高数 第十一章 无穷级数12-6

第六节 傅里叶级数
一、三角级数 三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数
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一、三角级数 三角函数系的正交
❖三角级数
性
形如
1 2
a0
n1
(an
cos
nx
bn
sin
nx)
的级数称为三角级数 其中a0 an bn(n1 2 )都是常数.
❖三角函数系
1 cos x sin x cos 2x sin 2x cos nx sin nx .
❖三角函数系的正交性
三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在 [ ]上的 积分等于零 而任何两个相同的函数的乘积在[ ]上的积分
不等于零. >>>
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二、函数展开成傅里叶级数
❖傅里叶系数
设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数:
f
(x)
a0 2
(ak k 1
cos
kxbk
sin
kx)
且假定三角级数可逐项积分 则
a0
1
f (x)dx
an
1
f
(x) cos nxdx
(n
12)
提示: ff((xx))csoinsnxf(xa2)0csa00aio20n0snxk1kk(a11k([acakok0cscoko0sxaskknxbxskci0nsoisnnxkxx)bbkkssininkkbxx0sncinonsxn)x]
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二、函数展开成傅里叶级数
❖傅里叶系数
设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数:
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
cos
kxbk
sin
k
x)
且假定三角级数可逐项积分 则
a0
1
f
(x)dx
an
1
f (x)cosnxdx
(n
12)
bn
1
f (x)sinnxdx
(n
12).
系数a0 a1 b1 叫做函数f(x)的傅里叶系数.
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❖傅里叶级数
三角级数
a0 2
(an
n1
cos
nx
bn
sin
nx)
称为傅里叶级数其中a0a1b1···是傅里叶系数.
一个定义在()上周期为2的函数f(x)如果它在一
个周期上可积则一定可以作出f(x)的傅里叶级数.
然而 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说 这两个问题的答案都 不是肯定的.
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❖傅里叶级数 三角级数
a0 2
(an
n1
cos
nx
bn
sin
nx)
称为傅里叶级数其中a0a1b1···是傅里叶系数.
❖定理(收敛定理 狄利克雷充分条件)
设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足:
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 (2)在一个周期内至多只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛 并且
当x是f(x)的连续点时级数收敛于f(x);
当x是f(x)的间断点时级数收敛于1 [ f (x 0) f (x 0)] . 2
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例1 设周期为2的函数f(x)在[)上的表达式为
f (x)11
x0 0 x
将f(x)展开成傅里叶级数.
解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道f(x)的
傅里叶级数收敛. 当xk时傅里叶级数收敛于
1 [ f (x 0) f (x 0)] 1 (11)0 .
2
2
当xk时级数收敛于f(x).
和f(x函)的数图图形形
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例1 设周期为2的函数f(x)在[)上的表达式为
f (x)11
x0 0 x
将f(x)展开成傅里叶级数.
解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛. 因为傅里叶系数为>>>
an 0
(n 0,1, 2, ) ,
bn
4
n
n 1, 3, 5,
0 n 2, 4, 6,
所以f(x)的傅里叶级数展开式为
f
(x)
4
[sin
x
1 sin 3
3x
1 sin(2k 2k 1
1)x
]
.
(<x<;x 0, , 2, ).
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例2 设周期为2的函数f(x)在[)上的表达式为
f (x)0x
x0 0 x
将f(x)展开成傅里叶级数.
解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道f(x)的
傅里叶级数收敛. 当x(2k1)时傅里叶级数收敛于
1 [ f (x 0) f (x 0)] 1 (0 ) .
2
2
2
当x(2k1)时级数收敛于f(x).
和f(x函)的数图图形形
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例2 设周期为2的函数f(x)在[)上的表达式为
f (x)0x
x0 0 x
将f(x)展开成傅里叶级数.
解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛. 因为傅里叶系数为>>>
a0
2
an
2
n2
0
n n
1, 3, 5, 2, 4, 6,
bn
(1)n1 n
(n 12)
所以当x(2k1)时f(x)的傅里叶级数展开式为
f (x) ( 2 cos xsin x) 1 sin2x( 2 cos3x 1sin3x)
4
2
32
3
1 4
sin
4x
(5铁22岭师c范o高s等5专x科学15校si理n工5学x院)数学教 研.室
❖周期延拓
设f(x)只在[ ]上有定义我们可以在[ )或( ]外 补充函数f(x)的定义使它拓广成周期为2的周期函数F(x)在 ( )内F(x)f(x).
延拓前
yf(x)
延拓后
yF(x)
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例3 将函数 f (x)xx
x0 展开成傅里叶级数. 0 x
解 所给函数在区间[ ]上满足收敛定理的条件并且
拓广为周期函数时它在每一点x处都连续因此拓广的周期
函数的傅里叶级数在[]上收敛于f(x).
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例3 将函数 f (x)xx
x0 展开成傅里叶级数. 0 x
解 所给函数在区间[ ]上满足收敛定理的条件并且
拓广为周期函数时它在每一点x处都连续因此拓广的周期
函数的傅里叶级数在[]上收敛于f(x).
因为傅里叶系数为>>>
a0
an
4
n2
n 1, 3, 5, bn 0 (n 12).
0 n 2, 4, 6,
所以f(x)的傅里叶级数展开式为
f
(x)
2
4
(cos x 1 32
cos3x 1 52
cos5x )
(
x)
.
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三、正弦级数和余弦级数
❖奇函数与偶函数的傅里叶系数 当f(x)为奇函数时 f(x)cos nx是奇函数 f(x)sin nx是偶函数
故傅里叶系数为
an0 (n012 )
bn
2
0
f (x)sinnxdx
(n123).
当f(x)为偶函数时 f(x)cos nx是偶函数 f(x)sin nx是奇函数
故傅里叶系数为
an
2
0
f
(x) cos nxdx
(n0123)
bn0 (n1 2 ).
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❖正弦级数和余弦级数
如果f(x)为奇函数 那么它的傅里叶级数是只含有正弦项
的正弦级数
bn sinnx .
n1
如果f(x)为偶函数 那么它的傅里叶级数是只含有余弦项
的余弦级数
a0 2
n1
an
cos
nx
.
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例4 设f(x)是周期为2的周期函数它在[)上的表达
式为f(x)x.将f(x)展开成傅里叶级数. 解 所给函数满足收敛定理的条件 因此f(x)的傅里叶级数
收敛. 当x(2k1)(k0, 1, 2, )时傅里叶级数收敛于
1 [ f ( 0) f ( 0)] 1 [ ( )]0 .
2
2
当x(2k1) (k0, 1, 2, )时傅里叶级数收敛于f(x).
和f(x函)的数图的形图形
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例4 设f(x)是周期为2的周期函数它在[)上的表达
式为f(x)x.将f(x)展开成傅里叶级数. 解 所给函数满足收敛定理的条件 因此f(x)的傅里叶级数
收敛. 当x(2k1)(k0, 1, 2, )时傅里叶级数收敛于
1 [ f ( 0) f ( 0)] 1 [ ( )]0 .
2
2
当x(2k1) (k0, 1, 2, )时傅里叶级数收敛于f(x).
因为f(x)在( )上是奇函数 其傅里叶级数是正弦级数
而
bn
2 n
(1)n1
(n1,
2,
3,)>>>
所以f(x)的傅里叶级数展开式为
f (x)2(sin x 1 sin2x 1sin3x (1)n1 1 sinnx
2
3
n
(<x< x, 3 , ).
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例5 将周期函数u(t)E|sin 1 t| 展开成傅里叶级数其中E 2
是正的常数.
解 函数u(t)在整个数轴上连续 满足收敛定理的条件 因
此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t).
因为u(t)是周期为2的偶函数 其傅里叶级数是余弦级数
而
an
4E
(4n2 1)
(n0,
1,
2,) >>>
所以u(t)的傅里叶级数展开式为
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例5 将周期函数u(t)E|sin 1 t| 展开成傅里叶级数其中E 2
是正的常数.
解 函数u(t)在整个数轴上连续 满足收敛定理的条件 因 此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t).
因为u(t)是周期为2的偶函数 其傅里叶级数是余弦级数
而
an
4E
(4n2 1)
(n0,
1,
2,)
所以u(t)的傅里叶级数展开式为
u(t) 4E (1 1 cost 1 cos2t 1 cos3t 1 cosnt
2 3 15
35
4n2 1
1 1 cost 1 cos2t 1 cos3t 1 cosnt ) (<t<).
2 3 15
35
4n2 1
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❖奇延拓与偶延拓
设函数f(x)定义在区间[0 ]上并且满足收敛定理的条件 我们在开区间( 0)内补充函数f(x)的定义 得到定义在( ] 上的函数F(x) 使它在( )上成为奇函数(偶函数). 按这种方 式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓). 限制在(0 ]
上 有F(x)f(x).
奇延拓
偶延拓
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例6 将函数f(x)x1(0x)分别展开成正弦级数和余弦
级数. 解 先求正弦级数. 为此对函数f(x)进行奇延拓. 正弦级数的系数为>>>
bn
2
n 2
n
2
n 1, 3, 5,
n2, 4, 6,
函数的正弦级数展开式为
x 1 2
[(
2)sin
x
2
sin
2x
1 3
(
2) sin 3x
4
sin
4x
]
2)sin x sin2x 1 ( 2)sin3x sin4x ] (0<x<).
2
3
4
在端点x0及x处 级数的和为零.
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例6 将函数f(x)x1(0x)分别展开成正弦级数和余弦
级数. 解 再求余弦级数. 为此对函数f(x)进行偶延拓. 余弦级数的系数为>>>
a 02
an
0 4
n2
n 2, 4, 6, n 1, 3, 5,
函数的余弦级数展开式为
x 1
2
1
4
(cos x 1 32
cos3x 1 52
cos5x )
(0x).
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