微分中值定理的应用
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第 １７卷 第 １期 ２００７ 正 ３月
信阳农业高等专科学校学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｉｎｙａｎｇ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ
维普资讯 http://www.cqvip.com
Ｖ０１．１７ Ｎｏ．１ Ｍａｒ．２００７
微 分 中值 定 理 的 应 用
张娅 莉 ，吴 炜２
维普资讯 http://www.cqvip.com
张娅 莉 ，等 ：微 分 中值 定理 的应 用
ｂ）内可导 ，证 明存 ·∈（ａ，ｂ），使得 ：２专［ｆ（ｂ）一ｆ 然数 ｍ，ｎ，这时可借助 ｆⅢ（ｘ），ｆｒＩ（ｘ） ］。
（ａ）］＝（ｂ 一ａ ）ｆ（专ｊ
例 ３：若函数 ｆ（Ｘ）在 ［ａ，ｂ］上连续 ，在（ａ，ｂ）内可
微分中值定理是数学分析 中非常重要的基本定 得 （ｆ（ｂ）一ｆ（ａ））ｇ（考）＝（ｇ（ｂ）一ｇ（ａ））ｆ （考）。
理 ，它是沟通函数与导数之间的桥梁 ，应用微分 中值 证 明 ：令 Ｆ（ｘ）＝（ｆ（ｂ）一ｆ（ａ））ｇ（ｘ）一（ｇ（ｂ）一
定理的基本方法是广泛使用辅助函数 ，本文就如何在 ｇ（ａ））ｆ（ｘ）
Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｍｅａｎ ｖａｌｌｉｅ ｔｈｅｏｒｅｍ
ＺＨＡＮＧ Ｙａ—ｌｉ ．Ｗ Ｕ Ｗ ｅｉ （１．Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｍａｔｈｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ。Ｘｉｎｙａｎｇ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｘｉｎｙａｎｇ ４６４ＯＯＯ，Ｃｈｉｎａ；
（１．信 阳职业技术学 院 数学 与计算机科学 系 ，河南 信阳 ４６４０００；２．信 阳建筑工程质量监督站 ，河南 信阳 ４６４０ｏ０）
摘 要 ：构建适当的辅助函数是证明一些与中值定理有关 的题 目的关键。本文针对一些题 目的不同特征，给出 了几种构建辅助 函数证 明题的方法 。 关键 词 ：罗尔中值定理；拉格朗 日中值定理；柯西中值定理 ；辅助函数 中图分 类号 ：Ｏ１７２ 文献 标识 码 ：Ａ 文章编 号 ：１００８－４９１６（２００７）０１－ ０１３４－０２
罗尔 中值 定 理 如 果 函数 ｆ（Ｘ）在 闭 区 间 ［ａ，ｂ］
使得 Ｆ （考）＝（ｆ（ｂ）一ｆ（ａ））ｇ （考）一（ｇ（ｂ）一ｇ
上连续 ，在（ａ，ｂ）内可导 ，且在 区间端点处 的函数值 （ａ））ｆ （考）＝０
相等 ，即 ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ），那么至少存在一点 考Ｅ（ａ，ｂ），
即有 （ｆ（ｂ）一ｆ（ａ））ｇ（考）＝（ｇ（ｂ）一ｇ（ａ））ｆｔ（考）
证 明 ：由结论 可得 ：２专［ｆ（ｂ）一ｆ（ａ）］一（ｂ 一ａ ） 导 ，ｆ（ａ）＝０，且 对任 意 的 Ｘ∈（ａ，ｂ）有 ｆ（Ｘ）＞０，则 在
ｆ （专）＝０
（ａ，ｂ）内至少存在两点 专 ，专：∈（ａ，ｂ），使得
所 以可 构造 辅 助 函数 ：ｇ（Ｘ）＝Ｘ （ｆ（ｂ）一ｆ（ａ）） 一 （ｂ 一ａ２）ｆ（ｘ）
证 明题 中巧 妙选 用和构 建辅 助 函数 ，进 行系 统分 析和 由条件知函数 Ｆ（Ｘ）闭区间［ａ，ｂ］上连续 ，在（ａ，
阐述 。
பைடு நூலகம்
ｂ）内可 导 。
１ 中值 定 理
且 Ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）ｇ（ａ）一ｆ（ａ）ｇ（ｂ）＝Ｆ（ｂ） 根据 罗尔定 理 ，在 （ａ，ｂ）内至少 存在在 点 考，
如 下结论 ：
果 ，从而 构建 出适 当的 辅 助 函数 ，再验 证 相 关 的条 件
推论 ：如果函数 ｆ（Ｘ）、ｇ（Ｘ）在闭区间 ［ａ，ｂ］上连 来 证 明 ¨。
续，在（ａ，ｂ）内可导 ，则在（ａ，ｂ）内至少存在一点 考，使 例 １：设函数 ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续 ，在（ａ，
收 稿 日期 ：２００６—１２一１０ 作者简介 ：张娅莉 （１９７７一），女 。河南信 阳人 ，讲 师 ，华 中师范大学数学与统计学院硕 士研究生 ． · １３４ －
２．Ｘｉｎｙａｎｇ Ｃｉｔｙ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｓｕｐｅｒｖｉｓｉｏｎ Ｏｆｆ ｉｃｅ。Ｘｉｎｙａｎｇ ４６４０Ｏ０。Ｃｈｉｎａ）
Ａ ｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔ ｉｓ ａ ｋｅｙ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ ｐｒｏｖｉｎｇ ８ｏｍｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｒｅｌｅｖａｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｏｍｅ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｃｈａｒａｃｔｅｒ ｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒ ｏｂｌｅｍｓ，ｐｒ ｏｐｏｓｅｓ ｓｅｖｅｒａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏ ｆ ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅｍ ． Ｋ ｅｙ ｗ ｏｒｄｓ：ｒｏｌｌｅ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ；ｌａｇｒａｎｇｅ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅ ｒ￣ｍ；ｃａｕｃｈｙ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ；ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ｎｆ （专 ） ＩｒＩｆ （专：） ｆ（专 ） ｆ（专２）
可以验证 ：ｇ（ａ）＝ｇ（ｂ），ｇ（Ｘ）在 ［ａ，ｂ］连续 ，在 证 明 ：令 ｇ（Ｘ）＝ｆＩ．（Ｘ） （ａ＋ｂ—Ｘ），由已知 条件
使 ｆ （考）＝０。
拉 格 朗 日中值 定 理 如 果 函数 ｆ（Ｘ）在 闭 区 间
柯西 中值 定理 如 果 函数 ｆ（Ｘ）、ｇ（Ｘ）在 闭 区 间 ［ａ，ｂ］连续 ，在 （ａ，ｂ）可导，那 么至少存在一 点 考Ｅ
［ａ，ｂ］上 连 续 ，在 （ａ，ｂ）内可 导 ，且 ＶＸ Ｅ（ａ，ｂ），有
ｇ（ｘ）≠０，则 在 （ａ，ｂ）内 至 少 存 在 一 点 考，使 得 （ａ，ｂ）＇使
。
）二 垒）一盟 ｇ（ｂ）一ｇ（ａ）一ｇ （考）。
２ 中值 定 理 的应 用
如果 去掉 条件 ＶＸＥ（ａ，ｂ），有 ｇ（Ｘ）≠０，则 得 到 ２．１ 一些 题 目可 直 接从 结 论 出发 ，分 析要 证 明的 结
信阳农业高等专科学校学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｉｎｙａｎｇ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ
维普资讯 http://www.cqvip.com
Ｖ０１．１７ Ｎｏ．１ Ｍａｒ．２００７
微 分 中值 定 理 的 应 用
张娅 莉 ，吴 炜２
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张娅 莉 ，等 ：微 分 中值 定理 的应 用
ｂ）内可导 ，证 明存 ·∈（ａ，ｂ），使得 ：２专［ｆ（ｂ）一ｆ 然数 ｍ，ｎ，这时可借助 ｆⅢ（ｘ），ｆｒＩ（ｘ） ］。
（ａ）］＝（ｂ 一ａ ）ｆ（专ｊ
例 ３：若函数 ｆ（Ｘ）在 ［ａ，ｂ］上连续 ，在（ａ，ｂ）内可
微分中值定理是数学分析 中非常重要的基本定 得 （ｆ（ｂ）一ｆ（ａ））ｇ（考）＝（ｇ（ｂ）一ｇ（ａ））ｆ （考）。
理 ，它是沟通函数与导数之间的桥梁 ，应用微分 中值 证 明 ：令 Ｆ（ｘ）＝（ｆ（ｂ）一ｆ（ａ））ｇ（ｘ）一（ｇ（ｂ）一
定理的基本方法是广泛使用辅助函数 ，本文就如何在 ｇ（ａ））ｆ（ｘ）
Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｍｅａｎ ｖａｌｌｉｅ ｔｈｅｏｒｅｍ
ＺＨＡＮＧ Ｙａ—ｌｉ ．Ｗ Ｕ Ｗ ｅｉ （１．Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｍａｔｈｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ。Ｘｉｎｙａｎｇ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｘｉｎｙａｎｇ ４６４ＯＯＯ，Ｃｈｉｎａ；
（１．信 阳职业技术学 院 数学 与计算机科学 系 ，河南 信阳 ４６４０００；２．信 阳建筑工程质量监督站 ，河南 信阳 ４６４０ｏ０）
摘 要 ：构建适当的辅助函数是证明一些与中值定理有关 的题 目的关键。本文针对一些题 目的不同特征，给出 了几种构建辅助 函数证 明题的方法 。 关键 词 ：罗尔中值定理；拉格朗 日中值定理；柯西中值定理 ；辅助函数 中图分 类号 ：Ｏ１７２ 文献 标识 码 ：Ａ 文章编 号 ：１００８－４９１６（２００７）０１－ ０１３４－０２
罗尔 中值 定 理 如 果 函数 ｆ（Ｘ）在 闭 区 间 ［ａ，ｂ］
使得 Ｆ （考）＝（ｆ（ｂ）一ｆ（ａ））ｇ （考）一（ｇ（ｂ）一ｇ
上连续 ，在（ａ，ｂ）内可导 ，且在 区间端点处 的函数值 （ａ））ｆ （考）＝０
相等 ，即 ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ），那么至少存在一点 考Ｅ（ａ，ｂ），
即有 （ｆ（ｂ）一ｆ（ａ））ｇ（考）＝（ｇ（ｂ）一ｇ（ａ））ｆｔ（考）
证 明 ：由结论 可得 ：２专［ｆ（ｂ）一ｆ（ａ）］一（ｂ 一ａ ） 导 ，ｆ（ａ）＝０，且 对任 意 的 Ｘ∈（ａ，ｂ）有 ｆ（Ｘ）＞０，则 在
ｆ （专）＝０
（ａ，ｂ）内至少存在两点 专 ，专：∈（ａ，ｂ），使得
所 以可 构造 辅 助 函数 ：ｇ（Ｘ）＝Ｘ （ｆ（ｂ）一ｆ（ａ）） 一 （ｂ 一ａ２）ｆ（ｘ）
证 明题 中巧 妙选 用和构 建辅 助 函数 ，进 行系 统分 析和 由条件知函数 Ｆ（Ｘ）闭区间［ａ，ｂ］上连续 ，在（ａ，
阐述 。
பைடு நூலகம்
ｂ）内可 导 。
１ 中值 定 理
且 Ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）ｇ（ａ）一ｆ（ａ）ｇ（ｂ）＝Ｆ（ｂ） 根据 罗尔定 理 ，在 （ａ，ｂ）内至少 存在在 点 考，
如 下结论 ：
果 ，从而 构建 出适 当的 辅 助 函数 ，再验 证 相 关 的条 件
推论 ：如果函数 ｆ（Ｘ）、ｇ（Ｘ）在闭区间 ［ａ，ｂ］上连 来 证 明 ¨。
续，在（ａ，ｂ）内可导 ，则在（ａ，ｂ）内至少存在一点 考，使 例 １：设函数 ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续 ，在（ａ，
收 稿 日期 ：２００６—１２一１０ 作者简介 ：张娅莉 （１９７７一），女 。河南信 阳人 ，讲 师 ，华 中师范大学数学与统计学院硕 士研究生 ． · １３４ －
２．Ｘｉｎｙａｎｇ Ｃｉｔｙ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｓｕｐｅｒｖｉｓｉｏｎ Ｏｆｆ ｉｃｅ。Ｘｉｎｙａｎｇ ４６４０Ｏ０。Ｃｈｉｎａ）
Ａ ｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔ ｉｓ ａ ｋｅｙ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ ｐｒｏｖｉｎｇ ８ｏｍｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｒｅｌｅｖａｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｏｍｅ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｃｈａｒａｃｔｅｒ ｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒ ｏｂｌｅｍｓ，ｐｒ ｏｐｏｓｅｓ ｓｅｖｅｒａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏ ｆ ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅｍ ． Ｋ ｅｙ ｗ ｏｒｄｓ：ｒｏｌｌｅ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ；ｌａｇｒａｎｇｅ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅ ｒ￣ｍ；ｃａｕｃｈｙ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ；ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ｎｆ （专 ） ＩｒＩｆ （专：） ｆ（专 ） ｆ（专２）
可以验证 ：ｇ（ａ）＝ｇ（ｂ），ｇ（Ｘ）在 ［ａ，ｂ］连续 ，在 证 明 ：令 ｇ（Ｘ）＝ｆＩ．（Ｘ） （ａ＋ｂ—Ｘ），由已知 条件
使 ｆ （考）＝０。
拉 格 朗 日中值 定 理 如 果 函数 ｆ（Ｘ）在 闭 区 间
柯西 中值 定理 如 果 函数 ｆ（Ｘ）、ｇ（Ｘ）在 闭 区 间 ［ａ，ｂ］连续 ，在 （ａ，ｂ）可导，那 么至少存在一 点 考Ｅ
［ａ，ｂ］上 连 续 ，在 （ａ，ｂ）内可 导 ，且 ＶＸ Ｅ（ａ，ｂ），有
ｇ（ｘ）≠０，则 在 （ａ，ｂ）内 至 少 存 在 一 点 考，使 得 （ａ，ｂ）＇使
。
）二 垒）一盟 ｇ（ｂ）一ｇ（ａ）一ｇ （考）。
２ 中值 定 理 的应 用
如果 去掉 条件 ＶＸＥ（ａ，ｂ），有 ｇ（Ｘ）≠０，则 得 到 ２．１ 一些 题 目可 直 接从 结 论 出发 ，分 析要 证 明的 结