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非线性方程组的数值解法及最优化方法课件
拟牛顿法求解非线性方程组
拟牛顿法是牛顿法的改进，通过构造一个近似于真实Hessian矩阵的对称正定矩阵来逼近， 从而加快了算法的收敛速度。
信赖域方法求解非线性方程组
信赖域方法是一种基于梯度信息的迭代算法，通过在每一步中计算一个小的搜索方向，并 限制步长，以避免算法发散。
最优化方法案例
梯度下降法求解无约束最优化问题
梯度下降法是一种迭代算法，通过不断沿负梯度方向更新变量，最终找到最优化问题的最小值点。该方法适用于求解 无约束最优化问题。
牛顿法求解无约束最优化问题
牛顿法是一种基于二阶导数的迭代算法，通过不断逼近函数的极小值点，最终求解无约束最优化问题。该方法适用于 求解具有多个局部最小值的问题。
遗传算法求解约束最优化问题 遗传算法是一种基于生物进化原理的随机搜索算法，通过模拟生物进化过程中的自然选择和遗传机制， 在解空间中进行高效搜索，最终找到满足约束的最优解。
和稳定性。
约束最优化方法
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日函数，将约束最优化问题转化为无 约束最优化问题求解。
罚函数法
通过引入罚函数，将约束条件转化为无约束条件，通 过迭代更新求解。
序列二次规划法
结合拉格朗日乘数法和牛顿法的思想，通过迭代逼近 最优解。
混合整数最优化方法
01
02
03
分支定界法
将整数约束转化为区间约 束，通过不断分支和剪枝 来逼近最优解。
非线性方程组与最优化方法的结合案例
非线性规划问题
非线性规划是最优化领域中一类重要的数学问题，其目标函数和约束条件都是非线性的。常见的非线性规划问题 包括最小二乘问题、二次规划问题等。求解非线性规划问题的常用方法包括梯度下降法、牛顿法等。
拟牛顿法是牛顿法的改进，通过构造一个近似于真实Hessian矩阵的对称正定矩阵来逼近， 从而加快了算法的收敛速度。
信赖域方法求解非线性方程组
信赖域方法是一种基于梯度信息的迭代算法，通过在每一步中计算一个小的搜索方向，并 限制步长，以避免算法发散。
最优化方法案例
梯度下降法求解无约束最优化问题
梯度下降法是一种迭代算法，通过不断沿负梯度方向更新变量，最终找到最优化问题的最小值点。该方法适用于求解 无约束最优化问题。
牛顿法求解无约束最优化问题
牛顿法是一种基于二阶导数的迭代算法，通过不断逼近函数的极小值点，最终求解无约束最优化问题。该方法适用于 求解具有多个局部最小值的问题。
遗传算法求解约束最优化问题 遗传算法是一种基于生物进化原理的随机搜索算法，通过模拟生物进化过程中的自然选择和遗传机制， 在解空间中进行高效搜索，最终找到满足约束的最优解。
和稳定性。
约束最优化方法
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日函数，将约束最优化问题转化为无 约束最优化问题求解。
罚函数法
通过引入罚函数，将约束条件转化为无约束条件，通 过迭代更新求解。
序列二次规划法
结合拉格朗日乘数法和牛顿法的思想，通过迭代逼近 最优解。
混合整数最优化方法
01
02
03
分支定界法
将整数约束转化为区间约 束，通过不断分支和剪枝 来逼近最优解。
非线性方程组与最优化方法的结合案例
非线性规划问题
非线性规划是最优化领域中一类重要的数学问题，其目标函数和约束条件都是非线性的。常见的非线性规划问题 包括最小二乘问题、二次规划问题等。求解非线性规划问题的常用方法包括梯度下降法、牛顿法等。
非线性方程数值解法详解课件
例如，对于求解非线性方程$f(x)=0$的 应用实例中需要注意选择合适的初始近
根，可以先选择一个初始近似解$x_0$， 似解和设置合适的精度要求，以确保算
然后按照弦截法的迭代过程逐步逼近方
法能够快速收敛到真实解。
程的真实解。
05 共轭梯度法
共轭梯度法的原理
它利用共轭方向的概念，通过迭代过程中不断更新搜 索方向，使得函数值逐渐减小，最终找到方程的解。
牛顿法的实现步骤
确定初始点x0，计算f(x0)和f'(x0)，如果f(x0)不等于0，则按照牛顿法的迭代公式 进行迭代，直到满足精度要求。
1. 选取初始点x0；2. 计算函数值f(x0)和导数值f'(x0)；3. 如果f(x0)不等于0，则 按照牛顿法的迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)进行迭代；4. 重复步骤2和3，直到满 足精度要求。
以求解非线性方程为例，通过选择合 适的迭代法和初值，可以有效地求解 非线性方程的近似解。
03 牛顿法
牛顿法的原理
01
基于函数f(x)的泰勒级数的前两项， 通过迭代的方式逼近方程f(x)=0 的解。
02
牛顿法的基本思想是通过泰勒级 数的近似，将非线性方程f(x)=0 转化为线性方程，然后利用线性 方程的解来逼近非线性方程的解。
当达到预设的迭代次数或满足一定的收敛 条件时，停止迭代，输出结果。
共轭梯度法的收敛性分析
共轭梯度法具有全局收敛性和局部收敛性，即只要初始点 选择得当，算法能够找到方程的解，且在局部范围内具有 快速收敛的特点。
收敛性分析主要涉及算法的迭代矩阵和函数的性质，如连 续性和可微性等。
共轭梯度法的应用实例
牛顿法的收敛性分析
在一定的条件下，牛顿法是收敛的， 且具有二阶收敛速度。
数值分析--第7章非线性方程与方程组的数值解法
k
y.
（2.4） 时序列 {xk }
收敛到
x
*.
25
再证明估计式（2.5），由（2.4）有
xk1 xk (xk )(xk1) L xk xk1 .
反复递推得
xk
1 2 k 1
0.005,
只需 k 6 ，即只要二分6次，便能达到预定的精度.
11
计算结果如表7-2.
表7 2
k
ak
0 1.0
bk
xk
1.5
1.25
1 1.25
1.375
2
1.375 1.3125
3 1.3125
1.3438
4
1.3438 1.3281
5
1.3281 1.3203
6 0.3203
对于 x *的某个近似值 x0，在曲线 y (x)上可确定 一点 P0，它以 x0为横坐标，而纵坐标则等于(x0 ) x1.
过 P0 引平行 x轴的直线，设此直线交直线 y x于点 Q1， 然后过 Q1再作平行于 y轴的直线，与曲线 y (x) 的交点
17
记作 P1，则点 P1 的横坐标为 x1 ，纵坐标则等于 (x1) x2.
（2.（2）2.5）
证明 设 x*[a, b] 是 (x)在 [a, b]上的唯一不动点， 由条件，可知 {xk }[a, b]，再由（2.4）得
xk x* (xk1)(x*)
L xk1 x* Lk x0 x*.
因(x0)
L(y1)，故L当x
f (x) 0
（1.1）
其中 x R, f (x) C[a, b], [a, b]也可以是无穷区间.
非线性方程组数值解法课件
非线性方程组数值 解法课件
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。
第二章非线性方程的数值解法.ppt
求解方程 f (x) 0 的数值解法大致可以分为三步骤：
（1）根的存在性，方程是否有根？如果有，有几个 对于多项式方程，n次方程有n个根。
（2）根的隔离，把区间分为较小的子区间，每个子区 间或者有一个根，或者没有根。这样可以将有根 区间内的任一点都可看成根的一个近似值
（3）根的精确化，对某个近似值设法逐步精确化，使 其满足一定的精确要求
一系列有根区间序列：
a, b a1, b1 a2 , b2 ... ak , bk ...
a,b a1,b1 a2,b2 ... ak ,bk ...
上述每个区间都是前一个区间的一半,因此 ak , bk
的长度：
1 bk ak 2 (bk 1 ak 1 ) ...
任取一个初值 x0 , 代入式 x ( x) 的右端, 得到：
x1 ( x0)
再将 x1 代入式 x ( x) 的右端, 得到 x2 ( x1 )
依此类推, 得到一个数列：
x3 (x2 ) , .......
其一般表示为：
xk1 ( xk ) (k 0,1,2,) (2.6)
式(2.6)称为求解非线性方程的简单迭代法。
这里ε为给定精度,由于 x* a k , bk ,则：
bk
ak 2
ba bk 1 ak 1 2k 1Fra bibliotekx* xk
bk ak 2
ba 2k1
当给定精度ε＞0后,要想 x* xk 成立,只
要取k满足
1 2k 1
(b
a)
即可，亦即当:
k lg(b a) lg 1
lg 2
第二章 非线性方程的数值解法
2.1 二分法 2.2 非线性方程求解的迭代法 2.3 非线性方程求解的matlab函数
第2章-非线性方程与方程组的数值解法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
xn
(yn xn )2 zn 2yn xn
Steffensen迭代格式
也能够改写成
xn1 (xn )
其中迭代函数
(n 0,1,......)
(x) x [(x) x]2 ((x)) 2(x) x
Steffensen迭代法收敛旳充要条件
定理2.2.3 设函数(x) C1， [x* , x* ], 为足够小的正数，且(x*) 1，则
不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn ) n 0,1,.... 收敛到方程旳根。
简朴迭代收敛情况旳几何解释
2.2.2 Steffensen加速收敛法
迭代法收敛旳阶
设序列
收敛到 { x，n}0若有实数x*
零常p 数 1C，使得 lim
n
en1 enp
C
和非
其中，en xn x*，则称该序列是p 阶收敛旳， C 称为渐进误差常数。
故{xn }0 收敛到x*。
敛速是线性旳
因为lim n
en1 en
lim
n
(
xn ) xn
(
x*
x*
)
(x*)
0
所以{xn }0
x*
线性收敛到 。
Steffensen迭代格式
由线性收敛知
lim en2 lim en1 C 0
e e n
n
n1
n
当n充分大时有
en2 en1 en1 en
x (a,b)
压缩映像原理
再证根旳唯一性
设有 x1 , x2 [a, b]均为方程旳根
则
|
x1
x2
|| (x1 )
(
x
2
)
非线性方程组的数值解法共30页
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
非线性方程组的数值解法
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
非线性方程组的数值解法
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
八 非线性方程及方程组的解法
, , 结论: 若xn → x∗ ,ϕ( x)在x∗处连续 则x∗是方程的根即
f (x ) = 0
*
y p1 p0
y=x
y p0
y=x
y = ϕ(x)
y = ϕ(x)
p1 x x x0 y y = ϕ(x) p0 p0 p1 x x1 x0 x* x0 x* x1 p1 x x* x1 y=x
x0 y
4ln10 n≥ − ≈ 13.3 ln 0.5
n 故 = 14, x14即为满足精度要求的近 . 似解
>> f=inline('x^3+10*x-20','x'); >> [x,err]=bisection(f,1,2,0.00005,15) n x err 1.00000000000000 1.50000000000000 2.00000000000000 1.75000000000000 3.00000000000000 1.62500000000000 4.00000000000000 1.56250000000000 5.00000000000000 1.59375000000000 6.00000000000000 1.60937500000000 7.00000000000000 1.60156250000000 8.00000000000000 1.59765625000000 9.00000000000000 1.59570312500000 10.00000000000000 1.59472656250000 11.00000000000000 1.59423828125000 12.00000000000000 1.59448242187500 13.00000000000000 1.59460449218750 14.00000000000000 1.59454345703125 15.00000000000000 1.59457397460938 x = 1.59457397460938 err =3.051757812500000e-005
非线性方程的数值解法课件
弦截法
弦截法是一种改进的迭代方法 ，通过将非线性方程转化为线 性方程来求解根。
弦截法的迭代公式为 $x_{n+1}=x_nfrac{f(x_n)}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$ ，其中$f(x)$为非线性方程。
弦截法的优点是无需计算函数 的导数，但收敛速度较慢，且 需要选择合适的迭代初值。
04
迭代法的优点是简单易 行，但收敛速度较慢， 且需要选择合适的迭代 初值。
牛顿法
牛顿法是一种基于泰勒级数的迭代方 法，通过线性化非线性方程来求解根 。
牛顿法的收敛速度较快，但需要计算 函数的导数，且在接近根时可能会产 生震荡。
牛顿法的迭代公式为$x_{n+1}=x_nfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，其中$f(x)$为 非线性方程。
步长与收敛性的关系
深入研究步长与算法收敛性的关系，以找到最佳的步长调整策略。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
这类方程在某些区间上具 有不同的非线性性质，例 如 $|x| = y$。
非线性方程的特性
不存在通用解法
与线性方程不同，非线性 方程没有统一的解法，需 要根据具体方程的特点选 择合适的解法。
解的复杂性
非线性方程的解通常比线 性方程复杂，可能存在多 个解或不存在解，也可能 存在混沌解。
对初值和参数敏感
线性方程
如果一个方程中未知数的最高次 幂为一次，并且没有未知数的幂 ，那么这个方程就是线性方程。
非线性方程的分类
01
02
03
代数非线性方程
这类方程中包含未知数的 幂，例如 $x^2 + y^3 = 1$。
超越非线性方程