分式方程得解法

例 4.（2012 上海）解方程：
．
考点：解分式方程。 解答：解：方程的两边同乘（x+3）（x﹣3），得 x（x﹣3）+6=x+3， 整理，得 x2﹣4x+3=0， 解得 x1=1，x2=3． 经检验：x=3 是方程的增根，x=1 是原方程的根， 故原方程的根为 x=1． 六：课堂总结。 分式方程的特殊解法 一、交叉相乘法例 1．解方程： 1 3
（3）综上所述，当m 4或6时，原方程产生增根
说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根 四：练习。 五：重难点，易错点，常见题型和方法。
1 例 1. 已知 x2-3x+1=0，求 x2+ x 2 的值。
1 分析：将已知两边同除以 x（x≠0）可变出 x+ x ，然后利用完全平方公式的逆用可求出
例 3.（2012 苏州）解分式方程：
．
考点： 解分式方程。 专题： 计算题。 分析： 两边同乘分式方程的最简公分母，将分式方程转化为整式方程，再解答，然后检验． 解答： 解：去分母得：3x+x+2=4，
解得：x= ，
经检验，x= 是原方程的解． 点评： 本题考查了解分式方程，找到最简公分母将分式方程转化为整式方程是解题的关键．
解答：（1）原式=x2+2x+1+2-2x=x2+3； （2）去分母得：2（x-1）=x-3， 解得：x=-1， 经检验 x=-1 是原方程的解． ∴原方程的解为 x=-1．
解题经验 解分式方程时，我们要注意去分母时等式两边每一项都要乘以最简公分母，化为一次 方程就容易了。
例 7.
m 为何值时，关于 x 的方程 2 x2
例如.（2012 山西）解方程：
．
解答：解：方程两边同时乘以 2（3x﹣1），得 4﹣2（3x﹣1）=3， 化简，﹣6x=﹣3，解得 x= ．
检验：x= 时，2（3x﹣1）=2×（3× ﹣1）≠0
所以，x= 是原方程的解．
（3）、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母 的值不为 0，
a ac c 0
2b 2bc
分式的 符号法 则
A AA A B B B B 或- A --A -A A
B -B B -B
分式约分
A，B 或 A 二者同时改变 确定公因式 B
其中两个的符号，分式 的值不变
约分
把分式中的分子、分母的公因式约去 约分是一个恒等变形。 确定最简公分母
的变形过程叫约分
分析：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程
得到的解使原方程的分母等于 0．
解答：方程去分母得，x=m，当 x+1=0 即 x=-1 时方程无解，所以 m=-1 时方程无解．
故选 C．
A．2+x=x-1
B．2-x=1
C．2+x=1-x
D．2-x=x-1
分析：去分母根据的是等式的性质 2，方程的两边乘以最简公分母，即可将分式方
a c ad bc b d bd
（3）.分式的混合运算 注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、
减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或有括号的先算括号里面的，分母中 含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.分式的加、 减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便 查对有无错误或分析出错的原因。
找最大公因式是关键 通分
通分
把几个异分母分式分别化为与原分 通 分 前 后 分 式 的 值 不
式相等的同分母分式的变形过程叫 变；找最简公分母是通
通分。
分的关键
路
六：课堂总结。
必讲知识点
一：复习上次课重点知识。
1.分式的基本性质
、 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
教 与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.
学 2.分式的运算
过 (1).分式的乘除法
程 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
化为整式方程求解． 解答：解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得
4﹣（x+1）（x+2）=﹣（x2﹣1）， 整理，，3x=1， 解得 x= ．
经检验，x= 是原方程的解．
故原方程的解是 x= ．
点评：本题考查了分式方程的解法，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”， 把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
1 x2+ x 2 的值。
解：由 x2-3x+1=0，两边同除以 x（x≠0），得
1
1
x-3+ x =0，即 x+ x =3
1
1
所以 x2+ x 2 =（x+ x ）2-2=32-2=7
例 2．（2012•梅州）解方程：
．
考点：解分式方程。 分析：观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转
分析：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断． 解答：A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母含字母 a，但它不是表示未知数，也不是分式方程； C、方程的分母中不含表示未知数的字母，不是分式方程； D、方程分母中含未知数 x，是分式方程．
故选 D
A．1
B．0
C．-1
D．-2
的解． 故原方程的解为：v=5． 故选 B．
A．x=-2
B．x=1
C．x=2
D．x=3
分析：公分母为 x（x+3），去括号，转化为整式方程求解，结果要检验．
解答：去分母，得 x+3=2x，
解得 x=3，
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当 x=3 时，x（x+3）≠0，
所以，原方程的解为 x=3，
故选 D．
分析：（1）完全平方公式展开是三项； （2）两边都乘最简公分母，化为整式方程，再求解．
学 不超过两个)，会检验根的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程
目
的联系与区别。
标
分
3.通过探究，领会“类比”和“转化”这两种重要的数学思想，培养思维的严密性和
析 条理性。
4
一：复习上次课重点知识。
、
二：梳理本节重要知识点。
教
三：例题精讲。
学
四：练习。
思
五：重难点，易错点，常见题型和方法。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 二：梳理本节重要知识点 1、分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。 （1）、分式方程的解法：
注意：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约 去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在 解分式方程时必须进行检验。
设 计
a • c a•c b d b•d
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为
a c a •d a•d b d b c b•c
(2).分式的加减法
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
a b ab cc c
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
（4）、含有字母的分式方程的解法： 在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式 方程的解法，也是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母 表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的限制条件。计算结果是用已知数表示 未知数，不要混淆。 三：例题精讲。 例 1：下列关于 x 的方程中，是分式方程的是（ ）
七、分组通分法例 7．解方程： 1 1 1 1 x2 x5 x3 x4
知 识 总结
要点
分式的 概念及 有意义 的条件
A 的形式且 B 中有字母 B
分 式 值 分子等于 0，分母不等于 0 为0的 条件
分式的
基本性 A A• M A M
质
B B•M BM
注意问题
题型
分母 B 0 ，分式 A 才 B
1 课程名称：分式方程的解法 、 教 教学内容和地位：分式方程的解法 材 教学重点：分式方程如何转化为一元一次方程来求解和验根。 分 析 教学难点：分式方程如何转化为一元一次方程来求解和验根。 2 、 课 时 课时：3 课时 规 划
3
、
1.分式得混合运算
教
2.经历探索分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中分式
有意义
1 不是分式
二者必须同时满足，缺 一不可
M 0, B 0 ， 且 A, B, M 均表示的是整
式
已知
x2 4
x2
当 x 为何值时， 分式有意义? 当 x 为何值时， 分式无意义? 当 x 为何值时， 分式的值为零? （4）当 x= - 3 时，分式的值是 多少? 不改变分式的 值，使下列各式 的分子或分母中 最高次项的系数 都是正数.
程转化为整式方程．
解答：方程的两边同乘（x-1），得
2-x=x-1．
故选 D．
A．v=-20
B．v=5
C．v=-5
D．v=20
分析：观察可得最简公分母是(20+v)(20-v)，方程两边乘最简公分母，可以把
分式方程转化为整式方程求解． 解答：方程的两边同乘(20+v)(20-v)，得 100×（20-v）=60×（20+v）， 解得：v=5． 检验：把 v=5 代入(20+v)(20-v)=375≠0，即 v=5 是原分式方程
（2）、解分式方程的步骤 ： 解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方 程，依据是等式的基本性质；
②解这个整式方程； ③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于 0 的解是原 方程的解，使最简公分母等于 0 的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。 注意：① 去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项； ② 解分式方程必须要验根，千万不要忘了！
mx x 4
3 会产生增根？ x2
解：方程两边都乘以 x2 4 ，得 2x 4 mx 3x 6
整理，得 (m 1)x 10
当m 1时，x 10 m1
如果方程产生增根，那么x 2 4 0，即x 2或x 2
（1）若x 2，则 10 2 m 4 m1
（2）若x 2，则 10 2 m 6 m1
x x2 二、化归法例 2．解方程： 1 2 0
x 1 x2 1 三、左边通分法例 3：解方程： x 8 1 8
x7 7x
四、分子对等法例 4．解方程： 1 a 1 b (a b) axbx
五、观察比较法例 5．解方程： 4x 5x 2 17 5x 2 4x 4
六、分离常数法例 6．解方程： x 1 x 8 x 2 x 7 x2 x9 x3 x8