高考数学(文科)中档大题规范练(立体几何)(含答案)

中档大题规范练——立体几何

1．如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

(1)求证：DM∥平面APC；

(2)求证：平面ABC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积．

(1)证明由已知，得MD是△ABP的中位线，

所以MD∥AP.

又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，

故MD∥平面APC.

(2)证明因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，

所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.

又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.

因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.

又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.

因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.

(3)解由(2)知，可知MD⊥平面PBC，

所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，

又AB＝20，BC＝4，△PMB为正三角形，

M，D分别为AB，PB的中点，

经计算可得MD＝53，DC＝5，

S△BCD＝1

2×BC×BD×sin∠CBD

＝1

2×5×4×

21

5＝221.

所以V D－BCM＝V M－DBC＝1

3×S△BCD×MD

＝1

3×221×53＝107.

2．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝30°.

(1)求证：EF⊥PB；

(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P—EFCB的体积．

(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，

∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE .又BE ∩PE ＝E ，

∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴EF ⊥PB .

(2)解 设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4.

∴S △PEB ＝12BE ·PE ·sin ∠PEB

＝14xy ≤14⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝1.

当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大．

此时，BE ＝PE ＝2.

由(1)知EF ⊥平面PBE ，

∴平面PBE ⊥平面EFCB ，

在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于O ，则PO ⊥平面EFCB .

即PO 为四棱锥P —EFCB 的高．

又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12＝1.

S 梯形EFCB ＝12×(2＋4)×2＝6.

∴V P —BCFE ＝13×6×1＝2.

3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P 、Q 分别是线段AB 、CD 的中点，EP ⊥平面ABCD .

(1)求证：DP ⊥平面EPC ；

(2)问在EP 上是否存在点F ，使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP AP 的

值；若不存在，说明理由．

(1)证明 ∵EP ⊥平面ABCD ，

∴EP ⊥DP .

又ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，连接PQ ， 则PQ ⊥DC 且PQ ＝12DC .

∴DP ⊥PC .

∵EP ∩PC ＝P ，∴DP ⊥平面EPC .

(2)解 假设存在F 使平面AFD ⊥平面BFC ，

∵AD ∥BC ，BC ⊂平面BFC ，AD ⊄平面BFC ，

∴AD ∥平面BFC .

∴AD 平行于平面AFD 与平面BFC 的交线l .

∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥AD ，而AD ⊥AB ，

AB ∩EP ＝P ，∴AD ⊥平面EAB ，∴l ⊥平面F AB .

∴∠AFB 为平面AFD 与平面BFC 所成二面角的平面角．

∵P 是AB 的中点，且FP ⊥AB ，

∴当∠AFB ＝90°时，FP ＝AP .

∴当FP ＝AP ，即FP AP

＝1时，平面AFD ⊥平面BFC .

4．(2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．

(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；

(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积．

(1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．

又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF .

因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，

所以BC 1∥平面A 1CD .

(2)解 因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .

又因为AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .

又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.

由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，得∠ACB ＝90°，

CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，

故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D .

所以1C A DE V －＝13×S △A 1ED ×CD ＝13×12×6×3×2＝1.

5．(2013·辽宁)如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．

(1)求证：BC ⊥平面P AC ；

(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC . 证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，

由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC .

又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，

所以BC ⊥平面P AC .