三角函数的性质及三角恒等变换.

三角函数的性质及三角恒等变换

温州中学叶昭蓉概述：三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆，但研究的方法是采用代数中函数的研

究方法和代数运算的方法，于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁，使它在几何和代数中都能有所作为。这无疑使三角函数在复数、立体几何和解析几何中有着广泛的应用。【考点梳理】

一、考试内容

1.角的概念的推广，弧度制。

2.任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式。

3.两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切。

4.正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=Asin(ωx+ϕ)的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角。

5.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。

二、考试要求

1.理解任意角的概念、弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算。

2.掌握任意角的三角函数的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，了解奇函数、偶函数的意义。

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4.能正确地运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

5.了解正

弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= Asin(ωx+ϕ)的简图，理解A、ω、ϕ的物理意义。

x x x表示。

6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin,arccos,arctan

7.掌握余弦定理、正弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

（2005年考纲删减知识点：“能利用计算器解决三角形的计算问题”）

三、知识网络：

【命题研究】

分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，浙江省2004年高考试题这部分内容有17分，占总分11.3%。试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。

数学试题的走势，体现了新课标的理念，突出了对创新能力的考查。

如：福建卷的第17题设函数(),a b =f x ()2cos ,1,a x =其中向量

()

cos 2b x x =,.x R ∈()()11,,33x x ππ⎡⎤

=∈-⎢⎥⎣⎦

若f x 求；

（2）若函数y=2sin2x 的图象按向量(),2m n m π⎛⎫

=<

⎪⎝

⎭

c 平移后得到函数()y=f x 的图象，求实数m、n 的值。此题“重视知识拓宽，开辟新领域”，将三角与向量知识交汇。

高考试题联系现行新教材，如全国（2）卷中的第17题：已知锐角三角形ABC 中，

()(),5

1

sin ,53sin =-=

+B A B A （1）求证：B A tan 2tan =；（2）设3=AB ，求AB 边上的高，就与下列课本习题相接近，课本第一册（下）第四章三角函数的小节与复习例2：已知()()51sin ,32sin =-=

+βαβα，求β

α

tan tan 的值。 【复习策略】

三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在

课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜。由于三角解答题是基础题、常规题，属于容易题的范畴，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力。

解答三角高考题的一般策略：

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化。 三角函数恒等变形的基本策略：

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=

2

β

α+－

2

β

α-等。

（3）降次，即二倍角公式降次。

（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=

a

b

确定。

第一课时

【典型例题分析与解答】

例1、化简sin sin cos cos cos cos 2

2

2

2

1

2

22αβαβαβ⋅+⋅-

⋅ 分析：对三角函数式化简的目标是： （1）次数尽可能低； （2）角尽可能少；

（3）三角函数名称尽可能统一； （4）项数尽可能少。 观察欲化简的式子发现：

（1）次数为2（有降次的可能）； （2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）； （3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）； （4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种。 解法一：（复角单角，从“角”入手）→ 原式=⋅+⋅-

⋅--sin sin cos cos (cos )(cos )2

2

2

2

221

2

2121αβαβαβ =⋅+⋅-⋅--+s i n s i n cos cos (cos cos cos cos )

22

22222212

4221αβαβαβαβ