上海交通大学附属中学2020-2021学年高二下学期开学考数学试题

交大附中高二开学摸底考数学试卷

2021.03

一、填空题

1．设(12i)24i z +⋅=-（i 为虚数单位），则||z = ． 2．已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ． 3．直线3445x t

y t

=+⎧⎨

=-⎩（t 为参数）的斜率为 ．

4．已知直线l 的一个方向向量(2,3,5)d =，平面α的一个法向量(4,,)n m n =-，若l α⊥，则

m n += ．

5．已知抛物线2

2x py =上的点(2,2)A ，则A 到准线的距离为 ．

6．如图，以长方体1111ABCD A B C D -顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为 ．

7．已知关于x 的实系数方程20x ax b ++=有模为1的虚根，则a 的取值范围是 ．

8．在四面体ABCD 中，5AB CD ==，6AC BD ==，7AD BC ==，则AB 、CD 所成的角的余弦值为 ．

9．在空间中，已知一个正方体的12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α，则sin α= ． 10．已知圆2

2

:(1)1M x y -+=，圆2

2

:(1)1N x y ++=，直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M

相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是椭圆22

149

x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为 ．

11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若

1D P CM ⊥，则PBC △的面积的最小值为 ．

12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为

4

a

的圆在一个半径为a 的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线，其方程为2223

3

3

x y a +=，给出下列四个结论，正确的是 ．

（1）星形线的参数方程为：33

cos sin x a t

y a t

⎧=⎨=⎩（t 为参数）； （2）若5a =，则星形线及其内部包含33个整点；（即横、纵坐标均为整数的点） （3）曲线1

12

2

1x y +=在星形线223

3

1x y +=的内部（包含边界）； （4）设星形线围成的面积为S ，则22,4S a a π⎫⎛∈

⎪⎝⎭

． 二、选择题

13．1z 、2z 是复数，下列结论中正确的是（ ）

A ．若22120z z +>，则22

12z z >-

B ．12z z -=

C ．22

121200z z z z +=⇔==

D ．2

2

11z z =

14．如图，在大小为45︒的二面角A EF D --中，四边形ABFE 与CDEF 都是边长为1的正方形，则B 、

D 点间的距离是（ ）

A B C ．1 D 15．定义：复数z 与i 的乘积i z 为复数z 的“旋转复数”，设复数i(,)z x y x y =+∈R 对应的点(,)x y 在曲线2

20x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ） A ．220y xy x +-= B ．2

20y xy x -+= C ．220y xy x ++=

D ．2

20y xy x --=

16．如图，已知正四面体1234A A A A ，点5A 、6A 、7A 、8A 、9A 、10A 分别是所在棱中点，点P 满足

4414243A P xA A yA A zA A =++且1x y z ++=，记44min

|||A Q A P

=，则当1i ≤，10j ≤且i j ≠时，数量

积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是（ ）

A ．3

B ．5

C ．9

D ．21

三、解答题

17．如图，三棱锥P ABC -的三条棱PA 、AB 、AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===，点D 在棱AC 上，且(0)AD AC λλ=>．

（1）当1

2

λ=

时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）当三棱锥D PBC -的体积为2

9

时，求λ的值．

18．已知m 是实数，关于x 的方程2

:(21)0E x mx m -++=． （1）若2m =，求方程E 在复数范围内的解；

（2）若方程E 有两个虚数根1x 、2x ，且满足122x x -=，求m 的值．

19．如图，AB 是圆柱的底面直径且2AB =，PA 是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点．

（1）求证：BC ⊥平面PAC ；

（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求二面角C PB A --的大小．（结果用反三角函数值表示） 20．如图，在Rt SOA △中，6

OSA π

∠=

，斜边4SA =，半圆H 的圆心在边OS 上，且与SA 相切，现将

Rt SOA △绕SO 旋转一周得到一个几何体，点B 为圆锥底面圆周上一点，且90AOB ∠=︒．

（1）求球H 的半径；

（2）求点O 到平面SAB 的距离；

（3）设P 是圆锥的侧面与球的交线上一点，求PO 与平面SAB 所成角正弦值的范围．

21．已知双曲线22

22:1(0,0)x y a b a b

Γ-=>>，设P 是双曲线Γ上任意一点，O 为坐标原点，F 为双曲线

右焦点，1A 、2A 为双曲线的左右顶点．

（1）若(2,3)d =是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；