13度量空间的可分性与完备性

1.3度量空间的可分性与完备性
在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性•同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数•现在我们
将这些概念推广到一般度量空间.
1.3.1度量空间的可分性
定义1.3.1 设X是度量空间，A,B X，如果B中任意点x B的任何邻域0(x,)内都含有A的点，则称A在B中稠密•若A B，通常称A是B的稠密子集•
注1 : A在B中稠密并不意味着有 A B .例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实
数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.
定理1.3.1 设(X,d)是度量空间，下列命题等价：
(1)A在B中稠密；
(2)x B，｛xJ A，使得limd (人，x) 0 ;
n
(3) B A(其中A AU A , A为A的闭包，A为A的导集(聚点集));
(4)任取0,有B U O(x,).即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合
x A
覆盖B .
证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.
稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,C X，若A在B中稠密，B在定理 1.3.2
C中稠密，则A在C中稠密.
证明由定理1.1知B A , C B，而B是包含B的最小闭集，所以 B B A，于是
有C A，即A在C中稠密.口
注2：利用维尔特拉斯定理可证得｛定理(Weierstrass 多项式逼近定理)闭区间［a,b］上
的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限. ｝
(1) 多项式函数集P［a,b］在连续函数空间C［a,b］中稠密.
参考其它资料可知：
(2) 连续函数空间C［a, b］在有界可测函数集B［a,b］中稠密.
(3) 有界可测函数集B［a,b］在p次幕可积函数空间L p［a,b］中稠密(1 p ).
利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：
⑷连续函数空间C［a,b］在p次幕可积函数空间L p［a,b］中稠密(1 p ).
因此有P[a,b] C[a,b] B[a,b] L p[a,b].
定义1.3.2 设X是度量空间，A X，如果存在点列｛x n｝ A，且｛X n｝在A中稠密,
则称A是可分点集(或称可析点集).当X本身是可分点集时，称X是可分的度量空间.
注3: X 是可分的度量空间是指在 X 中存在一个稠密的可列子集 .
例1.3.1 欧氏空间R n 是可分的.｛坐标为有理数的点组成的子集构成
R n 的一个可列稠
密子集.｝
证明 设Q n ｛( r ,r 2 L ,r n )|n Q,i 1,2,L , n ｝为R n 中的有理数点集，显然Q n 是可数集，下
证Q n 在R n 中稠密.
d (x,p ) max |x(t) p (t)| 2
另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式 p b (t) P 0[a,b]，使得
d(p , P o ) max | p (t) P o (t) | -
a t b
2
因此，d(x, p o ) d (x, p ) d(p , p o ) ，即 p o (t) O(x,)，在 C[a,b]中任意点 x(t)的任意邻域 内必有F 0[a,b]中的点，按照定义知
P o [a,b]在C[a,b]中稠密.口
例1.3.3
p 次幕可积函数空间 L p [a, b]是可分的.
证明 由于F 0[a,b]在C[a,b]中稠密，又知C[a,b]在L p [a,b]中稠密，便可知可数集F 0[a,b]在
L p [a,b]中稠密.口
例1.3.4 p 次幕可和的数列空间l p 是可分的.
证明 取 E 。

｛(r/’L ,r n ,0,L ,0,L ) |r Q,n N ｝，显然 E 。

等价于 U Q "，可知 E 。

可数, n 1
F
面证E o 在l p
中稠密.
x (X !,X 2 L,X n ,L) |p ，有 |x|p ，因此 0, N N ，当 nN 时，
1
p
|X i |p
___
n N 1
2
对于 r k
x(k
数列n k
现证
R n 中任意一点x (xK ,L ,x n )，寻找Q n 中的点列｛r k ｝，其中r k (「,｛ L ,｛)，使得 )•由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数
x(k
).于是得到0“中的点列｛r k ｝，其中
r k
(讥｛,L ,r n k ),
0，由 r k
x (k
X ( i 1,2,L ,n )，存在有理
k 1,2, L .
x (k
)
.
)知,
1,2,L ,n
取 K max{K !,K 2,L ,©}，当 k K 时，对于 i
1,2,L ,n , 都有 k
|r
d (r k , x)
即r k
x(k )，从而知Q n 在R n 中稠密•口 例1.3.2 连续函数空间 C[a,b]是可分的.
｛具有有理系数的多项式的全体
P o [ a, b]在
C[a,b]中稠密，而F O [a,b]是可列集.｝ 证明
显然F O [a,b]是可列集.
x(t)
表示成一致收敛的多项式的极限，即
由 Weierstrass 多项式逼近定理知， x(t)可
C[a,b], 0，存在(实系数)多项式p (t)，使得
I 2
n
.k | r x
i
又因Q在R中稠密，对每个x(1 i N)，存在r Q , 使得
Ix r
p
|
P 2N，
(i1,2,3,L ,N)
于是得
N p
|X r |p_
i 12
令X0 (比「2丄，「N,0,L ,0,L ) E。

，贝y
N1p p
d (X0,x) ( | X i r i |p|x|p)p( )
i 1i N 1 2 2
因此E o在l P中稠密.口
例1.3.5 设X ［0,1］，则离散度量空间(X,d。

)是不可分的.
证明假设(X,d o)是可分的，则必有可列子集{X n} X在X中稠密.又知X不是可列集
1
所以存在x* X , X* {X.}.取2，则有
O(x , ) x d°(x,x ) - x
2
即O(x*,)中不含{X n}中的点，与{x.}在X中稠密相矛盾.口
思考题：离散度量空间(X,d o)可分的充要条件为X是可列集.
注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如
(0.625) 10=(0.101) 2 0.625 2=1.25 取1; 0.25 2=0.50 取0; 0.5 2=1.00 取1.
二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1
n
1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推•即(0.x,x2L x n)2 ( 斗x)0，例
i 1 2
如
1 1 1
(0.101) 2= (- 1 - 0 - 1几(0.625) !0.
2 4 8
因此［0,1］与子集A {X (X!,X2 L ,x n丄)X n 0或1}对等，由［0,1］不可数知A不可列.
例1.3.6 有界数列空间I是不可分的.
I {x (x ,X2,L ,X n丄)=(x) I x为有界数列}，对于x (x) , y (y) I ，距离定义为d(x,y) sup | X y i |.
i 1
证明考虑I中的子集 A {x (X1,X2丄，xL ) X n 0或1},则当x, y A , x y时，有d(x,y) 1.因为［0,1］中每一个实数可用二进制表示，所以A与［0,1］一一对应，故A不可列.
假设I可分，即存在一个可列稠密子集A0，以人中每一点为心，以1
为半径作开球，所3
有这样的开球覆盖I，也覆盖A.因A)可列，而A不可列，则必有某开球内含有A的不同的点，设x与y是这样的点，此开球中心为x0，于是
1 1 2
1 d(x,y) d(x,x o) d(x),y)
3 3 3
矛盾，因此I不可分.口
1.3.2度量空间的完备性
实数空间R中任何基本列(Cauchy列)必收敛.即基本列和收敛列在R中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间.
定义1.3.3 基本列
设｛x n｝是度量空间X中的一个点列，若对任意0,存在N，当m,n N时，有
d(x m,x n) 则称｛x n｝是X中的一个基本列(或Cauchy 列).
定理1.3.3 (基本列的性质)设(X,d)是度量空间，则
(1) 如果点列｛x n｝收敛，贝U ｛&｝是基本列；
(2) 如果点列｛x n｝是基本列，则｛x n｝有界；
(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点.
证明(1)设｛x n｝ X , x X，且X. X .贝y 从而n , m N时，0 , N N，当n N 时，d(X n,x)
2 2 2 .
d(X n,X m)d(X n, X) d(X, X m)
即得｛x.｝是基本列.
(2)设｛X n｝为一基本列，则对1，存在N , 当n N 时，有d(x N 1,X n) 1，记M max｛d(X1,X N 1),d(x2,X N 1),L ,d(X N, X N 1),1｝ 1，那么对任意的m,n，均有
d(X n,x m) d(x n,X N1)d(X m,X N1)M M 2M ,
即｛X n｝有界.
(3)设｛X n｝为一基本列，且｛X n k｝是｛X n｝的收敛子列，X(k ).于是，0, N1 N ,
当m,n 汕时，d(X n,X m) ; N2 N，当k N2时，d(X n k,x) .取N maxe^N?｝，则
2 2
当n N , k N时，n k k N，从而有
d(X n ，X )d(X n ，X nJ d(X n-X )
2 2
故 X n x(n ) .口
注4:上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列
(Cauchy 列)，那么基本列是收敛列吗？
例1.3.7 设X (0,1)， x,y X ，定义d(X,y) X y ,那么度量空间 (X,d)的点列
中a,b N ，有
上的基本列，可知 0 , N N ，当n,m N 时有
—也是X 上的基本列.口 n 1
那么在此空间中不必找出序列的极限， 就可以判断它是 否
收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间.
定义1.3.4 完备性
如果度量空间X 中的任何基本列都在 X 中收敛，则称X 是完备的度量空间. 例1.3.8 n 维欧氏空间R n 是完备的度量空间.
证明 由R n 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及 R 的完备性易得.口
例1.3.9 连续函数空间C[a, b]是完备的度量空间.
(距离的定义：d(f,g) max| f(t) g(t)|)
t [ a,b]
证明 设｛X n ｝是C[a,b]中的基本列，即任给 0,存在N ，当m,n N 时，d(X m ,X n )
即
”黯 X m (t)
X n
(t)
故对所有的t [a,b], X m (t ) X n (t )
，由一致收敛的 Cauchy 准则，知存在连续函数 x(t)，使
｛x n (t)｝在[a,b]上一致收敛于 x(t)，即 d(x m , x) 0(n
),且 x C[a,b].因此 C[a, b]完备.口
1
例 1.3.10 设 X C[0,1],
f(t),g(t) X ，定义 a (f,g) J f (t) g(t) dt ，那么(X,dJ 不是
完备的度量空间.(注意到例1.3.9结论(X,d)完备)
｛x n ｝ — 是X 的基本列，却不是
n 1
X 的收敛列.
证明对于任意的
0,存在 N N ，使得N 丄，那么对于m N a 及n N b ，其
(N a 1)(N b 1)
1 a b Na Nb
即得｛x.｝是基本列.显然lim —
n
n 0 X ，故｛X n ｝不是X 的收敛列. 1 或者利用{ Xi} {—}是 n 1 如果一个空间中的基本列都收敛,
max{a, b}
d (X n , X )
X ｝
证明设
00 t1
2
r 1111
f n(t) n (t -)-t
12n
1
1 1
1
t
2 n
f n(t) C[0,1]的图形如图1.3.1所示•显然f n(t)C[0,1], n1,2,3,L .因为d1(f m,f n)是下面右图
中的三角形面积，所以0 , N
1
，当m,n N时，有
于是｛f n｝是X的基本列•下面证｛ f n｝在X中不收敛•若存在f (t) X，使得
d i(f n,f) 0(n ) •
的三个积分均非负，因此d(f n,f) 0时，每个积分均趋于零•推得
0 t [0,舟]
f(t) 11 d,1]
可见f(t)不连续，故｛f n｝在X中不收敛，即C[0,1]在距离a下不完备.口
度量空间距离可分性n维欧氏空间(R n,d)
d(x,y) /「x
y i)2V 离散度量空间(x,d。

)
X可数0当x d
o
(x, y) “ 当
1 当x
y时V
X不可数
y时X
连续函数空间C[a,b]d(f ,g) t niax| f(t)
t [a,b]
g( t)|V
表1.3.1 常用空间的可分性与完备性
完备性
f n (t) C[0,1]图像及有关积分示意图
1
由于d i(f n，f) 0|f n(t) f(t)|dt
1
■2
0I f(t)|dt
1 1
2 -
1 I f n(t) f (t) | dt
2
1
1 1|1 f (t) | dt
,显然上式右边
V
n 1
由于有理数系数的多项式函数集
F 0[a,b]是可列的，以及F 0[a,b]在P[a,b]、C[a,b]、B[a,b]
以及L p [a,b]中稠密，可知闭区间[a,b]上多项式函数集 P[a,b]、连续函数集C[a,b]、有界可测 函数集
B[a,b]、p 次幕可积函数集 L p [a,b]均是可分的.前面的例子说明n 维欧氏空间R n 以及p 次幕可和的数列空间|p 也是可分空间，而有界数列空间 I 和不可数集X 对应的离散度量空间
(X,d o )是不可分的.
从上面的例子及证明可知，
n 维欧氏空间R n 是完备的度量空间，但是按照欧氏距离
X (0,1)却不是完备的；连续函数空间 C[a,b]是完备的度量空间，但是在积分定义的距离
1
a (f,g) °|f (t )g (t )dt 下，C[o,i]却不完备•由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同
一个元素的无限重复组成的点列， 所以它是完备的.我们还可以证明p 次幕可和的数列空间i p 是完备的度量空间，p 次幕可积函数空间L p [a,b](p 1)是完备的度量空间，有界数列空间的完 备性•通常所涉及到的空间可分性与完备性如表
1.3.3所示.
在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理. 定理1.3.4 (闭球套定理)设(X,d)是完备的度量空间，
B n O(x n , n )是一套闭球：
x m B m
B n
( 6(召，n
))，可得
d(X m ,X n )
n
,
所以｛xJ 为X 的基本列.
(2) x 的存在性.由于(X,d)是完备的度量空间，所以存在点x X ，使得lim x n x .令(2.4) 式中的m ，可得
d(x,xj
n
即知 x B n , n 1,2,3,L ，因此 x |
B 1
B 2 L B n L . 如果球的半径
n
0(n )，那么存在唯一的点
证明 (1)球心组成的点列 x I B n .
n 1
伉｝为X 的基本列.当m n 时，有
0,取N ，当n N 时，使得
d(X m ,X n )
于是当m,n N 时，有 (2.4)
B n .
(3) x的唯一性.设还存在y X，满足y | B n，那么对于任意的n N，有x,y B n ,
n 1
从而d(x,y) d(x,x n) d(x n,y) 2 n 0 (n )，于是x y •口
注4：完备度量空间的另一种刻画：
设(X,d)是一度量空间，那么X是完备的当且仅当对于X中的任何一套闭球：
B l B2 L B n L，其中B n O(X n, n)，当半径n Og )，必存在唯一的点X | B..
n 1
1
大家知道lim(1 -)n e,可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间
n n
是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用. 对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用. 那么是否对于任一不完备的度量空
间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答.
定义1.3.5 等距映射
设(X,d) , (Y,)是度量空间，如果存在 -------------- 映射T : X Y，使得％,x2 X，有
d(X1,X2)(Tx,Tx2)，则称T是X到丫上的等距映射，X与丫是等距空间(或等距同构空间).
注5:从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间
的两个不同模型•另外度量空间中的元素没有运算，与(X,d)相关的数学命题，通过等距映射
T ,使之在(Y,)中同样成立.因此把等距同构的(X,d)和(Y,)可不加区别而看成同一空间.
定义1.3.6 完备化空间
设X是一度量空间，丫是一完备的度量空间，如果丫中含有与X等距同构且在丫中稠密
的子集丫’，则称丫是X的一个完备化空间.
图1. 3.2度量空间X的完备化示意图
定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)
对于每一个度量空间X ,必存在一个完备化的度量空间丫，并且在等距同构意义下丫是唯一确定的.
例 1.3.11 设x,y R (,)，定义距离d(x, y) |arctanx arctany |，试证(Rd)不是完备的空间.
证明取点列{%} R，其中x n n，注意Hm arctan & -，显然不存在一点x R，使得
d(x n,x) | arcta% arctanx| 0(n ).
所以点列｛X n｝在R中没有极限. 由于lim
x arcta n x —即卩
2，
0, N，当当
m,n
| arctan m — |
2—| arctan n — | —
2 2 2
，于是
d(X.,X m) 1 arcta nx.arctanx m || arcta n x n|
2
| arctan x m|
2
因此点列｛X n｝是基本列，却不是收敛列.口
N时，有。