信号与系统第七章课后答案

1 1 n n 1 n n 1 X ( z ) ( ) z ( ) z ( )n z n n 2 n 2 n0 2 (1 2 ) z z 1 n 1 n ( z) ( ) 1 (1 2 ) z z 1 2 n 1 2 n0 2 z
1 z2 X (z) ( 1 1 2 z 1 )( 1 2 z 1 ) ( z 1 2 )( z 2 ) X (z) z 1 4 z ( z 1 2 )( z 2 ) 3( z 1 2 ) 3( z 2 )
X (z)
z 4z 3( z 1 2 ) 3 ( z 2 )
X (z) 2z 3 z ( z 1)( z 2 )( z 3 ) 5 1 9 6 ( z 1) 15( z 2) 10( z 3) 5z z 9z X (z) 6 ( z 1) 15( z 2) 10( z 3)
(1) 1 z 2 x[ n ] 5 1 9 ( 1) n u[ n ] [ 2 n ( 3) n ]u[ n 1] 6 15 10
n


7
(
n 0
1 n ) z 2
n
(7)
1/2
Re(z)
(5) X (z)
n


( [ n ] 1 2 z 5
1 [n 2 ]) z n 5 z 0
jIm(z)
1

5 5
(2)
5 5
Re(z)
7-8
解：
求双边序列 x[n] = (1/ 2)|n| 的 z 变换，标明收敛域及绘出零极点图。
4
n
x[n ]
1 1 0 -1 (3) 2 3
x [n ]
1
4
1 2
3 4
n
0
n
(4)
7-2
分别绘出下列各序列的图形。 （2）x[n] 2 n u[n] （3）x[n] (1/ 2) n u[n] （4）x[n] (1/ 2)n u[n]
（1）x[ n] nu[ n] 解：
解：
x[n]
-5
0 1 5
10
n
(1)
x[n]
-3 0 1 2 7
17
n
(2)
7-5
序列 x[n]如图题 7-5 所示，把 x[n]表示为[n]的加权与延迟之线性组合。
图
题 7-5
解：
x[ n] 2 [ n 3] [ n] 3 [ n 1] 2 [ n 3]
（1）2n u[n] 解： （3） [42n]
0
(1 ) H ( e
j
)
n

2 n u [ n ]e (2 1 e
j
j n
1 e
n

2ne 2 2 e
j n


)n 1
n0
j

j
2
j n
(3) H (e
j
)
n


[ 4 2 n ]e
(2)
2 z 3
5 1 9 x[ n ] [ ( 1) n 2 n ]u[ n ] ( 3) n u[ n 1] 6 15 10
7-21
利用卷积定理求 y[n] = x[n] h[n]。已知
（3）x[n] = R N [n] = u[n] u[nN]，h[n] = anu[n]，0< a <1 解： （3）
1 1 n [ ( ) 4 ( 2 ) n ] u [ n 1] 3 2
x2[n ]
1 2 z 2
1 1 x 3 [ n ] [( ) n u [ n ] 4(2) n u [ n 1]] 3 2
（3）序列 x3 [n]的收敛域包括单位圆，所以此序列存在傅氏变换。
1 x [ n ] ( ) n u [ n ] 2 n u [ n 1] 2
7-13
1 已知 X(z) = 1 1 。 1 1 z (1 2 z ) 2
（1）确定与 X(z)有关的收敛域可能有几种情况，画出各自的收敛域图； （2）求以上各种收敛域所对应的离散时间序列的表达式； （3）以上序列中哪一种序列存在傅氏变换? 解：
z
>2
（2）
z
< 0.5
（3）0.5 <
z
<2


3 z 1 X (z) 2 5 z 1 2 z 2 z 3z 3 2 2z 5z 2 2 ( z 2 )( z 1 ) 2 3 1 X (z) 1 2 1 z z 1 2 z 2 ( z 2 )( z ) 2 z z X (z) z 1 2 z 2

(3 2)z ( z 1 2 )( z 2 )
1 2 z 2
jIm(z)
1/2
2
Re(z)
7-11 画出 X(z) =
3 z 1 的零极点图，在下列三种收敛域下，哪种情况对应左 2 5 z 1 2 z 2
边序列，哪种情况对应右边序列，哪种情况对应双边序列? 并求出各对应序列。 （1） 解：
（1）收敛域可能有三种情况：
jIm(z)
z 2, z 1 2 , 1 2 z 2
jIm(z) jIm(z)
2 Re(z)
1/2 |z|<1/2
Re(z)
Re(z)
1/2<|z|<2
|z|>2
（2）对应的序列分别为：
z 2
z 1 2
x1 [ n ]
1 1 [ ( ) n 4 ( 2 ) n ]u [ n ] 3 2
（1）
当
z 2 时， x[n]Βιβλιοθήκη Baidu右边序列
x[n ] [( 1 n ) 2 n ]u [ n ] 2
（2）
当 z 0 .5 时， x [ n ] 为左边序列
x[ n ] [ (
（3） 当0 . 5
1 n ) 2 n ] u [ n 1] 2
z 2 时， x [ n ] 为双边序列
jIm(z)
1/4 1/2
Re(z)
(4 )X (z ) 1 ( 1 2 1 1 2

1 n ) (u[n ] u[n 8 ])z 2 n 1 8 ) z 1 )8 z 8 ( 2 z 0 1 1 7 ) z z (z 2 (
jIm(z)

x[n]
1
x[n]
-4
-3
-2 (1)
-1
0
n
0
1
2 (2)
3
4
n
x[n]
-4 1 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 0
x[n] n
-1
n
(4)
(3)
7-3
分别绘出下列各序列的图形。 （2） x[n] cos
n 10 5
n （1） x[n] sin 5
2 z 2 3z ，若收敛域分别为 1 < z < 2 和 2 < z < 3 两种情况， ( z 1)( z 2)( z 3)
7-14
已知 X(z) =
求对应的逆变换 x[n]。 解：
X (z)
2z2 3z z (2 z 3) ( z 1) ( z 2 ) ( z 3 ) ( z 1) ( z 2 ) ( z 3 )
N
)
由于 x[n] 、 h[n] 均为因果序列，因此 y[n] 亦为因果序列，根据移位性质可求得
y [ n ] Z 1 [Y ( z )]
1 1 (1 a n 1 ) u [ n ] (1 a n 1 N ) u [ n N ] 1 a 1 a
7-24 计算下列序列的傅里叶变换。
x[n] RN [n] u[n] u[n N ]
h[ n] a nu[ n]
z z N 1 X (z) z 1 z 1 z 1 z H (z) z | a | z a
根据卷积定理得：
Y (z) X (z)H (z)
z zN z 1
e 2
j
求下列序列的 z 变换 X(z)，并注明收敛域，绘出 X(z)的零极点图。
n
7-7
（1） (1/ 2) u[n] + [n]

（4） (1/ 2)n {u[n] u[n8]}
（5） [n] [n2]
1 5
1 n 1 1 n n n 解： (1) X ( z ) [( ) u[ n ] [ n ]] z ( z ) [ n ] z 2 n n 0 2 n 1 2z z 1 2 1 z 1 1 2 z z 2 2
第 7 章习题答案
7-1 分别绘出下列各序列的图形。 （2）x[n] 2n u[n] （3）x[n] (1/ 2)n u[n] （4）x[n] (2) n u[ n] （1）x[n] (1/ 2)n u[n] 解：
x[ n ]
1
x[n]
1
0 1 2 (1) 3 4
n
0
1
2 3 (2)
1
z z a
z 1
Y (z) z 1 ] (1 z N ) [ z z 1 z a a 1 1 1 ] (1 z [ 1 a z 1 1 a z a z az 1 [ ] (1 z N ) Y (z) 1 a z 1 z a