x j
上式也可以记为 xi ' i ' k xk 。
（1.2.1-1）
哑标只是说明求和记号，采用什么符号都不影响求和结果，表示的哑标字母可以任意改变。如
求导简记法
将微分算符简记为：
xi
例如
,i
（1.2.1-2）
u 2ui ,i ， i ui , j ， ui , jk xi x j x j xk
成三个分量，每个分量都是实数，则向量 a 可以表示为
ˆi ， a ai e ˆi ai a e
5
第一章 张量代数基础
x2
x2’ x2
a2
a
a2' a1
ˆ2' e ˆ2 e ˆ1' e ˆ1 e ˆ3' e
a
ˆ2 e ˆ3 e
a3
ˆ1 e
a3'
a1'
x1
ˆ3 e
x1’ x1
x3 x3
x3’
表示 9 个分量，并对称 单位矩阵可记为：
1 if i j 0 if i j
（1.2.2-1）
ij ji
1 0 0 I ( ij ) 0 1 0 0 0 1
（1.2.2-2）
性质：
（1） ii 11 22 33 3 （2） Aik kj Aik jk Ai j ， ik Akj ki Akj Ai j
xi 就表示坐标 x, y, z；
ˆi 就表示 x, y, z 三个方向的基矢量 e ˆx , e ˆy , e ˆz e
ui 就表示 x, y, z 三个方向的位移分量 u, v, w
ij 就表示 x ， y ，…… zy 等共九个分量
这种表示向量与张量的方法就是指标表示法。 ：同一项中不重复出现的标号，如上面的 自由指标（Free Index）或指定指标（Asigned Index） i, j 。显然，改变自由指标的字母不会影响它的含义。例如 向量 ai 也可记为 ak ，都表示遍取 a1 , a2 , a3 。
定义为
1 当（i, j, k）是顺循环序列 eijk 1 当（i, j, k）是逆循环序列 0 当（i, j, k）中有相同者（非循环序列）
（1, 2, 3）顺循环序列：123，231，312 （1, 2, 3）逆循环序列：132，213，321 1 3 1 3 2 2
（1.2.2-3）
ˆ1' ， e ˆ2' ， e ˆ3' ）时，在新坐标系 当直角坐标系从 ox1 x2 x3 变换到新坐标系 ox1' x2' x3' （基矢量为： e
下向量 a 可以又表示为
ˆi ' ， ai ' a e ˆi ' a ai 'e
向量 a 可以用新老坐标系表示，且有
ˆi ai 'e ˆi ' a ai e ˆi ， ai ' a e ˆi ' 可得 由 ai a e ˆi ak 'e ˆk ' e ˆi k 'i ak ' ai a e ˆi ' ak e ˆk e ˆi ' ak e ˆi ' e ˆ k i ' k ak ai ' a e ˆk ' e ˆi e ˆi e ˆk ' ik ' cos(e ˆi , e ˆk ' ) 为新老坐标系轴间夹角的余弦。第一个右下标代表 其中， k 'i e
Px ˆx Py e ˆ y Pz e ˆz 力向量： P Py ， P Px e P z
ˆx ， e ˆy ， e ˆz 为坐标轴 x，y，z 的单位向量（基向量，基矢量） e ，
ˆx ， Py P e ˆ y ， Pz P e ˆz 坐标轴方向的分量： Px P e
求和约定也适用于含导数的项。只要同一个文字指标在乘积中或同一项中出现两次，则理解为 对所有同类项求和。 如： ai ,i
ai a1 a2 a3 xi x1 x2 x3
§1.2.2 符号与置换符号
1． ij 符号
ij 称为 Kroneker Delta（克罗内克尔符号） ，定义为 ij
§1.2 指标表示法
§1.2.1 指标记号与求和约定