最佳平方逼近多项式(课堂PPT)

fk 2 ) 2
k 1
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1.内积空间
欧式范数：若 f (x)C[a,b] ,则量
f ( f , f ) b f 2 (x)dx
2
a
称为f (x)的欧式范数。
对任何 f , g C[a,b],有以下结论：
（1）( f , g)
f
2
g
2
，又称柯西-施瓦茨不等式；
（2）f g f g ，又称三角不等式；
j0
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3.函数的最佳平方逼近
n
(k , j )a j ( f ,k ) (k 0,1,L , n)
j0
上式是关于a0 , a1,L , an的线性方程组，称
为法方程。用矩阵形式可表示为
(0,0)
(1,0 )
M
(0,1) L (1,1) L
M
(0,n1) a0 ( f ,0)
(1,n1)
2
2
2
（3）f g 2 f g 2 2( f 2 g 2 )，又称平
2
2
2
2
行四边形定律。
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2.两类特殊的函数族
正交：若 f (x), g(x) C[a,b], (x)为[a,b]上的权 函数且满足
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx 0
则称 f (x)与g(x)在[a,b]上带权正交。
由于0 ,1,,n线性无关，故其系数矩阵H的 行列式非奇异，即 G(0,1,,n ) 0 ，该法方程有 唯一解为
ak ak* (k 0,1, 2,L , n)
则最佳平方逼近函数为
s*(x) a0*0 (x) a1*1(x) an*n (x)
令 f (x) s*(x) ，则平方误差
n
2 ( f s*, f s*) ( f , f ) (s*, f ) f 2
函数，则称积分
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx
为函数 f (x)与g(x)在[a,b]上的内积,有下列性质：
1）( f , g) (g, f ); 2）(Cf , g) C( f , g),C 为常数; 3）( f1 f2 , g) ( f1, g) ( f2, g); 4）( f , f ) 0, 当且仅当f 0 时，( f , f ) 0。
无关函数族。
充要条件：0 (x),1(x),,n1(x)在[a,b]上线性无关
的充要条件是它的Gramer行列式 Gn1 0，其中
(0,0) (0,1) L (0,n1)
Gn1 G(0,1,L ,n1)
(1,0 ) M
(1,1) L Mn1)
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1.内积空间
内积空间：满足内积定义的函数空间称为内积 空间。如在连续函数空间C[a,b] 上定义了内积 就形成了一个内积空间。
向量的模：在n维欧氏空间Rn中，内积就是两
向量的数量积，即 n (x, y) xT y xk yk k 1
向量的模（范数)的定义为：
n
1
f (x, x) ( 2
a1
(
f
,
1)
M M M
(n1,0 ) (n1,1) L
(n1,
n1)
an
(
f
,
n
)
简记为Ha d 。其中 a (a0, a1,L , an )T ,
d (d0 , d1,L , dn )T , dk ( f ,k ) (k 0,1, 2,L , n)
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3.函数的最佳平方逼近
逼近函数，其中k 是一组线性无关函数族，函
数 s(x) a00(x) a11(x) L ann (x)。
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3.函数的最佳平方逼近
对函数s*(x)的求解：等价于求以下多元函数
I (a0 , a1,, an )
b
( x)
a
n
[a j j (x) f (x)]2 dx
j0
的最小值。令 I 0(k 0,1,L , n), 则
a00 (x) a11(x) a22 (x) an1n1(x) 0
当且仅当 a0 a1 L an1 0 时成立，则称
0 (x),1(x),,n1(x) 在[a,b]上是线性无关的。
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2.两类特殊的函数族
线性无关函数族：若函数族 k (x)(k 0,1, 2,)
中的任何有限个k 线性无关，则称k为线性
ak
I
ak
2
b
n
( x)[
a
a j j (x)
j0
f (x)]k (x)dx 0
(k 0,1,L , n)
引入内积定义，可得
n
aj (k , j ) ( f ,k ) 0 (k 0,1,L , n)
j0
n
即
(k , j )a j ( f ,k ) (k 0,1,L , n)
1）ab| x |n(x)(n 0,1,L ) 存在；
b
2）对非负的连续函数 g(x) ，若 a g(x)(x)dx 0,
则在[a,b]上，g(x) 0，即 (x) 不恒为0。 就称 ( x)为[a,b]上的权函数。它的物理意
义可以解释为密度函数。
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1.内积空间
内积：设 f (x), g(x) C[a,b], (x)是[a,b]上的权
正交函数族：若函数族 0 (x),1(x),,n (x),
满足关系
b
0, j k
( j ,k )
a
(x) j (x)k (x)dx
Ak
0,
j
k
则称(x) 是[a,b]上带权 (x) 的正交函数族；
若 Ak 1，则称为标准正交函数族。
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2.两类特殊的函数族
可以证明，三角函数族1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,L 满足上述条件，是在[ , ] 上的正交函数族。 线性无关：若函数0 (x),1(x),,n1(x) 在区间[a,b] 上连续，如果
最佳平方逼近多项式
1
§5.2 最佳平方逼近多项式
本节内容
1.内积空间 2.两类特殊的函数族 3.函数的最佳平方逼近 4.举例 5.MATLAB程序实现
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1.内积空间
权函数：考虑到 f (x)在区间[a,b]上各点的函数 值比重不同,常引进加权形式的定义，设在区 间[a,b]上的非负函数 (x) 满足条件：
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3.函数的最佳平方逼近
最佳平方逼近函数：对于 f (x) C[a,b] 及C[a,b]中的
一个子集 Span{0, 1, L , n}, 若存在 s(x)
使下式成立:
f s
2
inf
f s(x)
2 inf
b (x)[ f (x) s(x)]2dx
2 s
2 s a
则称 s (x) 是 f (x) 在子集 C[a,b] 中的最佳平方