2020-2021初中数学反比例函数分类汇编及答案

2020-2021初中数学反比例函数分类汇编及答案一、选择题
1．如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，反比例函数
k
y
x
=(0)
k≠的图象过D点和边
BC的中点E，连接DE，若CDE
∆的面积是1，则k的值是（）
A．4 B．3 C．25D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
设E的坐标是（m，n），k=mn，则C的坐标是（m，2n），求得D的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn的值，即k的值．
【详解】
解：设E的坐标是（m，n），k=mn，
则C的坐标是（m，2n），
在y=mn
x
中，令y=2n，解得：x=
2
m
，
∵S△CDE=1，
∴1
2
|n|•|m-
2
m
|=1，即
1
2
n×
2
m
=1，
∴mn=4．
∴k=4．
故选：A．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn表示出三角形的面积是关键．
2．如图，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝k
x
的图象在第一象限
相交于点C．若AB＝BC，△AOB的面积为3，则k的值为（）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
设OB＝a，根据相似三角形性质即可表示出点C，把点C代入反比例函数即可求得k．【详解】
作CD⊥x轴于D，
设OB＝a，(a＞0)
∵△AOB的面积为3，
∴1
2
OA•OB＝3，
∴OA＝6
a
，
∵CD∥OB，
∴OD＝OA＝6
a
，CD＝2OB＝2a，
∴C(6
a
，2a)，
∵反比例函数y＝k
x
经过点C，
∴k＝6
a
×2a＝12，
故选C．
【点睛】
本题考查直线和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．
3．如图，反比例函数y ＝2x
的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】
【分析】 由反比例函数的系数k 的几何意义可知：2OA AD =g ，然后可求得OA AB g 的值，从而可求得矩形OABC 的面积．
【详解】
解：Q 反比例函数2y x
=
， 2OA AD ∴=g ． D Q 是AB 的中点，
2AB AD ∴=．
∴矩形的面积2224OA AB AD OA ===⨯=g g ．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查的是反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数()0k y x x
=>在第一象限内图象上一动点，过点A 分别作AB x ⊥轴于点B AC y ⊥、轴于点C ，AB AC 、分别交函数()10y x x
=>的图象于点E F 、，连接OE OF 、．当点A 的纵坐标逐渐增大时，四边形OFAE 的面积（ ）
A ．不变
B ．逐渐变大
C ．逐渐变小
D ．先变大后变小
【答案】A
【解析】
【分析】 根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形ACOB 的面积为k ，BOE S V COF S =V 12=，则四边形OFAE 的面积为定值1k -．
【详解】
∵点A 是函数(0k y x x =
>)在第一象限内图象上，过点A 分别作AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，
∴矩形ACOB 的面积为k ，
∵点E 、F 在函数1y x =
的图象上， ∴BOE S V COF S =V 12
=， ∴四边形OFAE 的面积11122k k =-
-=-， 故四边形OFAE 的面积为定值1k -，保持不变，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数中系数k 的几何意义，根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形和三角形的面积是解题的关键．
5．如图，点A 、B 在函数k y x
=（0x >，0k >且k 是常数）的图像上，且点A 在点B 的左侧过点A 作AM x ⊥轴，垂足为M ，过点B 作BN y ⊥轴，垂足为N ，AM 与BN 的交点为C ，连结AB 、MN ．若CMN ∆和ABC ∆的面积分别为1和4，则k 的值为（ ）
A．4 B．2C 5
2
2
D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
设点M（a，0），N（0，b），然后可表示出点A、B、C的坐标，根据CMN
∆的面积为1可求出ab＝2，根据ABC
∆的面积为4列方程整理，可求出k．
【详解】
解：设点M（a，0），N（0，b），
∵AM⊥x轴，且点A在反比例函数
k
y
x
=的图象上，
∴点A的坐标为（a，k
a
），
∵BN⊥y轴，
同理可得：B（k
b
，b），则点C（a，b），
∵S△CMN＝1
2
NC•MC＝
1
2
ab＝1，
∴ab＝2，
∵AC＝k
a
−b，BC＝
k
b
−a，
∴S△ABC＝1
2
AC•BC＝
1
2
(
k
a
−b)•(
k
b
−a)＝4，即8
k ab k ab
a b
--
⋅=，
∴()2216
k-=，
解得：k＝6或k＝−2（舍去），
故选：D．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积计算等，解答本题的关键是明确题意，利用三角形的面积列方程求解．
6．如图直线y＝mx与双曲线y=k
x
交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若
S△AMB＝2，则k的值是()
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．
【详解】
根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝1
2
|k|＝1，
则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故选B．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数y＝k
x
中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂
线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
7．如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线
k
y
x
=过点F，交
AB于点E，连接EF．若BF2
OA3
=，S△BEF＝4，则k的值为（）
A．6 B．8 C．12 D．16【答案】A
【解析】
【分析】
由于
2
3
BF
OA
=，可以设F（m，n）则OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，则BE=4
m
，然后即可
求出E（3m，n-4
m
），依据mn=3m（n-
4
m
）可求mn=6，即求出k的值．
【详解】
如图，过F作FC⊥OA于C，
∵
2
3 BF
OA
=，
∴OA=3OC，BF=2OC ∴若设F（m，n）则OA=3m，BF=2m ∵S△BEF=4
∴BE=4 m
则E（3m，n-4
m
）
∵E在双曲线y=k
x
上
∴mn=3m（n-4
m
）
∴mn=6
即k=6．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E点坐标是解题关键．
8．若函数
2
m
y
x
+
=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是
（）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞2 D．m＜2【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m的取值范围．【详解】
∵函数
2
m
y
x
+
=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，
∴m+2＜0，
解得m＜-2．
故选B．
9．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB 垂直于x轴，顶点A在函数y1=1
k
x
（x>0）的图象上，顶点B在函数y2= 2
k
x
（x>0）的图象
上，∠ABO=30°，则2
1
k
k=（）
A．-3 B．3
C．
1
3
D．-
1
3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A、B的坐标，表示出k1、k2，进而得出k2与k1的比值．
【详解】
如图，设AB交x轴于点C，又设AC=a.
∵AB⊥x轴∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，OC=AC·tan∠OAB=a·tan60°
∴点A
a，a）
同理可得点B
，-3a）
∴k1
2， k2
a×（-3a）
a
∴2
13
k
k
==-.
故选A.
【点睛】
考查直角三角形的边角关系，反比例函数图象上点的坐标特征，设适合的常数，用常数表示出k，是解决问题的方法．
10．在函数
2
y
x
=，3
y x
=+，2
y x
=的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点
的图象共有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．
【详解】
y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函
数
2
y
x
=符合条件．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11．已知反比例函数y=﹣8
x
，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象
限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（）个A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．
【详解】
①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；
②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；
③k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；
④k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，﹣y＞8，故④错误，故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
12．下列各点中，在反比例函数
3
y
x
=图象上的是（）
A．(3，1) B．（-3，1）C．(3，1
3
) D．（
1
3
，3）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3.
【详解】
解：A、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确；
B、∵（-3）×1=-3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误；
C、∵
1
3=13
3
垂, ∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误；
D、∵1
3=13
3
垂, ∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误；
故选A.
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两
点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y
k
x
=（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD
的面积为25，则k的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为4，2，可得
出横坐标，即可求得AE ，BE 的长，根据菱形的面积为25，求得AE 的长，在Rt △AEB 中，即可得出k 的值．
【详解】
过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，
∵A ，B 两点在反比例函数y k x =
（x ＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2， ∴A （4k ，4），B （2k ，2）， ∴AE ＝2，BE 12=k 14
-k 14=k ， ∵菱形ABCD 的面积为5
∴BC×AE ＝5BC 5=
∴AB ＝BC 5=
在Rt △AEB 中，BE 22AB AE =
-=1 ∴
14
k ＝1， ∴k ＝4．
故选：C ．
【点睛】 本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
14．如图，点A ，B 是双曲线18y x
=图象上的两点，连接AB ，线段AB 经过点O ，点C 为双曲线k y x
=在第二象限的分支上一点，当ABC V 满足AC BC =且:13:24AC AB =时，k 的值为（ ）．
A．
25
16
-B．
25
8
-C．
25
4
-D．25
-
【答案】B
【解析】
【分析】
如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出
2
()
COF
AOE
S OC
S OA
∆
∆
=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2
()
COF
AOE
S OC
S OA
∆
∆
=＝
25
144
，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝
25
16
，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．
【详解】
解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．
∵A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，
∴∠COF＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠EAO＝90°，
∴∠COF＝∠OAE，
∴△CFO∽△OEA，
∴2
()
COF
AOE
S OC
S OA
∆
∆
=，
∵CA：AB＝13：24，AO＝OB，
∴CA：OA＝13：12，
∴CO：OA＝5：12，
∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144
， ∵S △AOE ＝9，
∴S △COF ＝
2516， ∴||25216
k =， ∵k ＜0， ∴258
k =- 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
15．点（2，﹣4）在反比例函数y=
k x 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A ．（2，4）
B ．（﹣1，﹣8）
C ．（﹣2，﹣4）
D ．（4，﹣2） 【答案】D
【解析】
【详解】
∵点（2，-4）在反比例函数y=
k x 的图象上， ∴k =2×（-4）=-8．
∵A 中2×4=8；B 中-1×（-8）=8；C 中-2×（-4）=8；D 中4×（-2）=-8，
∴点（4，-2）在反比例函数y=
k x 的图象上． 故选D ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数k ，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值是关键．
16．如图，点A 在反比例函数3(0)y x x =-<的图象上，点B 在反比例函数3(0)y x x
=>的图象上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形ABCO 的面积是（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】 因为四边形ABCO 是平行四边形，所以点A 、B 纵坐标相等，即可求得A 、B 横坐标，则AB 的长度即可求得，然后利用平行四边形面积公式即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCO 是平行四边形
∴点A 、B 纵坐标相等
设纵坐标为b ，将y=b 带入3(0)y x x =-<和3(0)y x x
=>中， 则A 点横坐标为3b -
，B 点横坐标为3b ∴AB=336()b b b
--= ∴66ABCO S b b =
⨯=Y 故选：A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数以及平行四边形面积公式，本题关键在于两点间距离的求法．
17．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数k y x =
在第一象限内的图象经过点D ，交BC 于点E ．若4AB =，
2CE BE =，34
AD OA =，则线段BC 的长度为（ ）
A ．1
B ．32
C ．2
D ．23【答案】B
【解析】
设OA 为4a ，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a ，CE=2a ，BE=a ，从而得出点D 和点E 的坐标(用a 表示)，代入反比例函数可求得a 的值，进而得出BC 长.
【详解】
设OA=4a 根据
2CE BE =，34
AD OA =得：AD=3a ，CE=2a ，BE=a ∴D(4a ，3a)，E(4a+4，a)
将这两点代入解析得； 3444k a a k a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩
解得：a=12
∴BC=AD=
32 故选：B
【点睛】
本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D 、E 的坐标，然后代入解析式求解.
18．若点A （﹣4，y 1）、B （﹣2，y 2）、C （2，y 3）都在反比例函数1y x =-
的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 3＞y 2＞y 1
C ．y 2＞y 1＞y 3
D ．y 1＞y 3＞y 2 【答案】C
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y 1、y 2、y 3的值，比较后即可得出结论.
【详解】
∵点A(﹣4，y 1)、B(﹣2，y 2)、C(2，y 3)都在反比例函数1y x =-
的图象上， ∴11144y =-
=-，21122y =-=-，312y =-， 又∵﹣12＜14＜12
， ∴y 3＜y 1＜y 2，
故选C.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的解析式是解题的关键.
19．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2
y x =
的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x
=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
【答案】D
【解析】 【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得
△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9
BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212
BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．
【详解】
解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴
∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°
∵90AOB ∠=︒
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE ∽△OBF ∽△AOD 又∵3AO BO =，2OC CA =
∴13OB OA =，23
OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9
COE AOD S OC S OA ==V V
∴4
COE
BOF
S
S
=
V
V
∵点B在反比例函数
2
y
x
=的图象上
∴
2
1
2
BOF
S==
V
∴4
COE
S=
V
∴4
2
k
=，解得
k=±8
又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故选：D．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．
20．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
【答案】C
【解析】
分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点A（1，1），
∴OA=，
∴BO=，
∵直线AC的解析式为y=x，
∴直线BD的解析式为y=-x，
∵OB=，
∴点B的坐标为（−，），
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴，
解得，k=-3，
故选C．
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．。