拉格朗日中值定理教育教学设计
高中物理《拉格朗日定点和能量守恒》教案
高中物理《拉格朗日定点和能量守恒》教案高中物理教学中，拉格朗日定点和能量守恒是一个非常重要的概念。
本教案将详细介绍拉格朗日定点和能量守恒的概念、公式和应用。
一、拉格朗日定点的概念拉格朗日定点是指系统在某一时刻的状态，该状态下系统的动能和势能都保持不变。
在这个状态下，系统的运动方程可以被简化为拉格朗日方程，从而使问题变得更加简单。
二、拉格朗日定点的公式拉格朗日定点的公式为：L = T - V其中，L表示拉格朗日量，T表示系统的动能，V表示系统的势能。
三、能量守恒的概念能量守恒是指在系统内部，能量总量不变。
在一个封闭系统中，能量可以相互转化，但总能量不会发生改变。
四、能量守恒的公式能量守恒的公式为：E = T + V其中，E表示系统的总能量，T表示系统的动能，V表示系统的势能。
五、拉格朗日定点和能量守恒的应用拉格朗日定点和能量守恒在物理学中有着广泛的应用。
例如，在机械学中，可以使用拉格朗日方程来描述系统的运动；在电磁学中，可以使用拉格朗日方程来描述电磁场的运动；在量子力学中，可以使用拉格朗日方程来描述粒子的运动。
六、教学方法在教学过程中，可以通过讲解实例来帮助学生理解拉格朗日定点和能量守恒的概念和应用。
同时，可以通过练习题来巩固学生的知识，提高他们的解题能力。
七、教学建议为了让学生更好地掌握拉格朗日定点和能量守恒的知识，建议教师在教学过程中注重以下几点：1. 强调概念的理解。
拉格朗日定点和能量守恒是一个比较抽象的概念，在教学过程中要注重让学生理解其背后的物理原理。
2. 讲解实例。
通过讲解实例来帮助学生更好地理解概念和公式，并提高他们的兴趣。
3. 练习题。
通过练习题来巩固学生的知识，并提高他们的解题能力。
4. 引导学生思考。
在教学过程中要引导学生思考，让他们自己找到问题的解决方法。
以上就是本教案对于高中物理《拉格朗日定点和能量守恒》的详细介绍。
希望本教案能够帮助到广大教师和学生更好地掌握这一重要概念。
教学方案设计
《拉格朗日中值定理》教学设计部门名称：基础部教师姓名：杨先伟一、教学背景1、拉格朗日中值定理是微积分学的一个重要内容，它是微积分后续定性分析函数性质的工具，是导数应用的理论基础，在微积分学中有着承前继后的作用；2、拉格朗日中值定理是一个意义深远的定理，它是微分中值定理的核心，它揭示了是函数在某个区间的整体性质与该区间内某一点处的导数之间的关系，因而称为中值定理。
3、微分中值定理也是微分学的理论基础，微分学的很多重要的应用都是建立在这个基础之上，后面将要讨论的洛必达法则、泰勒公式、函数的增减性与极值等都要用到微分中值定理。
二、教学目标1、知识目标：使学生掌握拉格朗日中值定理条件和结论，理解定理的几何解释和物理解释，为后续定理的应用打下基础；使学生在掌握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归纳与总结，形成系统的知识层次与结构；3、使学生经历拉格朗日中值定理的完整的研究过程，体会数学研究与数学应用的乐趣，发展应用意识和解决问题的能力。
2、能力目标：（1）培养几何观察能力、逻辑推理和归纳总结能力；（从几何图形归纳引入拉个朗日中值定理）（2）应用数学知识解决实际问题的能力。
（区间测速原理）3、素质目标：（1）培养提出疑问的习惯；（区间测速原理）（2）树立运动、变化的哲学思想；（曲线弦线和切线关系的讨论）（3）培养开拓创新、求真的品质。
（拉格朗日中值定理的引入过程）三、教学重点与难点重点：理解拉格朗日中值定理的条件和结论，定理的几何意义和物理意义。
难点：拉格朗日中值定理及其应用。
四、教学方法概念的引入主要采用“问题导入法”，从实际问题出发，让学生理解建立拉格朗日中值定理的必要性和合理性。
在概念的引入中采用“图像演示法”、“观察法”等启发式教学，从而提高教学效果。
五、教学设计思路1、设计理念：根据高职院校学生的特点，要做到避免理论性过强；根据高职院校人才培养目标，要做到突出数学思想与数学应用。
说课：拉格朗日中值定理
二. 教法分析
（四）具体措施
根据以上的分析，本节课采用教师引导与学生 自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课 形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉快的 环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形 象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性， 以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形 的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养 学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流 的合作意识。
情景 引入
几何 意义 具体 运用
复习 引入
2、时间安排：
新课引入约10分钟， 探索求知约10分钟， 灵活运用约20分钟， 小结提高约5分钟。
概念 建构
演 练
作业
过程反思
本节课设计为一节“科学探究 — 合作学习”的活 动课，在整个教学过程中学生以探索者的身份学 习，在问题解决过程中，通过自身的体验对知识 的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。 力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精 确的统一，运动和静止的统一，感受量变到质变的 转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。 教师在这个过程中始终扮演学生学习的协作者和 指导者。学生通过自身的情感体验，能够很快的 形成知识结构，并将其转化为数学能力。
教学过程 （三）灵活运用 透析内涵 求函数 f ( x) x 在[0,2]上满足拉 格朗日中值定理条件的 ？
2
设计意图
' f 解： ( x) 2 x，
由拉格朗日中值定理得：
22 02 2 (2 0)
这是学生思维上升的 又一个层次，设计该 题目的在于加深学生 对导数刻画函数单调 性的理解，通过它及 时发现学生的问题， 及时纠正，能对学生 情况给予及时评价。
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量 联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单 调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。
拉格朗日中值定理说课稿
二、说学生
打好基础，够用为度，少讲推理，多讲应用
三、说教学目标
1.知识目标：记忆Lagrange中值定理的条 件和结论，了解其几何意义，并用它来建立 导数与函数单调性之间的关系。
2.能力目标：会求满足Lagrange中值定理
一般 课后作业：P99-4（1）、7
罗尔（Rolle）定理与Lagrange中值定 理
f()f(b)f(a).
ba
f()0.
f()f(b)f(a).
ba
令 a x 0 ,b x 0 x , y f ( x 0 x ) x ( 0 1 )
总结归纳
知识点总结：三个定理各自的条件和结论 方法总结：形象思维---抽象思维，特殊---
中的 值并应用Lagrange中值定理进行简
单的不等式、等式证明,会用单调性定理求 函数的单调区间。
四、说教学重点、难点
1.教学重点：
Lagrange中值定理及其推论的应用，会用单调 性定理求函数的单调区间。
2.教学难点：
Lagrange中值定理的证明。
五、说教学方法
讲授法 探究法 练习法 启发式
六、说教学过程
遵循着“复习旧知---讲授新知---总结归纳” 的原则，本节课的教学内容由以下六部分组 成：
导入
Fermat引理
Rolle定理
Lagrange中值定理
单调性定理
总结
费尔马引理与罗尔( Rolle )定理
yA
y A y f(x)
B
o x0 x
f(x0)0
o
a bx
拉格朗日（Lagrange）中值定理讲义
拉格朗日（Lagrange ）中值定理教学目的：1.熟练掌握中值定理及其几何意义2.能应用拉格朗日中值定理证明不等式3.了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2教学重点：1.拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2.拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3.利用导数证明不等式的技巧。
教学难点：中值定理的应用技巧 教学内容：1．罗尔定理的回顾与拉格朗日中值定理的引入我们简单回顾一下罗尔定理的内容：若函数满足下列条件： )(x f ①在闭区间[连续； ②在开区间]b a ,()b a ,可导； ③)()(b f a f = 则在(内至少存在一点)b a ,ξ，使得'()0f ξ=图1 图2罗尔定理的几何意义大家都清楚了如图1，现在我们把坐标系统绕原点在平面内的旋转α角，使在新坐标系如图2，大家看看有什么不同？2．拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函数满足（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, 那么在内至少有一点)(x f (a <],[b a ),(b a ),(b a )b <ξξ, 使得等式成立。
)a )(()('b f a f −=−ξ)(b f 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上，则)()(b f a f =()()'()0f b f a f b a b aξ−===−−，即：，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
'()0f ξ=拉格朗日（微分）中值定理几何意义我们从几何的角度看一个问题，如下：设连续函数()y f x =，a 与是它定义区间内的两点（a b b <），假定此函数在(,上处处可导，也就是在(,内的函数图形上处处有不垂直于)a b )a b x 轴的切线，那么我们从图2上容易看到，差商()y f x b =(f a)a b Δ−Δ−就是割线的斜率，若我们把割线作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点AB AB ()C x ξ=处成为曲线的切线，而切线的斜率为()f ξ′，由于切线与割线是平行的，因此()()()f b f a f b aξ−′=−成立。
拉格朗日中值定理说课
（六）布置作业 拓展提高
针对学生素质的差异进行分层
(1)阅读作业：收集有关微积分创立的时代背 景和有关人物的资料
(2)书面作业：1． 2.
训练，既注重“双基”，又兼 顾提高，为学生指明课后继续 学习的方向，同时为以后的学
(3)拓展作业：3.
习留下悬念，激发学生探索的
兴趣。
小结提高
直观
理解
知识
拉格朗日
教材分析
教法分析
教学目标
教学过程
评价反思
一. 教材分析
（1） 教材的地位和作用 （2）重点难点 （3） 课时安排
一. 教材分析
（一）教材的地位和作用
微积分学是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了 2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学 过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。微分 中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着 桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，在微分学中占有 很重要的地位.
三. 教学目标
掌握知识与技能
通过实验探求拉格朗日中值定理条件， 理解拉格朗日中值定理在研究函数性态 中的作用，培养学生分析、抽象、概括 等思维能力。
三. 教学目标
体会过程与方法
在寻找存在某直线与连接曲线两端点的线段平行的过 程中，使学生通过认识用导数来研究函数形态，发现 数学的美，数学知识的融会贯通；
练
灵活运用约20分钟，
小结提高约5分钟。
作业
过程反思
本节课设计为一节“科学探究—合作学习”的活 动课，在整个教学过程中学生以探索者的身份学 习，在问题解决过程中，通过自身的体验对知识 的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。
力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精 确的统一，运动和静止的统一，感受量变到质变的 转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。
拉格朗日中值定理教学设计
教学设计第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的：1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。
2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
二、教学重点与难点：1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的高。
2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。
三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：六、教学情境设计（1学时）：1、知识回顾费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。
它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。
2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。
定理6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件：(i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf . ()1罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．证 因为f 在[]b a ,上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况来讨论：(1)若M m =，则，f 在[]b a ,上必为常数，从而结论显然成立．(2)若M m <，则因()()b f a f =，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点．由条件(ii)，f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0='ξf ．注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)。
pflqbAAA微分中值定理教案
p f l q b A A A微分中值定理教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN微分中值定理【教学内容】 拉格朗日中值定理 【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3、利用导数证明不等式的技巧。
【教学过程】 一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
理的内容：若函数)(x f 满足下列条件：①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 ③)()(b f a f =则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f 二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()ab a f b fc f --=)(' 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
Lagrange中值定理教学设计共4页word资料
Lagrange中值定理教学设计一、教材背景分析在数学分析中，Lagrange中值定理是数学分析中的重要组成部分，为后面Cauchy中值定理具有重大影响作用；同时，在导数中的应用也起着桥梁的作用。
Lagrange中值定理，建立了函数值和导数之间的定量联系，成为我们讨论怎样由导数的已知性质推断函数所具有的性质的有效工具。
二、教学目标1.知识目标掌握Lagrange中值定理及对应的几何意义，掌握基本的一些推论。
2.能力目标首先让同学们了解四大定理（Roll定理，Lagrange中值定理，Cauchy 中值定理，泰勒定理），然后通过前期学习的Roll定理，类比学习Lagrange 中值定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3.情感态度与价值观在教学的过程中，让学生发现教学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
三、教学重难点分析重点：Lagrange中值定理的引入及其证明。
难点：Lagrange中值定理满足条件的探求，Lagrange中值定理的应用。
四、教学目标1.通过上节内容学习的Roll中值定理，类比学习和理解Lagrange中值定理，培养数学分析，抽象，概括，迁移的学习能力。
2.通过学习定理，发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法。
五、新课讲解1.Roll定理的回?与Lagrange中值定理的引入①在闭区间[a，b]连续；②在开区间（a，b）可导；Roll定理的几何意义已经讲过，如下所示现在我们将这个图形进行旋转，请同学们注意发生的变化大家看看有什么不同。
通过旋转得到的图形和原来的图形只是位置发生了改变，但是它的作用也发生了一些变化，通过旋转得到的图形几何意义就是本节课探讨的内容，Lagrange中值定理。
2. Lagrange中值定理类比前面Roll定理的几何意义猜想出Lagrange中值定理满足的条件若函数f满足如下条件：①f在闭区间[a， b]上连续；②f在开区间（a，b）上可导，则在（a，b）上至少存在一点ξ，使得称为Lagrange中值定理.显然，特别当f（a）=f（b）时，为Roll定理.3. Lagrange中值定理的证明具体证明通过借助辅助函数可以证明证明：作辅助函数显然，①②F（x）在[a， b]连续，③F[x]在（a，b）可导可得：命题得证.4. Lagrange中值定理的几何意义我们从几何的角度看一个问题，如下：设连续函数，a与b是它定义区间内的两点（），假定此函数在（a，b）上处处可导，也就是在（a，b）内的函数图象上处处有不垂直与x轴的切线，那么我们从旋转的图容易看到，差商就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机会会达到离割线最远的一点处成为曲线的切线，尔切线的斜率为，由于切线与割线是平行的，因此成立.补充说明：它有几种常用的等价形式，可以根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：希望以上资料对你有所帮助，附励志名3条：1、积金遗于子孙，子孙未必能守；积书于子孙，子孙未必能读。
中值定理 教案
中值定理教案教案标题：中值定理教案教案目标：1. 理解中值定理的概念和意义；2. 掌握中值定理的基本原理和应用方法；3. 能够运用中值定理解决实际问题。
教案大纲：一、引入（5分钟）1. 引发学生对中值定理的兴趣，例如提问：你们有没有遇到过两个不同时间段之间的平均速度相等的情况？2. 引导学生思考：如何证明这个平均速度相等的情况？二、概念讲解（15分钟）1. 介绍中值定理的概念：中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了一个函数在一个区间上连续且可导时，一定存在一个点使得该点的导数等于该函数在该区间上的平均变化率。
2. 解释中值定理的意义：中值定理可以帮助我们证明某些函数存在零点、证明某些函数的单调性等。
三、中值定理的基本原理（20分钟）1. 介绍罗尔定理：当一个函数在闭区间的两个端点处取相等的函数值时，必定存在至少一点使得该点的导数为零。
2. 介绍拉格朗日中值定理：当一个函数在闭区间上连续且可导时，必定存在至少一点使得该点的导数等于该函数在该区间上的平均变化率。
四、中值定理的应用方法（20分钟）1. 运用罗尔定理解决函数存在零点的问题；2. 运用拉格朗日中值定理证明函数的单调性；3. 运用拉格朗日中值定理解决函数的最值问题。
五、实例分析与讨论（15分钟）1. 提供几个实际问题，引导学生运用中值定理解决；2. 学生分组讨论并展示解决过程和答案。
六、练习与总结（15分钟）1. 课堂练习：提供一些练习题，让学生巩固所学知识；2. 总结中值定理的要点和应用方法。
七、作业布置（5分钟）1. 布置作业：要求学生完成一定数量的中值定理相关题目；2. 强调作业的重要性，并鼓励学生主动思考和解决问题。
教学辅助材料：1. 中值定理的定义和证明过程的PPT；2. 中值定理相关的练习题；3. 实际问题的案例材料。
教学评估：1. 课堂练习的答案和讨论；2. 学生对中值定理的理解和应用能力；3. 作业完成情况和质量。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步探究其他中值定理的应用领域，如泰勒中值定理等；2. 引导学生进行更复杂的中值定理证明和应用的研究。
试讲拉格朗日中值定理
…则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf 。
2、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出了一个 微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理， 但未证明。
拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础，我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容： 2.1 拉格朗日中值定理 若函数()x f 满足下列条件：① 在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得…………………………装………………………订………………………线…………………………ξ()x f y =()()()a b a f b f f --=ξ'注意：（1）深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
（2）若加上()()b f a f =，则()()()00'=-=--=ab a b a f b f f ξ即()0'=ξf ，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
（3）形象认识（几何意义），易知()()ab a f b f --为过B A 、两点的割线的斜率，()ξ'f 为曲线()x f 上过ξ点的切线的斜率：若()()()ab a f b f f --=ξ'即是说割线的斜率等于切线的斜率。
几何意义：若在闭区间[]b a ,上有一条连 续的曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少有一点()()ξξf C ,，使得过点C 的切线平行于割线AB 。
它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线…………………………装………………………订………………………线…………………………CyOABMN()x f y =a ξxb……………山西水利职业技术学院教案纸…………………………装………………………订………………………线……………………………Array……………………装………………………订………………………线……………………………Array……………………装………………………订………………………线……………………………Array……………………装………………………订………………………线…………………………。
微分中值定理-拉格朗日中值定理教案
微分中值定理-拉格朗日中值定理【教学内容】拉格朗日中值定理【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3、利用导数证明不等式的技巧。
【教学过程】 一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
回忆一下罗尔定理的内容：若函数①在闭区间连续②在开区间可导)(x f []b a ,()b a ,③则在内至少存在一点c ，使得 二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础，我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理 若函数满足下列条件： ①在闭区间连续 ②在开区间可导则在开区间内至少存在一点c ，使注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上，则即：，拉格朗日定c 、形象认识（几何意义），易知为过A 斜率，为曲线上过c 割线的斜率等于切线的斜率。
几何意义：若在闭区间上有一条连续的曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少有一点，使得过点的切线平行于割线AB 。
它表明“一个可微函数的曲线段，必有一)()(b f a f =()b a ,0)('=c f )(x f []b a ,()b a ,()b a ,()()ab a f b fc f --=)(')()(b f a f =()()00)('=-=--=ab a b a f b fc f 0)('=c f ()()ab a f b f --)('c f )(x f ab c f -=)('[]b a ,))(,(c f c C C点的切线平行于曲线端点的弦。
中值定理_教案(3篇)
第1篇一、教学目标1. 知识目标：（1）掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理的表述和证明；（2）理解中值定理的几何意义和实际应用。
2. 能力目标：（1）培养学生运用中值定理解决实际问题的能力；（2）提高学生的逻辑推理和证明能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对数学的兴趣，培养严谨的数学思维；（2）培养学生团队合作、探究精神。
二、教学重点1. 罗尔定理、拉格朗日中值定理的表述和证明；2. 中值定理的几何意义和实际应用。
三、教学难点1. 中值定理的证明；2. 中值定理在实际问题中的应用。
四、教学过程（一）导入1. 通过实际例子引入中值定理，如：在一段路程内，汽车的平均速度等于某一时刻的瞬时速度。
2. 引出中值定理的定义和条件。
（二）新课讲授1. 罗尔定理（1）罗尔定理的表述：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
（2）罗尔定理的证明：利用费马引理和最大值最小值存在定理进行证明。
（3）罗尔定理的几何意义：在闭区间[a,b]上，如果函数f(x)的图像是一条连续的曲线，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得曲线在点c处的切线与x轴平行。
2. 拉格朗日中值定理（1）拉格朗日中值定理的表述：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
（2）拉格朗日中值定理的证明：利用罗尔定理和拉格朗日中值定理的推论进行证明。
（3）拉格朗日中值定理的几何意义：在闭区间[a,b]上，如果函数f(x)的图像是一条连续的曲线，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得曲线在点c处的切线斜率等于直线AB的斜率。
（三）例题讲解1. 举例说明罗尔定理和拉格朗日中值定理在实际问题中的应用；2. 讲解如何运用中值定理解决实际问题。
拉格朗日中值定理教案
拉格朗日中值定理教案教案:拉格朗日中值定理教学目标:1.理解拉格朗日中值定理的基本概念和定义；2.掌握拉格朗日中值定理的应用方法。
教学准备:1.教材:数学分析教材中与拉格朗日中值定理有关的章节；2.工具:黑板、粉笔、教具等。
教学过程:一、导入(5分钟)1.引入拉格朗日中值定理的概念，与学生讨论导数的作用；2.回顾导数的定义和基本性质。
二、讲解(20分钟)1.讲解拉格朗日中值定理的概念和基本原理；2.说明定理的前提条件和使用范围；3.列举几个关于应用拉格朗日中值定理的典型例题，分析求解过程；4.引导学生思考定理的几何和物理意义。
三、示范演练(15分钟)1.给出一个具体的函数表达式，要求学生应用拉格朗日中值定理求解；2.带领学生分析解题步骤和关键点；3.鼓励学生互相合作，积极参与讨论和解答问题。
四、讨论交流(20分钟)1.学生对于示范演练的问题进行讨论和交流；2.学生提出自己的疑问和解题思路，并与同学和教师进行讨论；3.教师引导学生找出问题的关键和解决方法。
五、拓展延伸(20分钟)1.在教师的指导下，学生自主解决一些与拉格朗日中值定理相关的问题；2.学生以小组形式展示解题过程和结果；3.学生进行评价和讨论，总结解题方法和技巧。
六、归纳总结(10分钟)1.教师引导学生总结拉格朗日中值定理的基本理论和应用方法；2.强调学生在解题过程中需要注意的问题和技巧；3.学生自主归纳总结，并记录到笔记中。
七、作业布置(5分钟)1.教师布置拉格朗日中值定理的相关作业，并规定提交时间；2.强调作业的重要性，鼓励学生积极完成。
教学反思:本节课主要介绍了拉格朗日中值定理的基本概念和应用方法，通过示范、讨论和练习等多种形式，提高了学生对定理的理解和应用能力。
在教学过程中，学生的合作意识和创造力得到了充分发挥，让学生更好地理解和应用拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理教案
拉格朗日中值定理教案教案：拉格朗日中值定理目标：1.了解拉格朗日中值定理的概念和背景；2.掌握拉格朗日中值定理的数学表达式和推导过程；3.学会应用拉格朗日中值定理解决实际问题。
知识点：1.拉格朗日中值定理的概念和意义；2.拉格朗日中值定理的数学表达式；3.拉格朗日中值定理的证明过程。
教学过程：一、拉格朗日中值定理的概念和意义（20分钟）1.引入：拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它为我们提供了一种在一个区间内计算函数的平均变化率的方法，有助于我们理解函数在一些区间内的性质和行为。
2.概念解释：拉格朗日中值定理是指在给定的区间[a,b]上，若函数f(x)满足一定条件（连续且可导），则存在一个数c，使得f'(c)等于函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
3.意义解释：拉格朗日中值定理告诉我们，若函数f(x)满足一定条件，它在区间[a,b]上的平均变化率可以取到与该区间两端点对应的瞬时变化率相等的一些时刻的瞬时变化率。
这样的结果对于理解函数的变化规律和求解实际问题有很大的帮助。
二、拉格朗日中值定理的数学表达式和证明过程（40分钟）1.数学表达式：拉格朗日中值定理的数学表达式为f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)，其中a<c<b，函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
2.证明过程：我们可以通过引入一个辅助函数g(x)，构造一个新的函数F(x)=f(x)-g(x)，然后利用罗尔定理证明在函数F(x)上存在一个点c，使得F'(c)=0。
由于F(x)=f(x)-g(x)，所以F'(x)=f'(x)-g'(x)。
根据罗尔定理，我们可以得到存在一个点c，使得F'(c)=f'(c)-g'(c)=0，即f'(c)=g'(c)。
由于g(x)在[a,b]上是一个常数函数，所以g'(x)=0。
拉格朗日中值定理教学设计
（一）新课引入复习罗尔定理引出拉格朗日中值定理。
（二）新课讲解1、板书定理内容解释定理的条件及结论，指出定理条件的一般性。
定理2（Lagrange ）设函数()f x 满足条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-。
或写成 ()()()()f b f a f b a ξ'-=-。
上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于b a <也成立。
2、Lagrange 生平简介。
3、借助于多媒体，图文并茂地解释定理几何意义。
4、板书分析证明的思路引导学生采用逆向思维的方式，从结论入手分析得出需证明的结论的条件。
5、引导学生通过观 察图形的区别引导学生思考拉格 朗日中值定理与罗尔定理的关系。
6、由拉格朗日中值定理还可以得出下面的推论：推论:设函数()f x 在开区间(,)a b 内可导,且()0f x '≡，则在(,)a b 内()f x 为常数。
即()0f x '≡，(,)x a b ∈⇒(),(,)f x C x a b ≡∈，其中C 为常数。
7、定理应用例1 证明 arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-。
练习1：证明arctan arccot ,(,)2x x x π+=∈-∞+∞例2 证明不等式ln(1)(0)1x x x x x <+<>+。
练习2：证明不等式ln (0)b a b b a a b a a a--<<<<。
例3 设()f x 在[0,1]内可导，且0()1f x <<，又对于(0,1)内的所有点x 有()1f x '≠-，证明方程()10f x x +-=在(0,1)内有唯一实根。
板书证明的分析过程。
指出本题的关键是找出研究的对象——函数，注意观察不等式的特点，找出合适的函数，合理运用定理证明不等式。
拉格朗日中值定理教学设计
拉格朗日中值定理教学设计教学设计：拉格朗日中值定理一、教学目标：1.了解拉格朗日中值定理的概念、公式及其在求函数极值、证明一元函数连续性等方面的应用；2.能够熟练运用拉格朗日中值定理，解决简单的实际问题；3.培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、教学内容：1.拉格朗日中值定理的概念及基本公式；2.拉格朗日中值定理在极值问题中的应用；3.拉格朗日中值定理在连续性证明中的应用。
三、教学过程：1.导入（10分钟）教师通过举例引出问题：如果一辆汽车在段时间内行驶了150公里，问在这段时间内这辆车必然存在一个时刻，它的瞬时速度等于它的平均速度？2.导入目标（5分钟）教师由导入问题引出拉格朗日中值定理，解释拉格朗日中值定理的应用价值和意义。
3.拉格朗日中值定理概念与公式（20分钟）教师给予学生一个具体的数学问题，通过图示和数学计算，引出拉格朗日中值定理的基本公式。
然后，对概念进行深入讲解，即如何理解拉格朗日中值定理。
4.拉格朗日中值定理在极值问题中的应用（30分钟）（1）教师通过一个实际问题来引出拉格朗日中值定理在求函数极值问题中的应用，如"求证在区间[0,1]上函数f(x)=-x^3+3x^2+2x-1在x=1/3处取得极值"。
（2）教师引导学生通过拉格朗日中值定理来解决该问题，即先求取函数f(x)在[0,1]上的导数f'(x)，然后通过拉格朗日中值定理得到一个介于0和1之间的值c，使得f'(c)=0，进而得到函数的极值点。
5.拉格朗日中值定理在连续性证明中的应用（25分钟）（1）教师引出一个函数在一些点的连续性证明问题，如"证明函数f(x)=x^2在x=2处连续"。
6.拓展应用：拉格朗日中值定理在微分中的应用（20分钟）教师给出一个具体的微分问题，通过拉格朗日中值定理帮助学生求解。
如"证明函数f(x)=x^3在[a,b]上的其中一点c处的切线与割线的斜率之差为(f(b)-f(a))/(b-a)"。
(完整版)拉格朗日中值定理教案
拉格朗日中值定理教案 授课人：***一、教材分析微积分学是高等数学的重要的部分，是近代数学的伟大成果之一。
它为我们研究函数和变量提供了重要的方法。
微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理等）是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用。
拉格朗日中值定理，建立了函数值和导数之间的定量联系，成为我们讨论怎样由导数的已知性质推断函数所具有的性质的有效工具。
二、教学重点和难点教学重点：学习罗尔定理，类比探求和理解拉格朗日中值定理。
教学难点：探求拉格朗日中值定理条件，运用定理研究函数单调性。
三、教学目标1、通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日中值定理，培养学生分析，抽象，概括，迁移的学习能力。
2、通过学习定理，发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法。
四、授课过程1、知识回顾费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则必有0)0(='x f 。
它的几何意义在于，若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。
2、新科讲授首先看一个定理，可以看作是拉格朗日中值定理的引理。
（板书）罗尔定理:如果函数)(x f 满足(1)在闭区间[]b a ,上连续;(2)在开区间()b a ,内可导;(3))()(b f a f = .那么在()b a ,内至少存在一点ξ，使得函数在该点的导数等于零，即0)(='ξf . 罗尔定理的几何意义在于：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相同，则至少存在一条水平切线。
如图，)(x f 的图像曲线弧AB ，点C 处的切线平行于x 轴，即0)(1='ξf 。
注（1）点D 处也是符合定理结论的点 ，故应注意原定理中的至少存在一点，而不是唯一存在的。
（2）定理的三个条件缺少任何一个，结论都会不一定成立；接下来看下面三个函数的图像：然后给出罗尔定理的严格数学证明：()()[]3,03)3(]1,1[)2(011,00,1)1(2∈-=-∈=⎪⎩⎪⎨⎧=∈=x x y x x y x x x y （1） （2）（3） -1 1 -1 1 3证明：因为f 在[]b a ,上连续，所以必然存在最大值和最小值，分别设为m M ,，下面分两种情况来讨论：（1）若m M =，则f 在[]b a ,是常函数，从而结论显然成立；（2）若m M >，则因()()b f a f =，使得最大值M 和最小值m 至少有一个是在 ()b a ,内某一点ξ处取到，从而ξ是f 的极值点。
拉格朗日中值定理教学设计课题
教学设计第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的：1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。
2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
二、教学重点与难点：1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的高。
2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。
三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：六、教学情境设计（1学时）：1、知识回顾费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。
它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。
2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。
定理6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件：(i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf . ()1罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．证 因为f 在[]b a ,上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况来讨论：(1)若M m =，则，f 在[]b a ,上必为常数，从而结论显然成立．(2)若M m <，则因()()b f a f =，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点．由条件(ii)，f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0='ξf ．注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)。
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拉格朗日中值定理教学设计
作者: 日期:
教学段计
第六章微分中值定理及其应用
§1拉格朗日定理和函数的单调性
题目：罗尔定理与拉格朗日定理
一、教学目的：
1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。
2・能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗F1定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗H定理，培养
学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3. 情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养敎形结合的思想，以及
严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
二、教学重点与难点：
1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢周，大厦才能建的高。
2.难点：罗尔定理和拉格朗F）定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联
系。
三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法
四、教学手段：板书与课件相结合
五、教学基本流程：
知识回顾引出定理，探究案例——> 类比学习，理解定理
____ ►升华、理解新知______ ►课堂小结作业
六、教学情境设计(1学对)：
1v知识回顾
费马定理：设函数/(X)在心的某领域内有定义，且在兀可导。
若兀为/ 的极值点，则必有/(x0y = Oo它的几何意义在于：若函数/(M在J=x o可导，那么在该点的切线平行于X轴。
2、引出定理，探究案例
微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。
定理6.1 (罗尔(心川小中值定理) 若函数f满足如下条件：
(i)/在闭区间［“上］上连续；
(ii)/在开区间仏方)内可导；
(ii !)/(«)=/(/.),
则在(a,Z?)内至少存在一点使得
厂(沪0 •(1)
罗尔定理的几何意狡是说：在每一点都可字的一段连续曲线上，如呆曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1).
证因为/在［“上］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与加表示，现分两种情况来讨论：
⑴若m = M ,则，/在［“,闰上必为常数，从而结论显然成立.
(2)若m < M ,则因/(")=/(”)，使得最大值M与最小值川至少有一个在("")内
某点纟处取得，从而§是/的极值点.由条件(ii), /在点§处可导，故由费马定理推知
/W=o-
注定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)o
ffl 6 — 2
设/为R上可导函数，证明：若方程广(0 = 0没有实根，则方程
/W=o至多有一个实根.
证这可反证如下：倘若f（x）= 0有两个实根旺和勺（设Al < X2）,则函数/在［坷,七］上满足罗尔定理三个条件,从而存在<e（x H x2）,使广（§） = 0,这与广（兀）工0的假设相矛盾，命题得证.
3、类比学习，理解定理
定理6. 2 （拉格朗日（Sgwge）中值定理）若函数满足如下条件：
（彷在闭区间［（"］上连续；
（〃”在开区间仏b）内可导，
则在（sb）内至少存在一点纟，使得
显然，特别当f（a）= f（b）时，本定理的结论（2）即为罗尔定理的结论（1）.这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形.
证作辅助函数
F(x) = f(x)~/ ⑷一少匕儿"(X -a).
显然，F（a）= /0X= 0）,且F在［d,b］上满足罗尔定理的另两个条件.故存在§ e @,b）,使
化）=广（纟）一/气）7⑺）=o
b-a
移项后即得到所要证明的（2）式。
拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线y = /（x）上至少存在一点该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB,（如图6—3所示）o
定理的结论称为拉格朗日公式。
4、升华、理解新知
•注解
Note 1.定理的几何意义：在y = f(x)±至少存在一点，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB。
Note 2.定理只论证了§的存在性，不知道纟的准确数值，但并不妨碍它的应用.
Note 3.拉格朗日公式还有下而几种等价表示形式：
/0)= -a\a<^ <b\(3)
f ⑹ _ f (a) = f\a + 0{b - a))(b -a),o<0 < 1; (4)
f(a + /?) - f(a) = f\a + 6T?)/?,0 < & v 1; (5)
值得注意的是，拉格朗日公式无论对于a<h,还是a>b都成立，而纟则是介于a与b之间的某一定数，而(4)、(5)两式的特点，在于把中值点§表示成了“ + &(b-“)，使得不论为何值，&总可为小于1的某一正数。
•例题讲解
例2证明对一切〃 >-1 ,力h0成立不等式
----- < ln(l + /?) < h o
1 + /1
证设f(x) = ln(l + x),则
ln(l + /?) = ln(l + /?) - In 1 = —-— .0 < ^ < 1.
1 +品
当力>0时，由0<6><1可推知
1<1+/7<1+/L—<—^—</?・
1+力1+创
当一1</?<0时，由0<^<1可推得
1 > 1 + 0? > 1 + 力 > 0, —^― < —-— < h・
l + /i 1 +处从而得到所要证明的结论。
•推论
推论1若函数/在区间/上可导，且广(x)H0,xeZ,则/为/上一个常量
函数.
证任取两点X,, x2 e I (设Xj < x2),在区间[Xj,x2] X应用拉格朗日定理，存在
^e(x p x2)c /,使得
f(x2) - /(%))=化)匕2 -^) = 0.
这就证得/在区间/上任何两点之值相等.
由推论1又可进一步得到如下结论：
推论2 若函数/和g均在区间/上可导，且广(X)三g，(x),, xw/,则在区间
/上/(X)与g(x)只相差某一常数，即
f(x) = g(x) + C(C 为某一常数).
推论3 (导数极限定理)设函数/在点筍的某邻域UC")内连续，在
U°(x0)内可导，且极限lim /\A)存在，则/在点％可导，且
广（勺）=lim f\x ）. XT”
■i 正 分别按左右导数来证明（6）式成立.
（1）任取xeU ；（x 0） , /心）在［心‘］上满足拉格朗日定理条件，则存在
^e （x 0,x ）,使得
由于人V 《vx,因此当XTX ；时，随之有 对（7）式两边取极限，得到
（2）同理可得 /工5）=广（兀。
_0）・
因为Um f\x ） = k 存在,所以广（心+0）=广（兀0-0）=匕 从而 f ：g = f ：M = k,即f （X 。
） = k.
导数极限定理适合于用来求分段函数的导数
•例题讲解
例3求分段函数
的导数。
解首先易得
1 + 2xcosx
2 x < 0,
进一步考虑/在x = 0处的导数・在此之前，我们只能依赖导数定义来处理，现在则可 以利用导数极限定理・由于
lim / (x) = lim ln(l + x) = 0 = /(0), lim /⑴7凤)
•f “ X _ 心
= iim^r«)=r (x o +o ) XfY 。
fM = <
x + sinx 2,x< 0,
/V )=
1 .TT7 > 0.
lim f(xO = lim (x + sin x2 ) = 0= f (0),
因此/在％= 0处连续，又因
厂(0-0) = lim (1 + 2xcosx2 ) = 1, X-MJ"
广(0 + 0)= lim 丄=1,
•K)T + x
所以lim广0) = 1.依据导数极限定理推知/在x = 0处可导，且770) = 1. .V-M)
5、课堂小结与作业
K罗尔中值定理的条件及几何意艾。
2、拉格朗日中值定理的条件及几何意义。
3、加深定理理解的几个注解。
4、三个推论。
5、预习函数的单调性。
作业：习题2, 4
7。