第一章 张量代数基础
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ˆk e ˆi e ˆ j e ˆk e 0
当（i, j, k）成偶排列 当（i, j, k）成奇排列 当（i, j）相同（不成排列）
ˆi (e ˆj e ˆk ) e ˆi e jkl e ˆl e jkቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (e ˆi e ˆl ) e jkl il e jki eijk （基矢量的混合积） （3） e
3
第一章 张量代数基础
（3） Aij ij Aii （4） ai ij a j （5）对于坐标 xi 有，
xi xi , j ij x j
2．置换（排列）符号（顺序记号，e-Permutation Symbol） eijk
eijk 亦称列维-齐维塔（levi-Civita）或黎奇（Ricci）符号，是一个三指标符号，共有 27 个分量，
1'2 2'2 3 '2
ˆ1 1'3 e ˆ2 2'3 e ˆ3 3'3 e
xi ' i ' j x j
j 1
3
。 在 i ' j x j 中 j 指标重复两次，这种在单项式中重复出现的指标称为哑标（Dummy Index）
2
计算塑性引论
求和约定：在一个单项式中，如果同一个指标重复两次（即哑标） ，就表示要把这个指标
取值为 1, 2, 3 时所得到的各项加起来。 因此，哑标是一种求和指标（Summation Index） 。 根据这一约定，上式可以省略求和记号，直接写为
表示行列式
A11 A12 A22 A32 A13 A23 eijk A1i A2 j A3k eijk Ai1 Aj 2 Ak 3 A33
（1.2.2-5）
| A | A21 A31
当原行列式中的行或列任意调换位置时，得到的新行列式的值为
erst | A | eijk Ari Asj Atk （调换行） eijk Air Ajs Akt （调换列）
新坐标轴轴号，第二个右下标代表老坐标轴轴号。 在老坐标系下，新坐标轴的基矢量可分别表示为：
ˆ1' cos(e ˆ1' , e ˆ1 ) cos(e ˆ1' , e ˆ2 ) cos(e ˆ1' , e ˆ3 ) e ˆ1 1'1 e ˆ2' cos(e ˆ2' , e ˆ1 ) cos(e ˆ2' , e ˆ2 ) cos(e ˆ2' , e ˆ3 ) e ˆ e 2 2'1 e cos(e ˆ3' , e ˆ1 ) cos(e ˆ3' , e ˆ2 ) cos(e ˆ3' , e ˆ3 ) ˆ3 ˆ3' e 3'1
{u} ， P ， u 等形式。
张量（Tensor）
在力学分析中，描述三维空间中一点的应力、应变状态需要九个分量，这九个分量就构成了张 量： 应力分量： x ， y ， z ， xy ， xz ， yx ， yz ， zx ， zy
应力张量：
x xy xz σ yx y yz zx zy z
3． e 等式
（1.2.2-6）
eijk eist js kt jt ks
4． ij 、 eijk 在向量运算中的应用
（1.2.2-7）
ˆi ， 如果 e （ i 1, 2,3 ）为单位正交矢量，则
4
计算塑性引论
ˆi e ˆ j ij （1） e ˆi e ˆ j eijk e ˆk （2） e
ai bi ci 也可以写为 am bm cm 或 ak bk ck 等等，自由指标遍取 1, 2, 3 后的三个分量由
三个方程表示：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a b c 3 3 3
2．求和约定 向量、张量运算中常常遇到求和。例如坐标变换
ˆi b j e ˆ j ai b j e ˆi e ˆ j ai b j ij （1.2.2-11） a b ai bi ai ( ij b j ) ai b j ij 或 a b ai e
（2）向量的叉积或矢积（cross product，vector product） 叉积 a b 的分量：
(a b)i eijk a j bk
（1.2.2-12）
（3）向量的混合积（mixed product，三矢标积 scalar triple product，箱积 box product）
a (b c ) eijk ai b j ck
（1.2.2-13）
§1.3 笛卡尔张量
§1.3.1 张量的定义
u ˆx u y e ˆ y uz e ˆz 位移向量： u v ， u u x e w
ˆx ， u y u e ˆ y ， uz u e ˆz 。 分量： u x u e
向量或矢量的书面表达形式通常为黑体字母。由于书写上的限制，书写时常采用 P ，u 或 {P} ，
xi ' i ' j x j
上式也可以记为 xi ' i ' k xk 。
（1.2.1-1）
哑标只是说明求和记号，采用什么符号都不影响求和结果，表示的哑标字母可以任意改变。如
求导简记法
将微分算符简记为：
xi
例如
,i
（1.2.1-2）
u 2ui ,i ， i ui , j ， ui , jk xi x j x j xk
成三个分量，每个分量都是实数，则向量 a 可以表示为
ˆi ， a ai e ˆi ai a e
5
第一章 张量代数基础
x2
x2’ x2
a2
a
a2' a1
ˆ2' e ˆ2 e ˆ1' e ˆ1 e ˆ3' e
a
ˆ2 e ˆ3 e
a3
ˆ1 e
a3'
a1'
x1
ˆ3 e
x1’ x1
x3 x3
x3’
表示 9 个分量，并对称 单位矩阵可记为：
1 if i j 0 if i j
（1.2.2-1）
ij ji
1 0 0 I ( ij ) 0 1 0 0 0 1
（1.2.2-2）
性质：
（1） ii 11 22 33 3 （2） Aik kj Aik jk Ai j ， ik Akj ki Akj Ai j
xi 就表示坐标 x, y, z；
ˆi 就表示 x, y, z 三个方向的基矢量 e ˆx , e ˆy , e ˆz e
ui 就表示 x, y, z 三个方向的位移分量 u, v, w
ij 就表示 x ， y ，…… zy 等共九个分量
这种表示向量与张量的方法就是指标表示法。 ：同一项中不重复出现的标号，如上面的 自由指标（Free Index）或指定指标（Asigned Index） i, j 。显然，改变自由指标的字母不会影响它的含义。例如 向量 ai 也可记为 ak ，都表示遍取 a1 , a2 , a3 。
定义为
1 当（i, j, k）是顺循环序列 eijk 1 当（i, j, k）是逆循环序列 0 当（i, j, k）中有相同者（非循环序列）
（1, 2, 3）顺循环序列：123，231，312 （1, 2, 3）逆循环序列：132，213，321 1 3 1 3 2 2
（1.2.2-3）
ˆ1' ， e ˆ2' ， e ˆ3' ）时，在新坐标系 当直角坐标系从 ox1 x2 x3 变换到新坐标系 ox1' x2' x3' （基矢量为： e
下向量 a 可以又表示为
ˆi ' ， ai ' a e ˆi ' a ai 'e
向量 a 可以用新老坐标系表示，且有
ˆi ai 'e ˆi ' a ai e ˆi ， ai ' a e ˆi ' 可得 由 ai a e ˆi ak 'e ˆk ' e ˆi k 'i ak ' ai a e ˆi ' ak e ˆk e ˆi ' ak e ˆi ' e ˆ k i ' k ak ai ' a e ˆk ' e ˆi e ˆi e ˆk ' ik ' cos(e ˆi , e ˆk ' ) 为新老坐标系轴间夹角的余弦。第一个右下标代表 其中， k 'i e
Px ˆx Py e ˆ y Pz e ˆz 力向量： P Py ， P Px e P z
ˆx ， e ˆy ， e ˆz 为坐标轴 x，y，z 的单位向量（基向量，基矢量） e ，
ˆx ， Py P e ˆ y ， Pz P e ˆz 坐标轴方向的分量： Px P e
求和约定也适用于含导数的项。只要同一个文字指标在乘积中或同一项中出现两次，则理解为 对所有同类项求和。 如： ai ,i
ai a1 a2 a3 xi x1 x2 x3
§1.2.2 符号与置换符号
1． ij 符号
ij 称为 Kroneker Delta（克罗内克尔符号） ，定义为 ij
§1.2 指标表示法
§1.2.1 指标记号与求和约定
1．指标记号（指标符号）
x1 , x2 , x3 中的 1，2，3； xi 中的 i ——指标标号。
向量与张量常采用带有字母指标标号的字母来表示。在采用字母指标（如 i） ，表示该指标遍取 1, 2, 3 （三维空间）或 1, 2 （二维空间） 。
应变分量： x ， y ， z ， xy ， xz ， yx ， yz ， zx ， zy
1
第一章 张量代数基础
x 应变张量： ε yx zx
xy xz y yz zy z
张量的表达形式为黑体字母，书写上也采用 ， 或 [ ] ， [ ] 等形式。
按（1.2.2-3）的定义， eijk 共有 27 个分量，其中只有 6 个不为零：
e123 e231 e312 1 e132 e213 e321 1 e e e e e e e e 0 112 113 121 122 131 133 222 111
向量 a 、 b 、 c ，每个向量都可用笛卡儿坐标系的基向量表示为
ˆi ， b bi e ˆi ， c ci e ˆi a ai e ˆi 下的对应投影分量。 其中 ai 、 bi 、 ci 分别为向量 a 、 b 、 c 在正交坐标系 e
（1）向量的点积或标积（dot product，scalar product）
本章关于张量的定义是建立在一个直角笛卡尔坐标系变换到另一个直角笛卡尔坐标系的基础之 上的，所以定义的张量称为笛卡尔张量（Cartesian tensor） 。 1．向量与坐标变换
ˆ1 ， e ˆ2 ， e ˆ3 ）中，向量 a 可以按基矢量分解 在三维的笛卡尔直角坐标系 ox1 x2 x3 （基矢量为： e
计算塑性引论 教案
（第一章 张量代数基础）
蔡中义
计算塑性引论
第一章 张量代数基础
§1.1 概述
标量（或数量、纯量，scalar quantity）
用一个正值或负值的数量就可确定物理量或几何量。 例如物理学中的功、能、质量、温度等，几何学中的长度、距离等。 标量用一个字母就可以表示。 向量（矢量，Vector） 必须用一组数量来描述的物理量或几何量。其中的每一个数量都称为这个向量或矢量的分量， 分量的数值与坐标系的选择有关。 如物理学中的力、力矩、位移、速度等，几何学中的位置矢径、方向矢量等。
当（i, j, k）成偶排列 当（i, j, k）成奇排列 当（i, j）相同（不成排列）
ˆi (e ˆj e ˆk ) e ˆi e jkl e ˆl e jkቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (e ˆi e ˆl ) e jkl il e jki eijk （基矢量的混合积） （3） e
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第一章 张量代数基础
（3） Aij ij Aii （4） ai ij a j （5）对于坐标 xi 有，
xi xi , j ij x j
2．置换（排列）符号（顺序记号，e-Permutation Symbol） eijk
eijk 亦称列维-齐维塔（levi-Civita）或黎奇（Ricci）符号，是一个三指标符号，共有 27 个分量，
1'2 2'2 3 '2
ˆ1 1'3 e ˆ2 2'3 e ˆ3 3'3 e
xi ' i ' j x j
j 1
3
。 在 i ' j x j 中 j 指标重复两次，这种在单项式中重复出现的指标称为哑标（Dummy Index）
2
计算塑性引论
求和约定：在一个单项式中，如果同一个指标重复两次（即哑标） ，就表示要把这个指标
取值为 1, 2, 3 时所得到的各项加起来。 因此，哑标是一种求和指标（Summation Index） 。 根据这一约定，上式可以省略求和记号，直接写为
表示行列式
A11 A12 A22 A32 A13 A23 eijk A1i A2 j A3k eijk Ai1 Aj 2 Ak 3 A33
（1.2.2-5）
| A | A21 A31
当原行列式中的行或列任意调换位置时，得到的新行列式的值为
erst | A | eijk Ari Asj Atk （调换行） eijk Air Ajs Akt （调换列）
新坐标轴轴号，第二个右下标代表老坐标轴轴号。 在老坐标系下，新坐标轴的基矢量可分别表示为：
ˆ1' cos(e ˆ1' , e ˆ1 ) cos(e ˆ1' , e ˆ2 ) cos(e ˆ1' , e ˆ3 ) e ˆ1 1'1 e ˆ2' cos(e ˆ2' , e ˆ1 ) cos(e ˆ2' , e ˆ2 ) cos(e ˆ2' , e ˆ3 ) e ˆ e 2 2'1 e cos(e ˆ3' , e ˆ1 ) cos(e ˆ3' , e ˆ2 ) cos(e ˆ3' , e ˆ3 ) ˆ3 ˆ3' e 3'1
{u} ， P ， u 等形式。
张量（Tensor）
在力学分析中，描述三维空间中一点的应力、应变状态需要九个分量，这九个分量就构成了张 量： 应力分量： x ， y ， z ， xy ， xz ， yx ， yz ， zx ， zy
应力张量：
x xy xz σ yx y yz zx zy z
3． e 等式
（1.2.2-6）
eijk eist js kt jt ks
4． ij 、 eijk 在向量运算中的应用
（1.2.2-7）
ˆi ， 如果 e （ i 1, 2,3 ）为单位正交矢量，则
4
计算塑性引论
ˆi e ˆ j ij （1） e ˆi e ˆ j eijk e ˆk （2） e
ai bi ci 也可以写为 am bm cm 或 ak bk ck 等等，自由指标遍取 1, 2, 3 后的三个分量由
三个方程表示：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a b c 3 3 3
2．求和约定 向量、张量运算中常常遇到求和。例如坐标变换
ˆi b j e ˆ j ai b j e ˆi e ˆ j ai b j ij （1.2.2-11） a b ai bi ai ( ij b j ) ai b j ij 或 a b ai e
（2）向量的叉积或矢积（cross product，vector product） 叉积 a b 的分量：
(a b)i eijk a j bk
（1.2.2-12）
（3）向量的混合积（mixed product，三矢标积 scalar triple product，箱积 box product）
a (b c ) eijk ai b j ck
（1.2.2-13）
§1.3 笛卡尔张量
§1.3.1 张量的定义
u ˆx u y e ˆ y uz e ˆz 位移向量： u v ， u u x e w
ˆx ， u y u e ˆ y ， uz u e ˆz 。 分量： u x u e
向量或矢量的书面表达形式通常为黑体字母。由于书写上的限制，书写时常采用 P ，u 或 {P} ，
xi ' i ' j x j
上式也可以记为 xi ' i ' k xk 。
（1.2.1-1）
哑标只是说明求和记号，采用什么符号都不影响求和结果，表示的哑标字母可以任意改变。如
求导简记法
将微分算符简记为：
xi
例如
,i
（1.2.1-2）
u 2ui ,i ， i ui , j ， ui , jk xi x j x j xk
成三个分量，每个分量都是实数，则向量 a 可以表示为
ˆi ， a ai e ˆi ai a e
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第一章 张量代数基础
x2
x2’ x2
a2
a
a2' a1
ˆ2' e ˆ2 e ˆ1' e ˆ1 e ˆ3' e
a
ˆ2 e ˆ3 e
a3
ˆ1 e
a3'
a1'
x1
ˆ3 e
x1’ x1
x3 x3
x3’
表示 9 个分量，并对称 单位矩阵可记为：
1 if i j 0 if i j
（1.2.2-1）
ij ji
1 0 0 I ( ij ) 0 1 0 0 0 1
（1.2.2-2）
性质：
（1） ii 11 22 33 3 （2） Aik kj Aik jk Ai j ， ik Akj ki Akj Ai j
xi 就表示坐标 x, y, z；
ˆi 就表示 x, y, z 三个方向的基矢量 e ˆx , e ˆy , e ˆz e
ui 就表示 x, y, z 三个方向的位移分量 u, v, w
ij 就表示 x ， y ，…… zy 等共九个分量
这种表示向量与张量的方法就是指标表示法。 ：同一项中不重复出现的标号，如上面的 自由指标（Free Index）或指定指标（Asigned Index） i, j 。显然，改变自由指标的字母不会影响它的含义。例如 向量 ai 也可记为 ak ，都表示遍取 a1 , a2 , a3 。
定义为
1 当（i, j, k）是顺循环序列 eijk 1 当（i, j, k）是逆循环序列 0 当（i, j, k）中有相同者（非循环序列）
（1, 2, 3）顺循环序列：123，231，312 （1, 2, 3）逆循环序列：132，213，321 1 3 1 3 2 2
（1.2.2-3）
ˆ1' ， e ˆ2' ， e ˆ3' ）时，在新坐标系 当直角坐标系从 ox1 x2 x3 变换到新坐标系 ox1' x2' x3' （基矢量为： e
下向量 a 可以又表示为
ˆi ' ， ai ' a e ˆi ' a ai 'e
向量 a 可以用新老坐标系表示，且有
ˆi ai 'e ˆi ' a ai e ˆi ， ai ' a e ˆi ' 可得 由 ai a e ˆi ak 'e ˆk ' e ˆi k 'i ak ' ai a e ˆi ' ak e ˆk e ˆi ' ak e ˆi ' e ˆ k i ' k ak ai ' a e ˆk ' e ˆi e ˆi e ˆk ' ik ' cos(e ˆi , e ˆk ' ) 为新老坐标系轴间夹角的余弦。第一个右下标代表 其中， k 'i e
Px ˆx Py e ˆ y Pz e ˆz 力向量： P Py ， P Px e P z
ˆx ， e ˆy ， e ˆz 为坐标轴 x，y，z 的单位向量（基向量，基矢量） e ，
ˆx ， Py P e ˆ y ， Pz P e ˆz 坐标轴方向的分量： Px P e
求和约定也适用于含导数的项。只要同一个文字指标在乘积中或同一项中出现两次，则理解为 对所有同类项求和。 如： ai ,i
ai a1 a2 a3 xi x1 x2 x3
§1.2.2 符号与置换符号
1． ij 符号
ij 称为 Kroneker Delta（克罗内克尔符号） ，定义为 ij
§1.2 指标表示法
§1.2.1 指标记号与求和约定
1．指标记号（指标符号）
x1 , x2 , x3 中的 1，2，3； xi 中的 i ——指标标号。
向量与张量常采用带有字母指标标号的字母来表示。在采用字母指标（如 i） ，表示该指标遍取 1, 2, 3 （三维空间）或 1, 2 （二维空间） 。
应变分量： x ， y ， z ， xy ， xz ， yx ， yz ， zx ， zy
1
第一章 张量代数基础
x 应变张量： ε yx zx
xy xz y yz zy z
张量的表达形式为黑体字母，书写上也采用 ， 或 [ ] ， [ ] 等形式。
按（1.2.2-3）的定义， eijk 共有 27 个分量，其中只有 6 个不为零：
e123 e231 e312 1 e132 e213 e321 1 e e e e e e e e 0 112 113 121 122 131 133 222 111
向量 a 、 b 、 c ，每个向量都可用笛卡儿坐标系的基向量表示为
ˆi ， b bi e ˆi ， c ci e ˆi a ai e ˆi 下的对应投影分量。 其中 ai 、 bi 、 ci 分别为向量 a 、 b 、 c 在正交坐标系 e
（1）向量的点积或标积（dot product，scalar product）
本章关于张量的定义是建立在一个直角笛卡尔坐标系变换到另一个直角笛卡尔坐标系的基础之 上的，所以定义的张量称为笛卡尔张量（Cartesian tensor） 。 1．向量与坐标变换
ˆ1 ， e ˆ2 ， e ˆ3 ）中，向量 a 可以按基矢量分解 在三维的笛卡尔直角坐标系 ox1 x2 x3 （基矢量为： e
计算塑性引论 教案
（第一章 张量代数基础）
蔡中义
计算塑性引论
第一章 张量代数基础
§1.1 概述
标量（或数量、纯量，scalar quantity）
用一个正值或负值的数量就可确定物理量或几何量。 例如物理学中的功、能、质量、温度等，几何学中的长度、距离等。 标量用一个字母就可以表示。 向量（矢量，Vector） 必须用一组数量来描述的物理量或几何量。其中的每一个数量都称为这个向量或矢量的分量， 分量的数值与坐标系的选择有关。 如物理学中的力、力矩、位移、速度等，几何学中的位置矢径、方向矢量等。