清华大学几代期末考试试卷及答案

清华大学大学几何与代数期末考试题

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）

1. 若02

2

1

50

1

31

=---x ，则=χ________。 2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

00321

321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=32312221

1211

a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032

=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）

1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。（ ）

2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ）

3. 向量组m a a a ，，

，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ）

4. ⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=010*********

0010

A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1

-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)

1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

① n

2

② 1

2

-n

③ 1

2

+n ④ 4

2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，

，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，

，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，

，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

④ s ααα，，

，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关

4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆

④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆

5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ）

① 解向量

② 基础解系

③ 通解 ④ A 的行向量

四、计算题 ( 每小题9分，共63分)

1. 计算行列式

x a

b c d a x b

c d a b x c d a

b

c

x d

++++。

2. 设B A AB 2+=，且A ,410011103⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛= 求B 。

3. 设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=20

01200312

043

1

2C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -= 求X 。

4. 问a 取何值时，下列向量组线性相关？123112211

,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪

⎝⎭⎝⎭

。

5. λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧-=++-=++-=++2

23

321

321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多

解时求其通解。

6. 设.77

103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

7. 设100010021A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，求A 的特征值及对应的特征向量。

五、证明题 (7分)

若A 是n 阶方阵，且，I AA =T

，1-=A 证明 0=+I A 。其中I 为单位矩阵。

试题答案

一、填空题 1. 5 2. 1≠λ

3. n n s s ⨯⨯，

4. 相关

5. E A 3- 二、判断正误 1. × 2. √

3. √

4. √

5. ×

三、单项选择题 1. ③ 2. ③

3. ③

4. ②

5. ①

四、计算题 1.

3)(0

000000

01)(1111

)

(x d c b a x x

x x d

c b

d c b a x d x c

b

d c x b d c b

x d

c b

d c b a x d x c

b

d c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x c

b

a

d c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=

++++ 2.

A B E A =-)2( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)2(1

E A ，⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B

3.

()[]

()

[]

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡=-⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=---12

1

0121001200011210012100120001

12

3

4

012

300120001

)(1000

21003210

4321

1

'1

''B C E X B C B C B C ，，