椭圆的定义、标准方程及其性质

椭圆的定义、标准方程及其性质
[考纲传真]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．
【知识通关】
1．椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)
图形
性质
范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，
－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率e＝
c
a，且e∈(0,1)
a，b，c的关系c2＝a2－b2 1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20
a2＋y20
b2＜1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20
a2＋y20
b2＝1.
(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20
b
2＞1.
2．焦点三角形
椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)中：
(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S ＝b 2tan θ
2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，
最大值为bc . (3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .
3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2.
4．已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . 5．椭圆中点弦的斜率公式
若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有
k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2x 0
a 2y 0
.
6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． 【基础自测】
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )
(4)关于x ，y 的方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．椭圆x 216＋y 2
25＝1的焦点坐标为( )
A ．(±3,0)
B ．(0，±3)
C ．(±9,0)
D ．(0，±9)
B
3．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为( ) A .x 29＋y 2
＝1 B .y 29＋x 2
5＝1 C .y 2
9＋x 2＝1 D .x 29＋y 2
5
＝1 D
4．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( ) A .5－12
B .1＋52
C .－1＋52
D .－1±52
C
5．椭圆C ：x 225＋y 2
16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，
B 两点，则△F 1AB 的周长为________． 20
【题型突破】
椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A .x 264－y 2
48＝1 B .x 248＋y 2
64＝1 C .x 248－y 2
64
＝1 D .x 264＋y 2
48
＝1 (2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 2
7＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则
△AF 1F 2的面积为( ) A ．7 B .74 C .72
D .752
(1)D (2)C
[方法总结] 1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等. 2.椭圆的定义式必须满足2a ＞|F 1F 2|.
(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定
点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线
D ．圆
(2)(2019·徐州模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为
椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. (1)A (2)3
椭圆的标准方程
【例2】 (1)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A .x 225＋y 2
9＝1(y ≠0) B .y 225＋x 2
9＝1(y ≠0) C .x 216＋y 2
9
＝1(y ≠0) D .y 216＋x 2
9
＝1(y ≠0) (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32，52，(3，5)，
则椭圆方程为________．
(3)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 2
9＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为
________．
(1)A (2)y 210＋x 26＝1 (3)y 220＋x 2
4＝1
[方法总结] (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a ＞|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的
形式.
(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离
心率为
3
3
，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A .x 23＋y 2
2＝1 B .x 23＋y 2
＝1 C .x 212＋y 2
8
＝1 D .x 212＋y 2
4
＝1 (2)椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( ) A .x 22＋y 2
2＝1 B .x 22＋y 2
＝1 C .x 24＋y 2
2
＝1 D .y 24＋x 2
2
＝1 (3)设F 1，F 2分别是椭圆
E ：x 2＋
y 2
b 2
＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________． (1)A (2)C (3)x 2＋3
2y 2＝1
椭圆的几何性质
►考法1 求离心率或范围
【例3】 (1)(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别
为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A .
3
6
B .13
C .12
D .
33
(2)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2
m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在
点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞)
B ．(0，3]∪[9，＋∞)
C ．(0,1]∪[4，＋∞)
D ．(0，3]∪[4，＋∞)
(1)D (2)A
►考法2 与椭圆几何性质有关的范围问题
【例4】 (2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2
b 2
＝1的离心率e ＝1
2，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P
是椭圆上任意一点，则PF →·PA →
的最大值为________． 4
[方法总结] (1)求椭圆离心率的方法,①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.,②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.
(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路,求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a 、b 、c 的方程或不等式.
(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一
点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－
3
2
B ．2－ 3
C .3－12
D .3－1
(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意
一点，则OP →·FP →
的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8
(1)D (2)C
【真题链接】
1.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A
是C的左顶点，点P在过A且斜率为
3
6的直线上，△PF1F2为等腰三角形，
∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()
A.2
3B.
1
2
C.1
3D.
1
4
D
2．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的
距离为其短轴长的1
4，则该椭圆的离心率为()
A.1
3B.
1
2
C.2
3D.
3
4
B。