2018年1月厦门市高三质检文科数学试题

厦门市2018届高三年级第一学期期末质检

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的． 1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}13B x x =-≤<，则A B ⋂=

A.{}1,2

B.{}0,1,2

C.{}0,1,23，

D.φ 2．已知命题:p x ∀∈R ，21x >，命题0:q x ∃∈R ，00sin cos x x =，则下列命题中的真命题为 A.q ⌝ B.p q ∧ C.p q ⌝∧ D.p q ∨⌝ 3．已知2log 0.3a =，0.32b =，20.3c =，则

A.a b c >>

B.c b a >>

C. b a c >>

D.b c a >> 4．已知sin234α=

，42

ππ

α<<，则sin cos αα-的值是 A.12 B.12- C.14 D.14

- 5．若x ,y 满足约束条件10,

220,1,x y x y y +-≥⎧⎪

+-≤⎨⎪≥-⎩

则2z x y =+的最大值是

A.1

B. 3

C.5

D.7

6．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题正确的是

A.若a ∥α，b ∥α，则a ∥b

B.若a α⊥，αβ⊥，则a ∥β

C.若a ∥α，b α⊥，则a b ⊥

D.若a ∥α，αβ⊥，则a β⊥ 7．已知数列{}n a 满足11(1)2n n n a a +++-=，则其前100项和为 A. 250 B.200 C. 150 D. 100

9．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点为(,0)F c -，O 为坐标原点，,P Q 为双曲线的

渐近线上两点，若四边形PFQO 是面积为2c 的菱形，则该渐近线方程为

A.2y x =±

B.12y x =±

C.4y x =±

D.1

4

y x =±

10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图， “大衍数列”：0，2，4，8，12

来源于《乾坤谱》中对《易传》大衍之数五十”的推论，

主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.右图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =

A ．44

B ．68

C ．100

D ．140

11．在ABC ∆中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，BD BC λ=．若1

·4

AD BC =

，则实数λ 的值为

A.2-

B.

14 C.12 D.34

12．函数2cos y x =

0x π<<（）和函数3tan y x =的图象相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为

C.2

D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题13．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z

14

15．已知函数221,2(),0,

x x x f x e x ⎧--+-≤⎪=⎨≥⎪⎩的取值范围为 . 16．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>

P

轴，若直线1PF

的斜率为

3

，则该椭圆的离心率为 .

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）

在ABC ∆中，D 是边BC

上的点，AB AD ==1

cos 7

BAD ∠=. （1）求sin B ；

（2）若4AC =，求ADC ∆的面积. 18．（12分）

已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，且520S =，358,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令1

1

n n n b n a a +=

+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .

19．（12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB =，24CD AB ==， CD ∥AB ，90BPA BAD ∠=∠=︒．

（1）求证：PB ⊥平面PAD ；

（2）若三棱锥C PBD -的体积为2，求PAD ∆

20．（12分）

在直角坐标系xOy 中，(1,0)F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切．

（1）求点P 的轨迹方程； （2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l 过点(4,0)M 且与Γ交于,A B 两点．当ABF ∆与AOF ∆

的面积之和取得最小值时，求直线l 的方程．

21．（12分）

已知函数()()2

2ln 12

a f x a x x a x =+

-+． （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）当1a >时，记函数()f x 的极小值为()g a ，若()321(225)4

g a b a a a <--+恒成立，

求满足条件的最小整数b ．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一

题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨

=⎪⎩

（ϕ

为参数）．以坐标原点为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线OA ：

,θα=其中02

π

α<<

．

（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

函数()12f x x x a =-++．

（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥； （2）若()f x 的最小值为2，试求a 的值．