人教版初中七年级上册数学：实际问题与一元一次方程

t 大于150且小于 350 58＋0.25(t－150)
88
依题意得：
58＋0.25(t－150) = 88
去括号得：
58＋0.25t－37.5 = 88
移项、合并同类项得：
0.25t = 67.5
系数化1得：
t =270
∴当 t =270分时，两种计费方式的费用相等，
那么当150< t <270分和270< t <350时，两种计费方式
10X+2X
可知相等关系为： 原两位数＋36＝新两位数
解 ：设原两位数的个位数字为X，则其十位数字为2X。 列出方程为
(10X+2X)+36=20X+X
解之得 X＝4
则原数的十位数字为 2X＝8
返回
答 ：原两位数是84。
（8）、电话计费问题
问题1：下表给出的是两种移动电话的计费方式：
月使用 费(元)
分析 ：相等关系为 甲种存款的利息＋乙种存款的利息＝总利息
解 ：设甲种存款为X万元，则乙种存款为（20－X）万元。 依题意得 1.4% ·X+3.7% ·(20-X)=0.625
解之得 X＝ 5 则 20－X=15
答 ：甲种存款为5万元，乙种存款为15万元。
销 售 中 的 盈 亏
●售价、进价、利润的关系式：
问题3：两件衣服的成本各是多少元？
亏损的一件
设：亏损 25%的衣服进价是 y元，
依题意得：y－0.25y＝60
解得：
y＝80
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其 中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是 盈利还是亏损，或是不盈不亏?
两件衣服总成本：48＋80＝128 元； 因为120－128＝－8元； 所以卖这两件衣服共亏损了8元.
解 ：设原有煤油x公斤 依题意得
1 2
x

4.5

8
解之得 x=7
则桶重为 8－x=1
答 ：原有煤油7公斤，桶重为1公斤。
返回
（2）等积变换问题
注意一般要从变换前后图形的面积或体积关系两个方面
寻找相等关系。
例2 ：一个长方形的长比宽多2㎝，若把它的长和宽分别增加3㎝，则面积增加45㎝2， 求原长方形的长与宽。
哪种更合算呢？
主叫时间t /分 t 大于350
方式一计费/元 58＋0.25(t－150)
方式二计费/元 88+0.19(t－350)
当t >350分时，两种计费方式哪种更合算呢？
问题4：综合以上的分析，可以发现： t 小于 270分 时，选择方式一省钱； t 大于 270分 时，选择方式二省钱．
最快者走的路程－最慢者走的路程 ＝环城一周的路程
解 ：设最快者的速度为10x 千米∕时，则 最慢者的速度为7x 千米∕时。
依题意得
2 10 x 2 7 x 9
3
3
解之得 X=4.5
则 10x=45, 7x=31.5
返回
答：最快者的速度是45千米∕时，最慢者的速度为31.5千米∕时。
（4） 劳力调配问题
例4 ：甲仓库储粮35吨 ，乙仓库储粮19吨，现调粮食15吨，应分配给两 仓库各多少吨，才能使得甲仓库的粮食数量是乙仓库的两倍？
分析 ：若设应分给甲仓库粮食X吨，则数量关系如下表
甲仓库 乙仓库
原有粮食 35 19
新分给粮食 现有粮食
X (15－X)
35+X 19+(15－X)
故相等关系为 ： 甲仓库现有粮食的重量＝2×乙仓库现有粮食的重量
主叫时间t /分
t 小于150 t 等于150 t 大于150且小于
350 t 等于350 t 大于350
方式一计费/元 58 58 划算
58＋0.25(t－1划5算0)
108 58＋0.25(t－150)
方式二计费/元 88 88 88 88
88+0.19(t－3划5算0)
主叫时间t /分
方式一计费/元 方式二计费/元
主叫限定 时间(分)
主叫超时 费(元/分)
被叫
方式一 58
150
0.25 免费
方式二 88
350
0.19 免费
你了解表格中这些数字的含义吗？
计费方式一 基本费58元
加超时费0.25元/分
0
150
基本费88元
计费方式二
350加超时费 0.19元/分
问题2：你认为选择哪种计费方式更省钱呢？ “与主叫时间相关”
商品利润 = 商品售价—商品进价
●进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品利润 商品进价
×100%
●标价、折扣数、商品售价关系 :
商品售价＝
折扣数 标价×
10
●商品售价、进价、利润率的关系 ：商品售价= 商品进价 ×(1+利润率)
跳 楼 价
“销售中的盈亏问题”
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其 中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是 盈利还是亏损，或是不盈不亏?
3.4 实际问题与一元一次方程
一元一次方程的应用
一、列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）、一般步骤
（2）、注意事项
二、应用题的常见类型
（1）、和差倍分问题 （2）、等积变换问题 （3）、行程问题 （4）、劳力调配问题
（8）、电话计费问题 （9）、球赛积分问题
（5）、工程问题
（6）、销售盈亏问题
（7）、数字问题
问题3：设一个月内用移动电话主叫为t 分(t是正整 数)．根据表1，当 t 在不同时间范围内取值， 列表说明按方式一和方式二如何计费．
主叫时间t /分 t 小于150 t 等于150
t 大于150且小于 350
t 等于350
t 大于350
方式一计费/元
方式二计费/元
主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元
盈利 亏损 不盈不亏
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其 中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是 盈利还是亏损，或是不盈不亏?
问题3：两件衣服的成本各是多少元？
盈wk.baidu.com的一件
设：盈利25%的衣服进价是 x 元，
依题意得：x＋0.25 x＝60
解得：
x＝48
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其 中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是 盈利还是亏损，或是不盈不亏?
12x＝24， x＝2.
答：应先安排 2人做4 h.
返回
（6）利率、销售盈亏问题
基本关系式 ： 利润＝售价－进价 （或 利息＝本息和－本金）
利润率＝
利润 进价×100%
售价＝进价×（1＋利润率） （或 本息和＝本金×（1＋利率））
例6 ：某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款20万元，甲种存款的年利率为 1.4%，乙种存款的年利率为3.7%，一年后该公司共得利息6250元，问两种存款各为 多少元？
解得
x＝60.
不盈不亏
返回
（7）、数字问题
要理解十进制整数的表示方法
例7 ：一个两位数的十位上的数是个位上的数的两倍，若把两个数字 对调，则新得到的两位数比原两位数小36，求原两位数。
分析 ：题中数量关系如下表 （若设原数的个位数字为X）
十位数字
个位数字
本数
原两位数
2X
X
2Xx10+X
新两位数
X
2X
计费方式一
0
270
计费方式二
练习： 用A4纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过
20时每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过 部分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件, 不论复印多少页，每页收费0.1元. 如何根据复印的 页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印 的页数不为零）
分析 ：相等关系为 按第一种工作效率所做的零件数＝按第二种工作效率所做的零件数
解 ：设限期X小时完成，则依题意得
10x 3 11(x 1)
解之得 X＝8 则零件总数为 10X－3＝77 答 ：共要加工零件77个，限期8小时完成。
问题：应用回顾的步骤解决以下问题.
整理一批图书，由一个人做要40 h 完成.现计划由一 部分人先做4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这 项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应该安排多少 人工作？
分析 ：若设原长方形的宽为x 厘米，画图如下
x X+3
X+2 可知相等关系为 ：
(X+2)+3
原长方形的面积＋45 ㎝ 2 ＝新长方形的面积
解 ：设原长方形的宽为x 厘米，则其长为（x+2)厘米。 依题意得
x(x 2) 45 (x 5)(x 3)
解之得 x=5 则原长方形的长为 x+2=7
问题1：你估计盈亏情况是怎样的？
A. 盈利 B. 亏损 C. 不盈不亏
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其 中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是 盈利还是亏损，或是不盈不亏?
问题2：销售的盈亏决定于什么？ 总售价 ？ 总成本(两件衣服的成本之和)
120 ＞ 总成本 120 ＜ 总成本 120 ＝ 总成本
110－5x＝6x，
x＝10. 22－x＝12. 答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
问题：以上问题还有其他的解决方法吗？ 例如： 解：设应安排 x名工人生产螺母，(22－x)名工人生产 螺钉. 依题意得： 2×1200(22－x)＝2 000x .
返回
五、工程问题
注意若没有说明工作总量，则把总量设为单位1，此时的工作效率是一个分数。 例5 ：一个工人加工一批零件，限期完成，若他每小时做10个，到期可超额完成3 个，若每小时做11个，则可提前1小时完成任务，问他共要加工多少个零件，限期 多少小时完成？
7、答：写出答案
返回
（1）、设未知数及作答时若有单位的一定要带 单位。 （2）、方程中数量单位要统一。
返回
（1）和差倍分问题 ：
要注意弄清题中的数量关系及运算顺序
例1 ：一桶煤油连桶重8公斤，用去一半煤油后，连桶重4.5公斤，求桶中 原有煤油多少公斤及桶重。
分析 ：相等关系为
用去的煤油的重量＋余下的油量及 桶重＝原来连桶带油的重量
解 ：设应分给甲仓库粮食X吨，则应分给乙仓库粮食（15－X)吨。
依题意得
35 x 219 15 x
解之得 X＝11 则 15－X＝4 答 ：应分给甲仓库11吨粮食，分给乙仓库4吨粮食。
练习 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺 钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产 的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各 多少名？
列表分析：
人均效率 人数 时间 工作量
前一部 1 分工作 40
x4
后一部 分工作
1 40
x＋2 8
4x 40 8(x 2) 40
工作量之和等于总工 作量1
解：设安排 x 人先做4 h.
依题意得： 4 x ＋ 8( x＋2) ＝1
40
40
解方程，得：4x＋8(x＋2)＝40，
4x＋8x＋16＝40，
三、小结与归纳
退出
列一元一次方程解应用题的步骤 ：
1、审题：分析题意，找出图中的数量及其关系
x 2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示（如 ）
3、找等量关系：根据题目条件找出相等关系 4、列方程：根据找出的相等关系列出方程 5、解方程：求出未知数的值 6、检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，
这个结论与你的猜想一致吗？
练习：一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动 ，又按标价的8折出售, 此时售价为60元. 请问商家是盈是亏 ，还是不盈不亏？
设：这件衣服的进价是x元，
则提价后的售价是(1＋25%)x 元，
促销后的售价是(1＋25%)x×0.8 元，
依题意得(1＋25%)x×0.8＝60
t 小于150
58
88
t 等于150
58
88
t 大于150且小于 350
58＋0.25(t－150)
88
t 等于350
58＋0.25(350－150) ＝108
88
t 大于350
58＋0.25(t－150) 88＋0.19(t－350)
问题4：观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时 间选择省钱的计费方式吗？
列表分析：
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺钉 螺母
x × 1 200 ＝ 1 200 x
22﹣x × 2 000 ＝ 2 000(22－x)
人数和为22人
螺母总产量是螺钉的2 倍
解：设应安排x名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产 螺母.
依题意得： 2 000(22－x)＝2×1 200x . 解方程，得：5(22－x)＝6x，
答 ：原长方形的长为7㎝，宽为5㎝。
返返回回
（3） 行程问题
基本关系式 ：若两人自两地同时出发，速度分别为V1和V 2 ，所用时间为t,则
(1)、若两人同向而行（相遇问题），则有
（V1+V2) t=S
(2) 、若两人同向而行（追及问题），则有
（V1－V2) t=S
例3 ：某市举行环城自行车赛，开赛2∕3小时后，最快者追上最慢者，若两人速 度之比为10:7，环城一周为9千米，求两人的速度分别是多少？ 分析 ：由图示可知，相等关系应为