3.1.1(第一微分中值定理)
高等数学微分中值定理
定理2（拉格朗日中值定理） 设函数 f ( x ) 在 a , b 上连续，在 a , b 内可导， 则至少存在一点 a, b ，
f (b ) f (a ) . 使得 f ( ) ba
分析：如 图3.3，定理2实际是让我们证明曲线 f ( x )
B 点所在直线 其切线平行于 A， 上存在一点 , f ， y f ( ) l ( x ) 0 l ( x )， 即 y f ( x)
y
C
y f ( x)
o a
1
2
b
x
物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
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定理1（罗尔定理） 设
f ( x ) 在 a , b 上连续，在
y
y f (x)
(a , b) 内可导，且 f (a ) f (b)， o
则至少存在一点 a, b 使得 f ( ) 0 ．
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§3.1 微分中值定理
第三章
微分中值定理与导数的应用
第二我们给出了函数导数的定义，研究了导性态与函数的图像．
由于函数在一点的导数只反映函数的局部性态，因此要
用导数来研究函数的性质及其图像，就必须在函数的定义域
内研究函数的自变量、因变量与导数之间的关系，这一理论 就是微分中值定理，微分中值定理是研究函数性态和函数图 像的理论基础．
f (b ) f (a ) . 使得 f ( ) ba
f ( ) l ( x ) 0 f ( x ) l ( x ) x = 0．
因此，只要证明 f ( x ) l ( x ) 在 a , b 上满足罗尔定理条件， 定理即可证明. 事实上, 易知
微积分：微分中值定理
根的存在定理判断方程f x 0有根；
罗尔定理判断方程f x 0有根.
例 证明 f (x) x(x 1)(x 1)(x 2)
的导函数f x 有三个实根。
证 显然 f (2) f (1) f (0) f (1) 0,
f x在 2, 1,1, 0,0,1上均满足
Rolle定理
有一条切线平行 A
N
D
o a 1 x
2 b
x
于连接曲线端点的弦.
证明： 变形 f (b) f (a) f ( ) 0
ba
构造函数 ( x) f (b) f (a) x f ( x),
ba
则易证： ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，
(a) (b) af (b) bf (a) ,
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 难点: 用中值定理证题
罗尔定理判断方程f x 0有根.
用拉格朗日定理证明等式或不等式
作 业：
看书，并完成作业：P122: 3; 5; 6;7;8； 9;10;11.(1);12.(1);14.
3.5 洛必达(L’Hospital)法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
ba
在(a, b)内至少有一点，
使得 （） f (b) f (a) f ( ) 0,
ba
故 f (b) f (a) f ( )。
ba
拉格朗日中值定理的另几种形式：
(1) f b f a f ' b a
称为拉格朗日公式。
2 f x x f x f ' x
x, x x
一、罗尔（Rolle）定理
若函数 y f(x)满足：
(1)在闭区间a, b上连续，
3.1微分中值定理
区间(a, b)内可微,则 (a, b)，使
f (b) f (a) f ( )
证
ba 作辅助函数 g( x)
f (x)
f (b) f (a) x, ba
则 g(a) g(b) bf (a) af (b) , y
ba
g(x)满足Rolle定理的条件，则
故
4
1
1 2
,从而
4 (0,1).
例5 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f ( x) 1 ( 1 ) 0,
1 x2
即 f ( x) 在 I 上是一个常数.
由推论1可得 :
推论2 如果函数f ( x), g( x)在区间I上恒有f ( x) g( x), 则在区间上f ( x) g( x) C
由拉格朗日中值定理可以推出:
推论3 如果函数f ( x)在区间I上恒有f ( x) k,(k 0) 则在区间上f ( x)是一次函数
1 x2
由推论得 f (x)=C, x [-1 , 1],
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 ,
22
即C . 2
则
arcsin x arccos x .
2
例6 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
(2)Lagange定理精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
如果记b =x+x, a=x, 则 f (x x) f (x) f ( ) x . (3.5)
第一讲微分中值定理
第一讲微分中值定理教学目的使学生掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理,并能应用罗尔定理,拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明和解决一些简单问题．教学重点使学生深刻理解微分中值定理的实质．教学难点拉格朗日中值定理的证明．教学学时 2学时教学过程上一章我们学习了导数的概念,并讨论了导数的计算方法．学习的目的在于应用,这一章我们来学习导数的应用,首先学习微分中值定理,他们是导数应用的理论基础．微分中值定理包括: 罗尔定理, 拉格朗日中值定理和柯西中值定理,简称微分中值三定理．一、罗尔定理我们首先来观察一个图形，见图1.设图1中曲线弧AB是函数)(x fax∈的图形．这(b[,y=])是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于X 轴的切线，即)(x f 在),(b a 内处处可导．且两端点处的纵坐标相等，即)()(b f a f =．可以发现在曲线弧AB 的最高点或最低点处，曲线都有水平的切线．如果记曲线弧AB的最高点C 的横坐标为ξ，则()0'=ξf ．若我们用分析的语言把这一几何现象描述出来，就得到了下面的罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理．罗尔定理 若函数满足(1) 在闭区间[]b a ,上连续；(2) 在开区间()b a ,内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等，即()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf ．为了给出罗尔定理的严格证明，我们首先需要学习下面的引理，它称为费马()Fermat 定理．费马定理 设函数()x f 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的0()x U x ∈，有()()0x f x f ≤()()()0f x f x ≥或，则()00'=x f ．分析 为了利用函数值的大小关系得出导数的结论，显然应该考虑使用导数的定义．不妨设0()x U x ∈时，()()0x f x f ≤．于是，对于00()x x U x +∆∈，有()()00f x x f x +∆≤，从而当0>∆x 时，()()000≤∆-∆+x x f x x f ； 当0<∆x 时，()()000≥∆-∆+x x f x x f ．由于函数()x f 在0x 处可导，上述两式的左端当0→∆x 时极限皆存在，因此由极限的保号性知()()()()0lim 0000'0'≤∆-∆+==+→∆+x x f x x f x f x f x ，()()()()0lim 0000'0'≥∆-∆+==-→∆x x f x x f x f x f x ． 所以，()00'=x f ．类似地可证明0()x U x ∈时，()()0x f x f ≥的情形．通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点)．费马定理告诉我们，若函数在0x 点可导，且函数在0x 点处取得了局部的最大值或最小值，则函数在点0x 处的导数一定为零，即()00'=x f ．由图1知，函数()x f 在ξ处取得了局部的最大值．因此，根据费马定理不难证明罗尔定理．罗尔定理的证明 由于()x f 在[]b a ,上连续，所以()x f 在[]b a ,上必定取得它的最大值M 和最小值m ．这样，只有两种可能的情形：(1) m M =．此时对于任意的[]b a x ,∈，必有()M x f =．故对任意的()b a x ,∈，有()0'=x f ．因此，()b a ,内任一点皆可作为我们找的ξ．(2) m M >．因为()()b f a f =，所以M 和m 中至少有一个不等于()a f ．不妨设()a f M ≠，则在()b a ,内必有一点ξ，使得()M f =ξ．又因为对于任意的[]b a x ,∈，有()()ξf x f ≤，且()f ξ'存在．故由费马定理知，()0'=ξf ．类似可证()a f m ≠的情形．罗尔定理成立．例1 不求出函数()()()()321---=x x x x f 的导数，说明方程()'0f x =有几个实根，并指出它们所在的区间．分析 讨论方程()0'=x f 的根的问题，通常考虑用罗尔定理，因为由罗尔定量的结论知，ξ实际上是方程()0f x '=的根．而讨论这类问题的基本思路是，在函数()x f 可导的范围内，找出所有端点处函数值相等的区间．而由罗尔定理知，在每个这样的区间内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf ．ξ即为方程()0'=x f 的一个实根，同时也得到了这个实根所在的范围．对于本问题来说，根据代数学基本定理，方程()0'=x f 至多有两个实根．而由函数()x f 的表达式知，()()()321f f f ==．因此，[]1,2和[]2,3就是我们所要找的区间，在这两个区间内各有方程()0'=x f 的一个实根． 解 因为()x f 在[]2,1和[]3,2上连续，在()2,1和()3,2内可导，且()()()1230f f f ===，所以由罗尔定理知，在()2,1内至少存在一点1ξ，使得()01'=ξf ，在()3,2内至少存在一点2ξ，使得()02'=ξf ．1ξ和2ξ都是方程()0f x =的实根．又由代数学基本定理知，方程()0'=x f 至多有两个实根，所以方程()0'=x f 必有且只有两个实根，它们分别位于()2,1和()3,2内．小结 利用函数的性质讨论()0'=x f 的根(也称为()x f '的零点)，应用罗尔定理是一个常用方法．二、拉格朗日中值定理罗尔定理中()()b f a f =这个条件是相当特殊的，也是非常苛刻的．由于一般的函数很难具备这个条件，因此它使罗尔定理的应用受到了很大限制．我们可以设想一下，若把条件适当放宽，比如把()()b f a f =这个条件去掉，仅保留罗尔定理中的第一个和第二个条件，那么相应的结论会发生什么变化呢？为了更好地讨论这个问题，我们先从几何直观入手，见图2．设图2中曲线弧AB 是函数)(x f y =]),[(b a x ∈的图形，它是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，并且两端点处的纵坐标不相等，即()()f a f b ≠．不难发现在曲线弧AB 上至少有一点c ，使曲线在点ｃ处的切线平行于弦AB ．若记c 点的横坐标为ξ，则曲线在c 点处切线的斜率为()ξ'f ．而弦AB 的斜率为()()a b a f b f --．因此()()()ξ'f ab a f b f =--()()()()()a b f a f b f -=-ξ'或． 若我们用分析的语言把这一观察结果描述出来，就得到了下面的拉格朗日()Lagrange中值定理．拉格朗日中值定理若函数()x f满足(1)在闭区间[]b a,上连续；(2)在开区间()b a,内可导，则在()b a,内至少存在一点ξ，使得()()()()abfafbf-=-ξ'()()()⎪⎭⎫⎝⎛=--ξ'fabafbf或．（１）从图1可以看到，在罗尔定理中，由于()()b faf=，弦AB是平行于x轴的，因此点c处的切线不仅平行于x 轴，实质上也是平行于弦AB的．由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．下面我们来讨论拉格朗日中值定理的证明问题．由罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系，使我们自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理．但在拉格朗日中值定理中，函数()x f不一定具备()()b faf=这个条件，为此我们设想构造一个与()x f有密切联系的函数()xϕ(称为辅助函数)，使()xϕ满足条件()()baϕϕ=及罗尔定理的另外两个条件，并对()xϕ应用罗尔定理，然后再把对()xϕ所得的结论转化到()x f上，从而使拉格朗日中值定理得到证明．这就是我们所设想的证明拉格朗日中值定理的思路，那么怎样去构造辅助函数()x ϕ呢？若记图2中弦AB 的方程为()x L y =，那么根据所构造的辅助函数()x ϕ需要满足的条件，通过对图2的观察，我们不难发现()()x L x f -这个函数很可能就是我们所需要的那个辅助函数．为什么呢？首先，若我们记()()()x L x f x -=ϕ，则函数()x ϕ与()x f 有着密切的联系；第二，由于曲线弧AB 与弦AB 在B A ,两点相交，因此，()()()0=-=a L a f a ϕ，()()()0=-=b L b f b ϕ，即()()b a ϕϕ=；第三，由于函数()x f y =和()x L y =在[]b a ,上都连续,在()b a ,内都可导，因此()x ϕ在[]b a ,上满足罗尔定理的条件．至于对()x ϕ在[]b a ,上应用罗尔定理后，能否得到我们所需要的结论，请看下面的证明．拉格朗日中值的证明 弦AB 的直线方程为()()()()()a x a b a f b f a f x L ---+=．因此，函数()()()()()()a b ab a f b f a f x f x -----=ϕ, (2)且()()()()a b a f b f x f x ---=''ϕ．对函数()x ϕ在[]b a ,上应用罗尔定理知，在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξϕ，即 ()()()0'=---a b a f b f f ξ，()()()ξ'f a b a f b f =--．定理得证．由上述证明可知，函数()x ϕ正是我们所需要的那个辅助函数．现在回过头来看一看辅助函数()()()x L x f x -=ϕ的几何意义是什么？在图2的闭区间[]b a ,上任取一点x ，并过x 作与纵轴平行的直线，交弧AB 于M ，交弦AB 于N ，则有向线段NM 的值恰好是我们所构造的辅助函数()()()x L x f x -=ϕ．其中()x f 为M 点的纵坐标，()x L 为N 点的纵坐标．几点说明：(1) 显然，公式()1对于a b <也成立，(1)式称做拉格朗日中值公式．(2) 设x 为区间[]b a ,上一点，x x ∆+为该区间内的另一点()00<∆>∆x x 或，则公式（１）可写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+=-∆+θ'()10<<θ． ()3(3) 若记()x f 为y ，则()()x f x x f y -∆+=∆，于是()3式又可写成()x x x f y ∆⋅∆+=∆θ'()10<<θ． ()4我们知道，若函数()x f y =在x 处可微，则()y dy o x ∆=+∆．这时可以用函数()x f y =的微分()x x f dy ∆='来近似地代替函数增量y ∆，并且所产生的误差()x dy y ∆=-∆ 是比x ∆高阶的无穷小．但我们却没有实现用微分精确表示函数的增量，而()4式给出了自变量取得有限增量x ∆()不一定很小x 时，函数增量的微分精确表达式．因此，拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理，()4式也称为有限增量公式．拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称其为微分中值定理．利用它可实现用导数来研究函数的变化．作为拉格朗日中值定理的一个应用，我们看下面的问题．我们知道，如果函数()x f 在某一区间上是一个常数，则()x f 在该区间上的导数恒为零．那么它的逆命题是否成立呢？这就是下面的定理所要回答的问题．定理 若函数()x f 在区间I 上的导数恒为零，则()x f 在区间I 上是一个常数．证 在区间I 上任取两点21,x x ()21x x <，应用()1式即得()()()()12'12x x f x f x f -=-ξ()21x x <<ξ．由题设知()0'=ξf ，所以()()012=-x f x f ，即 ()()12x f x f =． 因为21,x x 是I 上任意两点，所以()x f 在区间I 上是一个常数．这个定理在以后我们要学习的积分学中将起到至关重要的作用．下面我们应用拉格朗日中值定理来证明不等式． 例2 证明当0>x 时， ()x x x x <+<+1ln 1．分析 拉格朗日中值公式的形式并不是不等式的形式，那么怎么能用拉格朗日中值定理去证明不等式呢？我们知道，在拉格朗日中值公式中()b a ,∈ξ，而不知道ξ具体等于多少？但根据ξ在b a ,之间的取值却可以估计出()ξ'f 的取值范围，或者说可以估计出()ξ'f 取值的上下界．分别用()ξ'f 取值的上下界去代换拉格朗日中值公式中的()ξ'f ，就可以得到不等式了，这就是用拉格朗日中值定理去证明不等式的思路．用拉格朗日中值定理去证明不等式，最重要的是去找函数()f x 和相应的区间[]b a ,．那么怎样去找函数()x f 和相应的区间[]b a ,呢？注意，拉格朗日中值公式()()()ξ'f a b a f b f =--的左端是很有特点的，它恰好是函数()x f 在区间[,]a b 上的增量与区间[]b a ,的长度之比．因此，只要我们通过不等式的变形，把其核心部分变形为()()a b a f b f --的形式，就不难确定函数()x f 和相应的区间[]b a ,了．对于本例来讲，首先我们可以做如下的变形：()11ln 11<+<+x x x ，()()1001ln 1ln 11<-+-+<+x x x ．由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数()x f 为()x +1ln ，相应的区间为[]x ,0．如果我们对原不等式再做另外一种变形，即()11ln 11<+<+x x x ，()()1111ln 1ln 11<-+-+<+x x x ．则由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数()x f 为x ln ，相应的区间为[]x +1,1．确定了所需要的函数()x f 及相应的区间[]b a ,后，接下来就是对函数()x f 在[]b a ,上应用拉格朗日中值定理，并估计拉格朗日中值公式中()ξ'f 取值的上下界了．证 方法一设()()x x f +=1ln ，显然()x f 在区间[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件．拉格朗日中值定理得()()ξξ+==+111ln 'f x x x <<ξ0由于x <<ξ0，所以11111<+<+ξx ，即()11ln 11<+<+x x x ，()x x x x <+<+1ln 1．方法二设()x x f ln =，显然()x f 在区间[]x +1,1上满足拉格朗日中值定理的条件．对函数()x f 在区间[]x +1,1上应用拉格朗日中值定理，并对拉格朗日中值公式中()ξ'f 取值的上下界进行估计，即可证得本例中的不等式．具体证明过程请同学们课后完成．总结(1) 例2中的分析是用拉格朗日中值定理证明不等式的一般思路，同学们务必要掌握其要领．(2) 由例2的证明过程可见，用拉格朗日中值定理证明不等式时所选择的函数()x f 并不是唯一的，重要的是函数应与相应区间相匹配．三、柯西中值定理拉格朗日中值定理的几何意义是：如果在连续曲线()x f y =的弧AB 上，处端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，则在该弧上至少存在一点c ，使曲线在c 点处的切线平行于弦AB ．若我们不用()x f y =来表示连续的曲线弧AB ，而用参数方程来表示连续的曲线弧AB ，那么上述结论的表达形式会发生什么变化呢？设连续的曲线弧AB 由参数方程()()⎩⎨⎧==x f Y x F X ()b x a ≤≤表示，见图3 ，其中x 为参数．那么利用参数方程求导公式，曲线上点()Y X ,处切线的斜率为 ()()x F x f dx dy ''=， 弦AB的斜率为()()()()a F b F a f b f --．假定点c 对应于参数ξ=x ，那么曲线上点c 处的切线平行于弦AB 可表示为()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--．与这一结论的表达式相对应的就是下面的柯西()Cauchy 中值定理．柯西中值定理 若函数()f x 及()F x 满足(1) 在闭区间[]b a ,上连续；(2) 在开区间()b a ,内可导；(3) 对任一()b a x ,∈，()0'≠x F ，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--． ()5证 首先我们来证明在已给条件下()()0≠-a F b F ．显然函数()x F 在[]b a ,上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理应有()()()()a b F a F b F -=-η'()b a <<η．由于b a <<η，由假定知()0'≠ηF ，又0≠-a b ，所以 ()()0≠-a F b F ．类似于拉格朗日中值定理的证明，我们仍然用表示有向线段NM 的值的函数()x ϕ作为辅助函数，见图3 ．这里点M 的纵坐标为 ()x f Y =，点N 的纵坐标为()()()()()()()[]a F x F a F b F a f b f a f Y ---+=，于是 ()()()()()()()()()[]a F x F a F b F a f b f a f x f x -----=ϕ． 由假定知，函数()x ϕ在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()()0==b a ϕϕ，()()()()()()()x F a F b F a f b f x f x '''---=ϕ．因此，()x ϕ在[]b a ,上满足罗尔定理的条件，故在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξϕ，即 ()()()()()()0''=---ξξF a F b F a f b f f ．由此得 ()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--，定理证毕．很明显，如果取()x x F =，那么()()()1,'=-=-x F a b a F b F ，因而公式()5就可以写成()()()ξ'f a b a f b f =--，这样就变成了拉格朗日中值定理．由此可见拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广．显然公式()5对于a b <也成立，()5式称做柯西中值公式．最后我们需要指出，不论是罗尔定理、拉格朗日中值定理，还是柯西中值定理，它们的本质都是：若在一条连续的曲线弧AB 上，除其端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则在这段曲线弧上至少有一点c ，使曲线在c 处的切线平行于弦AB ．当弧AB 用()x f y =表示，且端点处的纵坐标相等时，我们就得到了罗尔定理；当弧AB 用()x f y =表示，且端点处的纵坐标不相等时，我们就得到了拉格朗日中值定理；当弧AB 用参数方程()()⎩⎨⎧==x f Y x F X , ()b x a ≤≤表示，我们就得到了柯西中值定理．罗尔定理．拉格朗日中值定理和柯西中值定理的关系如下： f ξ'=−−−−→ 推广 ()()f a f b =←−−−−特殊情形()()()f b f a f b a ξ-'=- 推广F x x =←−−−−−特殊情形()()()()()()f b f a f F b F a F ξξ'-='-。
第一部分微分中值定理洛必达法则教学-PPT精选
通常称为未定式，分别记为 0 和 。
0
下面介绍利用导数求未定式极限的一个简单而 有效的方法——罗必达法则。
1、 0 型未定式：
0
定理：若函数 f(x)和g(x) 满足下列条件：
(1 ) lim f(x ) 0 ,lig m (x ) 0 ;
[0, x]上满足拉格朗日定理的条件，因此有
f ( x ) f ( 0 ) f () x ( 0 ) ( 0 , x )
即 ln(1x) x
1
由于 0x ， 所以
x x x
1x 1
即
x ln1(x)x
1x
二、罗必达法则
如果当 x x0(或 x )时，两个函数f(x)和g(x) 的极限都为零或都趋于无穷大，极限
第一节 微分中值定理 洛必达法则
一、微分学中值定理 二、罗必达法则
一、微分学中值定理
1、罗尔定理 定理1 （罗尔定理）如果函数 y f(x)满足下
列条件： （1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)。
则在开区间（a,b)内至少存在一点 ，使得
f()0
lim2x3
xlnx
1
x
例9 求 lim lnsin3x
x0 ln sin x
解
limlns
in3x lims
1 .3c in3x
o3sx
x0 lnsinx x0
1 .coxs
sinx
3lim co3xs.lim six n x 0 coxsx 0si3 nx
x x 0
第三章 微分中值定理及其应用
第三章 微分中值定理及其应用3.1 中值定理 3.1.1 费马引理设函数)(x f 在点0x 处可导且在点0x 处取得极值，则0)(0'=x f 。
备注：费马引理实质上是可导函数极值存在的必要条件。
3.1.2 罗尔定理设函数)(x f 在[]b a ,上连续，),(b a 上可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)('=εf 。
（1）罗尔定理的三个条件缺一不可。
（2）罗尔定理的几何意义是曲线)(x f 存在水平切线。
（3）罗尔定理只给出了导函数零点的存在性，通常这样的零点是不易具体求出的。
例1：设函数)(x f 在[]3,0上连续，在)3,0(上可导，3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f 。
证明：至少存在一点)3,0(∈ε，使得0)('=εf 。
例2：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，0)()(==b f a f ，且)(x f 在),(b a 内可导，试证：对任意的实数α，存在一点),(b a ∈ξ，使得αξξ=)()('f f 例3：设函数)(x f 在[]b a ,上具有二阶导数，且0)()(==b f a f ，0)()('' b f a f 。
证明：（1）至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)(=εf（2）至少存在一点),(b a ∈η，使得0)(''=ηf 。
例4：设n a a a 21,满足n i R a n a a a a i nn ,2,1,,012)1(531321=∈=--+++-- 证明：方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2,0(π内至少有一个实根。
例5：设函数)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，在),(b a 内二阶可导且存在相等的最大值，又)()(),()(b g b f a g a f ==。
3.1.1 微分中值定理
证 任取两点 x1、x2 [a, b], 设 x1< x2,
则
f (x2 ) f (x1 ) x2 x1
f (x ),
x ( x1 , x2 )
因为 f (x) = 0，所以 f (x) = 0， 即 f ( x2 ) f ( x1 ) 0，
x2 x1
故 f (x1) = f (x2)， 由于x1、x2的任意性,
※然后相应确定一个区间
※选定的函数在所确定的区间上要满足拉格朗日中
值定理的条件，则有拉格朗日公式成立
※由ξ 所在区间范围，即可导致等号成为不等号
例5
设a
b
0, 证明：a-b
a
ln b
a-b
.
a
b
例6 证明 当 x 1 时, e x ex
证明: 设 f ( x) e x , f ( x) e x ,
1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f (x)(x 0), (0 x x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1 x
解 显然, f (x) 在区间 [1, 2]，[2, 3] 上都满
足罗尔定理，所以至少有 x1 (1, 2)，x2 (2, 3)， 使 f (x1) = 0， f (x2) = 0， 即方程 f (x) = 0 至少
有两个实根，又因为 f (x) = 0 是一个一元二次方程， 最多有两个实根，所以方程 f (x) = 0 有且仅有两个 实根，且分别在区间(1, 2) 和 (2, 3)内.
3-1第一节 微分中值定理
再证明只有一个实根,用反证法.假设还有x1∈(a,b), x1∈(a,b),x1≠x0,使f(x1) =0.那么由罗尔定理知道,必 定存在一点ξ ∈(a,b),使f ‘(ξ)=0,则与题设导数恒 不为零相矛盾.因此方程f(x)=0只有一个实根x0.
高 二 拉格朗日(Lagrange)定理 等 定理2 设函数f(x)在闭区间[a,b] 数 y f(x)=k B 学 A 电 上连续,在开区间(a,b)内可导,则 f(b) f(ξ) 子 f(a) x 教 在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 o a ξ1 ξ2 b 案
高 等 数 学 电 子 教 案
(中值定理与导数的应用)
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案
第三章
微分中值定理与导数的应用
这一章提供了各种各样的方法来研究函数。这其中 又提供了两种求极限的方法---洛必达法则与泰勒式；另 外利用微分中值定理,函数的单调性，凹凸性，泰勒公式
a
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
即f(a)=f(b)，且除了端点外
b
处处有不垂直于x轴的切
线。
高 等 数 学 电 子 教 案
可发现在曲线弧的最高点或最低点C处，曲线有水
平的切线.如果记C点的横坐标为ξ ，那么有 f ' ( ) = 0。我 们用数学语言来描述这个情况,先介绍费马定理。
引理(费马定理) 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内有
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
m ξ2 b
x
高 等 数 学 电 子 教 案
定理1的几何意义是: 对于满足条件的f(x)在(a,b)内至少有
一点ξ(即中间值),使f(x)在x=ξ时有水平切线,即f ’(ξ)=0. 罗尔中值定理: 若函数y=f(x)满足条件 (1)在闭区间[a,b]上连续;
高教社2024高等数学第五版教学课件-3.1 微分中值定理与洛必达法则
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2
2
→0+
=
=
(
−
→0+ 2
1
)2
1
2
−
=
= .
2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类
3.1 微分中值定理
π
自证: arctan + arccot = , ∈ (−∞, +∞).
2
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
例3 证明当 > 0时,
< ln( 1 + ) < .
1+
证
设 () = ln( 1 + ), 则()在[0, ]上满足拉格朗日中值定理的条件,
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日定理
如果函数()满足
(1) 在闭区间[, ]上连续;
(2) 在开区间(, )内可导,
() − ()
.
则在开区间 , 内至少存在一点 , 使得 ′( ) =
−
几何解释∶
在曲线弧 上至少有一点 , 在该点处的切线平行于弦.
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
分析:
欲证 ′ (
() − ()
)=
−
将 变为
逆
向
思
维
′ ()
() − ()
=
−
适当变形
() − ()
() −
−
′
=0
设为辅助函数
验证辅助函数满足罗尔定理条件, 得出结论.
则在开区间 , 内至少存在一点 ,使得
() − () ( )
(( ), ( ))
几何解释∶
在曲线弧上至少有一点, 在该点处的切线平行于弦.
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
高数上3.1 微分中值定理
证:只须令 F(x) f (x) kx, x [a,b]应用例1的结论.
此结论的意义在于区间上的导函数不论是否 连续,一定有介值性质。
反之由f (x)的介值性是推不出f (x)的连续性。
罗尔(Rolle)定理 若函数 f ( x)在闭区间 [a,b] 上连 续，在开区间 (a,b)内可导，且在区间端点的函数值
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
(1) 若M m, 则 f ( x) M . 故 (a,b), 都有 f ( ) 0.
(2) 若 M m, f (a) f (b),
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
相等，即 f (a) f (b), 则在 (a,b) 内至少有一点 (a b), 使 f ( ) 0.
证 f ( x)在 [a,b] 连续，必存在最大值 M 和最小 值 m.
(1) 若M m, 则 f ( x) M . 故 (a,b), 都有 f ( ) 0.
(2) 若 M m, f (a) f (b),
f
(
x
)
a1
sin
x
1 3
a
2
sin
3
x
1 2n
1
an
sin(2n
1) x,
证 作辅助函数
f
(
x
)
a1
sin
x
1 3
a
2
sin
3
x
1 2n
1
an
sin(2n
1) x,
显然 f (0) f ( / 2) 0, f ( x) 在 [0, / 2]上连
山东财经大学 微积分课件 §3.1 中值定理
(3)
y f ( x x ) f ( x ) f ( x x )x (0 1) (4)
注意
1). 定理中的两个条件 缺一不可.
2). 定理结论肯定中间值 的存在,但未知其确切位置; 3). 式中的 可能不只一个, 这并不影响它在理论上的应用
8
例1. 验证拉格朗日中值定理对函数f ( x ) x 在区间 [0,1] 上 的正确性.并求
f ( )
0 f ( x ) f (b) f (a ) ba
即证 f ( )
令
( x) f ( x)
f (b) f (a ) ba
那个函数的导数？
x
2.验证满足三个条件，特别是第三个 易见 ( x ) 在 [a , b] 上连续， 在 ( a , b)内可导，
9
例2. 证明 当 x 0 时,
x 1 x
ln( 1 x ) x.
证 设 f ( x ) ln( 1 x ), x 0 对
f (t ) ln(1 t ) 在 [0, x ] 上应用拉氏中值定理,
(0, x ) , 使 f ( x ) f (0) f ( )( x 0)
11
例3. 试证 arcsin x arccos x
x [1,1]
2 证. 设 f ( x ) arcsin x arccos x, 1 1 0 f ( x ) 2 2 1 x 1 x ( x ( 1,1 )) 所以 f ( x ) c
因
f ( 0)
m 1
3!
5!
2m 1 !
Rm 1 ( x )
其中
sinx 2m 1 2 2 m 1 Rm 1 ( x ) x 2m 1 !
3.1微分中值定理
论可能不成立. 例如, y x , x [2,2];
1
y
o
1
x
y
o
y
1
x
o
1
x
(2). 罗尔定理的几何意义： 若连续曲线y=f (x)在
y=f (x) y
AB上处处有不垂直于x轴 的切线，且f (x)在A、B两
0
点的纵坐标值相等，则在
a
b x
)
AB上至少可找到一点， 使曲线在该点的切线平 __ 行于x轴(或平行于弦AB)。
x
一. 费马定理
定理
设 f ( x) 在区间 I 内有定义 , 且在 I 内某点
处取极大（小）值 . 若 f ( ) 存在 , 则必有
f ( ) 0 .
可微函数在区间内部取极值的必要条件 是函数在该点的导数值为零.
费马定理的几何解释
y
如 何 证 明 ？
y f ( x)
P
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
( ( )) ( ) 0, 即 f ( ) g ( ).
y y=f (x)
把罗尔定理的图示歪斜着 看会有什么不同呢？
0
a
点 P 处切线的斜率： k f ( )
b
x
相等！
y
弦线 AB 的斜率： f (b) f (a) k ba
P
B
A
o a 1
)
例1 对函数f ( x ) x 3 4 x 2 7 x 10, 在[1,2]上 验证Rolle定理的正确性. 证 (1) 定理的假设条件满足
f ( x )在[1,2]上连续, 在( 1,2)内可导, f ( 1) 0 f ( 2)
第三章第一节微分中值定理
§3.1 微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理定理3.1(罗尔定理) 如果函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.图罗尔定理的几何意义是：函数()y f x =的曲线上至少存在一点，使得过该点的切线平行x 轴.证明：()y f x = 在[,]a b 上连续 ()f x ∴在[,]a b 上有最大值M 和最小值m(1)若M m =，则()()f x M m =为常数 ()0f x '∴=.(,)a b ξ∴∀∈，都有()0f ξ'=(2)若M m >，则M 和m 中至少有一个不等于()f a .设()M f a ≠，()M f ξ=，其中(,)a b ξ∈ M 是()f x 最大值，[,]x a b ξ∴∀+∆∈有()()f x f ξξ+∆≤， 即()()0f x f ξξ+∆-≤()()0f f ξξ+-''∴==，即()0f ξ'=.证毕0()()()lim 0x f x f f xξξξ++∆→+∆-'=≤∆ . 0()()()lim 0x f x f f xξξξ--∆→+∆-'=≥∆. ()f x 在(,)a b 可导，则在点ξ处可导 ()()()f f f ξξξ+-'''∴==例1 函数3()3f x x x =-在[3,3]-上满足罗尔定理条件，求符合罗尔定理结论的ξ. 解：2()33f x x '=-令()0f x '=，即2330x -=解得1x =或1x =- 而1、1-(3,3)∈- 取1(3,3)ξ=±∈-即为所求.二、拉格朗日(Lagrange)定理定理3.2(拉格朗日定理)如果函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=- 或()()()()f b f a f b a ξ'-=- 图拉格朗日定理的几何意义是：f x上至少存在一点，使得过曲线()A a f a，该点的切线平行于连结(,())B b f b两点的弦.(,())证明：设置辅助函数()()()()f b f a F x f x x b a-=--，[,]x a b ∈ 显然()F x 满足罗尔定理的前两个条件()()()()()()f b f a bf a af b F a f a a b a b a--=-=--. ()()()()()()f b f a bf a af b F b f b b b a b a--=-=--.又()()()()f b f a F x f x b a-''=-- 所以()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=- 所以()()()f b f a f b aξ-'=-. 定理证毕 所以()()F a F b = 由罗尔定理知 在(,)a b 内至少存在一点ξ使得()0F ξ'=例2 函数3()f x x =在[0,3]上满足拉格朗日定理条件，求符合拉格朗日定理结论的ξ.解：2()3f x x '=，从而2()3f ξξ'= 由拉格朗日定理 2(3)(0)330f f ξ-=- 即33230330ξ-=-，解得3ξ=-或3ξ= 因为3(0,3)∈，所以3ξ=即为所求.三、相关结论在拉格朗日定理中，若令()()f a f b =，则结论变为()0f ξ'=.可见罗尔定理是拉格朗日定理特例.推论1 如果函数()f x 在区间(,)a b 内的每一点的导数都等于零，则函数()f x 在(,)a b 内为一常数.推论2 若函数()f x 和()g x 在区间(,)a b 内的每一点的导数()f x '和()g x '都相等，则这两个函数在区间(,)a b 内最多只能差一个常数.。
3.1 两大微分中值定理
推论2 如果 f (x) g(x)，则 f (x) g(x) C（C为常数）。
【 3.1 小结 】 罗尔定理
推广
拉格朗日定理
条件： ①在 [a , b] 上连续
并求出罗尔定理结论中的
解：由初等函数连续性可知：f (x) 在[0,2] 上连续，又 f (x) 6x2 8，
在(0 , 2) 内可导，且 f (0) f (2) 3，所以 f (x) 在[0,2] 上满足罗尔
定理条件。
令
f ( ) ，0 解得
2 。3 负的舍去，即得所求的 为 2 3
f (x) 2x3 2x 5 在区间 [0, 1]
上的正确性。并求出罗尔定理结论
中的
2．验证拉格朗日定理对函数
f (x) x 2x 在区间[1, 4] 上的
正确性，并求出满足拉格朗日定理
结论中的
【提问】常数函数的导数为零；那么反过来，在某一区间 上导数处处为零的函数是否一定为常数函数？
至少有一条水平切线。
定理 3.1 （罗尔定理）
如果函数 y f (x) 在闭区间 [a , b] 上连续，在开区间 (a , b)
内可导，且 f (a) f (b)， 那么在开区间 (a , b) 内至少有一点 ，
使得
f ( ) 0
例3.1.1
验证罗尔定理对函数 f (x) 2x3 8x 3 在区间[0,2] 上的正确性。
经济数学
第3章 导数的应用
第3章 导数的应用
3.1 两大微分中值定理 3.2 函数的单调性 洛必达法则
3.1 微分中值定理
2 1 3 4 2 1
4 4
(2) 设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)(x 4), 方程 f ( x) 0.
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 内.
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(0 ,1) 可导，且 f (1) 0. 2 设 f ( x) 在 [0,1] 连续，
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例3.1.6
x 证明不等式 1 x ln(1 x) x ( x 0) .
证明 设 f (t ) ln(1 t ) , 则 f (t ) 在[0, x] 上满足拉格朗日 中值定理条件, 因此
f ( x) f (0) f ( )( x 0)
即 因为 故
(0 x) (0 x)
x , ln(1 x) 1 x x x 1 x 1 x ln(1 x) x 1 x
( x 0)
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高等数学
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
f (b) f (a)
得
20 2 2 (0, 2). 3x 3 1, x 3
注 (1) 若 f (a) = f (b), Lagrange定理即为 Rolle定理
y
(2) Lagrange定理的几何意义:
若连续曲线 y f ( x) 的弧 AB
O
上除端点外处处具有不垂直于 x轴的切线,
a
b x
则弧上至少 有一点C 的切线平行于弦AB.
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【考研数学】3.1微分中值定理笔记小结
第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理定义（极值）若，使得恒有 ，则称在取极小值.恒有，则称在取极大值.费马引理 若在处取得极值,且在处可导,则罗尔定理 若 1）在上连续；在内可导；则，使2）3）费马(1601 – 1665)费马 法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 .引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若在上连续；2）内可导，1）在，使则注：1）结论都成立.2）有限增量公式推论 设在区间上连续，在内可导，则在上拉格朗日 (1736-1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来, 数学中的许多成就都可直接或间接地追溯到他的工作,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.例1 试证例2 证明：当时，例3 证明：当时，三、柯西中值定理柯西中值定理 若上连续；在内可导，且1）2）在则，使内容小结1. 意义建立局部和整体的关系2. 关系罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理3. 应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论作业P132：5；6；7；8；10；11；12.。
3.1.1(第一微分中值定理)
安康职业技术学院课时授课计划（教案首页）安康职业技术学院教案续页教学过程:一、内容回顾定理1（Rolle ）若函数()f x 满足条件（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =。
则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=。
几何意义：在定理的条件下，区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得曲线在点((,())f ξξ处具有水平切线。
二、拉格朗日中值定理定理2（Lagrange ）设函数()f x满足条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=-。
或写成 ()()()()f b f a f b a ξ'-=-。
上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于b a <也成立。
几何意义：如果连续曲线()y f x =上除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，则在曲线弧AB 上至少存在一点((,())f ξξ，在该点处曲线的切线平行于弦AB 。
由拉格朗日定理的几何意义可以看出，当函数满足()()f a f b =时，此时弦AB 的斜率等于零。
即 ()0f ξ'=。
这便是罗尔定理的结论。
所以罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。
即Lagrange 中值定理()()f a f b =−−−−→Rolle 定理 证明分析：若记 ()()f b f a k b a-=-，要证（1）式，即证()f k ξ'=⇒()0f k ξ'-=⇒[()]0x f x k ξ='-=⇒[()]0x f x kx ξ='-=也就是是否存在(,)a b ξ∈，使函数()()x f x kx ϕ=-在x ξ=处的导数为零？即()0ϕξ'=。
证明： 作辅助函数()()x f x kx ϕ=-，[,]x a b ∈。
3.1微分中值定理讲稿
0
0
x → x0
g ( x)
x → x0
g ′( x)
当x→∞,x→ x0 等其它变化过程时定
理结论仍成立
+
例4.求 lim 求
sin x 1 2 解： ( x sin )′ x 解： (ln 2 x)′ 原式= x→0 原式 lim 原式= →+∞ 原式 xlim (sin x)′ ( x)′ 1 1 2 1 2 x sin + x (sin )′ 2 ln x ⋅ x x = lim x = lim x →0 cos x x → +∞ 1 1 1 1 2 x sin + x 2 ⋅ cos ⋅ (− 2 ) (2 ln x)′ x x x = lim (再用一次洛 (再用一次洛 = lim x →0 cos x x → +∞ ( x)′ 必达法则Ⅱ 必达法则Ⅱ) 1 1 2 x sin − cos x x 极限不存在 还能再用洛必达法 2 = lim = lim x →0 则Ⅱ吗？ cos x x → +∞ x
ξ
b
x
反之若三条件中有一条件不满足,就可 反之若三条件中有一条件不满足 就可 能在开区间(a,b)内找不到一个点的导数 能在开区间 内找不到一个点的导数 恰好为零(如图 图 图 如图1 恰好为零 如图 ,图2 ,图3)
满足条件： 2.拉格朗日中值定理 如果函数 f (x) 满足条件： 拉格朗日中值定理. 拉格朗日中值定理 ⑴在闭区间[a,b]上连续 在闭区间 上连续 ⑵在开区间(a,b)内可导 在开区间 内可导 则在开区间(a,b)内至少存在一个点 ξ 使 内至少存在一个点 则在开区间 f (b) − f (a) f ′(ξ ) = 或 f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) b−a y
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安康职业技术学院课时授课计划（教案首页）
安康职业技术学院教案续页
教学过程:
一、内容回顾
定理1（Rolle ）若函数()f x 满足条件
（1）在闭区间[,]a b 上连续；
（2）在开区间(,)a b 内可导；
（3）()()f a f b =。
则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=。
几何意义：在定理的条件下，区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得曲线在点((,())f ξξ处具有水平切线。
二、拉格朗日中值定理
定理2（Lagrange ）设函数()f x
满足条件：
（1）在闭区间[,]a b 上连续；
（2）在开区间(,)a b 内可导；
则在(,)a b 内至少存在一点ξ，
使得
()()()f b f a f b a
ξ-'=-。
或写成 ()()()()f b f a f b a ξ'-=-。
上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于b a <也成立。
几何意义：如果连续曲线()y f x =上除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，则在曲线弧AB 上至少存在一点((,())f ξξ，在该点处曲线的
切线平行于弦AB 。
由拉格朗日定理的几何意义可以看出，当函数满足()()f a f b =时，此时弦AB 的斜率等于零。
即 ()0f ξ'=。
这便是罗尔定理的结论。
所以罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。
即
Lagrange 中值定理()()
f a f b =−−−−
→Rolle 定理 证明分析：若记 ()()f b f a k b a -=-，要证（1）式，即证()f k ξ'=⇒()0f k ξ'-=⇒
[()]0x f x k ξ='-=⇒[()]0x f x kx ξ='-=
也就是是否存在(,)a b ξ∈，使函数
()()x f x kx ϕ=-
在x ξ=处的导数为零？即()0ϕξ'=。
证明： 作辅助函数()()x f x kx ϕ=-，[,]x a b ∈。
容易验证()x ϕ在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且
()()()()()f b f a a f a ka f a a b a ϕ-=-=--
()()bf a af b b a
-=-()b ϕ=。
从而()x ϕ满足罗尔定理的条件，即至少存在一点
(,)a b ξ∈，使()0ϕξ'=。
即
()()()f b f a f b a
ξ-'=-
由拉格朗日中值定理还可以得出下面的推论：
推论 设函数()f x 在开区间(,)a b 内可导,且
()0f x '≡，则在(,)a b 内()f x 为常数。
即
()0f x '≡，(,)x a b ∈⇒(),(,)f x C x a b ≡∈，其中C 为常数。
证：任取12,(,)x x a b ∈，不妨设12x x <，在12[,]x x 上应用定理2，得2122()()()()f x f x f x x ξ'-=-，其中
12(,)(,)x x a b ξ∈⊂。
因为()0,(,)f x x a b '≡∈，所以
()0f ξ'≡，从而12()()f x f x =。
由12,(,)x x a b ∈的任意性可知，()f x 为常数。
三、定理的应用
例1 证明 arcsin arccos ,[1,1]2x x x π
+=∈-。
证： 设()arcsin arccos f x x x =+，则在(1,1)-上
1
1()0f x '=-≡，由推论1可知
()arcsin arccos f x x x C =+=（常数）。
令0x =，得
2C π
=。
又(1)2f π
±=，故所证等式在定义域[1,1]-上成立。
练习1：证明arctan arccot ,(,)2x x x π
+=∈-∞+∞
证：设()arctan arccot f x x x =+，则在(,)-∞+∞上， 2211()011f x x x
'=-≡++，由推论可知 ()arctan arccot f x x x C =+≡，
令0,x =得2C π
=。
故所证等式在定义域(,)-∞+∞上成立。
例2 证明不等式ln(1)(0)1x x x x x <+<>+。
证：设()ln(1)f t t =+，则()f t 在[0,]x 上满足拉格朗日中值定理条件，因此有
()(0)()(0),
0f x f f x x ξξ'-=-<< 即ln(1)1x x ξ+=
+，又因为11x x x x ξ
<<++， 所以 ln(1)(0)1x x x x x
<+<>+。
练习2：证明不等式 ln (0)b a b b a a b a a a --<<<<。
证：设()ln f x x =，[,]x a b ∈，则()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，因此有
()()()(),f b f a f b a a b ξξ'-=-<< 即ln b b a a ξ
-=，因为b a b a b a b a ξ---<<， 所以 ln (0).b a b b a a b a a a
--<<<< 例 3 设()f x 在[0,1]内可导，且0()1f x <<，又对于(0,1)内的所有点x 有()1f x '≠-，证明方程
()10f x x +-=在(0,1)内有唯一实根。
证： 存在性
设 ()()1,[0,1]x f x x x ϕ=+-∈
则()x ϕ在[0,1]内可导,连续。
又0()1f x <<，所以 (0)(0)10f ϕ=-<，(1)(1)0f ϕ=>。
由零点定理知 ()x ϕ在(0,1)内至少存在一个零点，即方程
()10f x x +-=在(0,1)内至少有一个实根。
唯一性（反证法）
假设方程()10f x x +-=在(0,1)内有两个实根12,x x ，不妨设1201x x <<<，
则有11()1f x x =-，22()1f x x =-。
对函数()f x 在
12[,]x x 上应用拉格朗日中值定理，知存在12(,)x x ξ∈，使得
21212121
()()(1)(1)()1f x f x x x f x x x x ξ----'===---，与题设()1f x '≠-矛盾，唯一性得证。
课堂小结：
一、拉格朗日中值定理（注意与罗尔定理的关系）；
二、拉格朗日中值定理的推论；
三、拉格朗日中值定理的应用。
（证明恒等式、不等式以及方程根的存在情况等） 课后作业：P96 ：9、10、11（1）、（3）、(4)、（6）。