13度量空间的可分性与完备性

1.3度量空间的可分性与完备性

在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性•同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数•现在我们

将这些概念推广到一般度量空间.

1.3.1度量空间的可分性

定义1.3.1 设X是度量空间，A,B X，如果B中任意点x B的任何邻域0(x,)内都含有A的点，则称A在B中稠密•若A B，通常称A是B的稠密子集•

注1 : A在B中稠密并不意味着有 A B .例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实

数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.

定理1.3.1 设(X,d)是度量空间，下列命题等价：

(1)A在B中稠密；

(2)x B，｛xJ A，使得limd (人，x) 0 ;

n

(3) B A(其中A AU A , A为A的闭包，A为A的导集(聚点集));

(4)任取0,有B U O(x,).即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合

x A

覆盖B .

证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.

稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,C X，若A在B中稠密，B在定理 1.3.2

C中稠密，则A在C中稠密.

证明由定理1.1知B A , C B，而B是包含B的最小闭集，所以 B B A，于是

有C A，即A在C中稠密.口

注2：利用维尔特拉斯定理可证得｛定理(Weierstrass 多项式逼近定理)闭区间［a,b］上

的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限. ｝

(1) 多项式函数集P［a,b］在连续函数空间C［a,b］中稠密.

参考其它资料可知：

(2) 连续函数空间C［a, b］在有界可测函数集B［a,b］中稠密.

(3) 有界可测函数集B［a,b］在p次幕可积函数空间L p［a,b］中稠密(1 p ).

利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：

⑷连续函数空间C［a,b］在p次幕可积函数空间L p［a,b］中稠密(1 p ).

因此有P[a,b] C[a,b] B[a,b] L p[a,b].

定义1.3.2 设X是度量空间，A X，如果存在点列｛x n｝ A，且｛X n｝在A中稠密,

则称A是可分点集(或称可析点集).当X本身是可分点集时，称X是可分的度量空间.

注3: X 是可分的度量空间是指在 X 中存在一个稠密的可列子集 .

例1.3.1 欧氏空间R n 是可分的.｛坐标为有理数的点组成的子集构成

R n 的一个可列稠

密子集.｝

证明 设Q n ｛( r ,r 2 L ,r n )|n Q,i 1,2,L , n ｝为R n 中的有理数点集，显然Q n 是可数集，下

证Q n 在R n 中稠密.

d (x,p ) max |x(t) p (t)| 2

另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式 p b (t) P 0[a,b]，使得

d(p , P o ) max | p (t) P o (t) | -

a t b

2

因此，d(x, p o ) d (x, p ) d(p , p o ) ，即 p o (t) O(x,)，在 C[a,b]中任意点 x(t)的任意邻域 内必有F 0[a,b]中的点，按照定义知

P o [a,b]在C[a,b]中稠密.口

例1.3.3

p 次幕可积函数空间 L p [a, b]是可分的.

证明 由于F 0[a,b]在C[a,b]中稠密，又知C[a,b]在L p [a,b]中稠密，便可知可数集F 0[a,b]在

L p [a,b]中稠密.口

例1.3.4 p 次幕可和的数列空间l p 是可分的.

证明 取 E 。｛(r/’L ,r n ,0,L ,0,L ) |r Q,n N ｝，显然 E 。等价于 U Q "，可知 E 。可数, n 1

F

面证E o 在l p

中稠密.

x (X !,X 2 L,X n ,L) |p ，有 |x|p ，因此 0, N N ，当 nN 时，

1

p

|X i |p

___

n N 1

2

对于 r k

x(k

数列n k

现证

R n 中任意一点x (xK ,L ,x n )，寻找Q n 中的点列｛r k ｝，其中r k (「,｛ L ,｛)，使得 )•由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数

x(k

).于是得到0“中的点列｛r k ｝，其中

r k

(讥｛,L ,r n k ),

0，由 r k

x (k

X ( i 1,2,L ,n )，存在有理

k 1,2, L .

x (k

)

.

)知,

1,2,L ,n

取 K max{K !,K 2,L ,©}，当 k K 时，对于 i

1,2,L ,n , 都有 k

|r

d (r k , x)

即r k

x(k )，从而知Q n 在R n 中稠密•口 例1.3.2 连续函数空间 C[a,b]是可分的.

｛具有有理系数的多项式的全体

P o [ a, b]在

C[a,b]中稠密，而F O [a,b]是可列集.｝ 证明

显然F O [a,b]是可列集.

x(t)

表示成一致收敛的多项式的极限，即

由 Weierstrass 多项式逼近定理知， x(t)可

C[a,b], 0，存在(实系数)多项式p (t)，使得

I 2

n

.k | r x

i