2.1.1 指数与指数幂的运算(优秀经典公开课比赛教案)

第 1 页 （共 3页 2.1.1指数与指数幂的运算

教学目的：（1）掌握根式的概念；

（2）规定分数指数幂的意义；

（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；

（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；

（5）了解无理数指数幂的意义

教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的

运算性质

教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂． 教学过程：

一、 引入课题

1． 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性

2． 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；

3． 复习初中整数指数幂的运算性质；

n

n n mn

n m n

m n m b a ab a a a a a ===⋅+)()( 4． 初中根式的概念；

如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根；

二、 新课教学

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念

一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根（n th root ），其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示． 式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被

第 2 页 （共 3页

开方数（radicand ）．

当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．

思考： n n a =a 一定成立吗？．

（学生活动） 结论：当n 是奇数时，a a n n =

当n 是偶数时，⎩

⎨

⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 例1．（教材例1）．

解：（略）

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义 规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m

)1,,,0(11

*>∈>==-n N n m a a a a n m n m

n m

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

3．有理指数幂的运算性质

（1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>；

（2）rs s r a a =)(

),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>．

引导学生解决本课开头实例问题

例2．（教材例2、例3、例4、例5）

第 3 页 （共 3页 说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．

4． 无理指数幂

结合教材实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．

指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα

>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出

31升，然后用水填满，再倒出3

1升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？ 解：（略）

点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．

三、 归纳小结，强化思想

本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．

四、

作业布置