数学模型第四版课后答案姜启源版
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第三章1（2008年10月14日）
1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
解：设购买单位重量货物的费用为 ,其它假设及符号约定同课本．
对于不允许缺货模型，每天平均费用为：
解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费 ＝2500（元）;
每天每吨角钢的贮存费 ＝0.18（元）.又现在的订货周期T ＝30（天）
根据不允许缺货的贮存模型：
得：
令 ，解得：
由实际意义知：当 （即订货周期为 ）时，总费用将最小.
又 ＝300＋100k
=353．33＋100k
－ ＝（353.33＋100k）－（300＋100k） ＝53．33.
故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T = ，能节约费用约53．33元.
《数学模型》作业解答
第四章（2008年10月28日）
1.某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用 原料1千克, 原料5千克；一件乙产品用 原料2千克, 原料4千克.现有 原料20千克, 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？
（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：
1 2 3 4 5
A
B
C
235117.578.3 58.75 …
333166.511183.25 …
43221614410886.4
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？
解：考虑灭火速度 与火势 有关，可知火势 越大，灭火速度 将减小，我们作如下假设: ，
分母 而加的.
总费用函数
最优解为
5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本 随时间增长，设 ， .又设单位时间的销售量为 .今将销售期分为 两段，每段的价格固定，记作 .求 的最优值，使销售期的总利润最大.如果要求销售期T的总售量为 ，再求 的最优值.
解：由题意可得贮存量 的图形如下：
贮存费为
又
, 贮存费变为
于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间）为
.
, 得
易得函数 取得最小值，即最优周期为：
. 相当于不考虑生产的情况.
. 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.
第三章2（2008年10月16日）
3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.
此方法的分配结果为：
此方法的道理是：记 和 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）. 是每席位代表的人数，取 从而得到的 中选较大者，可使对所有的 尽量接近.
再考虑 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：
宿舍
（1） （2） （3）
（1） （2） （3）
A
B
C
3 2 2
3 3 3
4 5 5
4 4 3
5 5 5
6 6 7
总计
10 10 10
15 15 15
2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.
解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑 到 时间录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 两边积分，得
《数学模型》作业解答
解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S
则此问题的数学模型为：
max S=20x+30y
s.t.
这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解
可行域为：由直线 ：x+2y=20, :5x+4y＝70
y
以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.
直线 ：20x+30y=c在可行域
平行移动.
易知：当 过 与 的交点时， x
《数学模型》作业答案
第二章(1)（2012年12月21日）
1．学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数部分较大者;
（2）. §1中的Q值方法；
解：按分段价格，单位时间的销售量为
又 .于是总利润为
=
=
, 得到最优价格为:
在销售期T的总销量为
于是得到如下极值问题：
利用拉格朗日乘数法，解得：
即为 的最优值.
第三章3（2008年10月21日）
6.某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？
令 ， 解得
由 ， 得
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．
对于允许缺货模型，每天平均费用为：
令 ， 得到驻点：
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．
2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数 ，销售速率为常数 ， ．在每个生产周期Ｔ，开始的一段时间 一边生产一边销售，后来的一段时间 只销售不生产，画出贮存量 的图形.设每次生产准备费为 ，单位时间每件产品贮存费为 ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论 和 的情况.
如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.
解：先考虑N=10的分配方案，
方法一（按比例分配）
分配结果为：
方法二（Q值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
第10个席位：计算Q值为
最大，第10个席位应给C.分配结果为
方法三（d’Hondt方法）
解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为 , ,所获利润为 则问题的数学模型可表示为
这是一个整线性规划问题.
用图解法求解.
可行域为：由直线
S取最大值.
由 解得
此时 ＝20 ＝350（元）
2.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
货物
体积
（立方米/箱）
重量
（百斤/箱）
利润
（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.
1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
解：设购买单位重量货物的费用为 ,其它假设及符号约定同课本．
对于不允许缺货模型，每天平均费用为：
解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费 ＝2500（元）;
每天每吨角钢的贮存费 ＝0.18（元）.又现在的订货周期T ＝30（天）
根据不允许缺货的贮存模型：
得：
令 ，解得：
由实际意义知：当 （即订货周期为 ）时，总费用将最小.
又 ＝300＋100k
=353．33＋100k
－ ＝（353.33＋100k）－（300＋100k） ＝53．33.
故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T = ，能节约费用约53．33元.
《数学模型》作业解答
第四章（2008年10月28日）
1.某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用 原料1千克, 原料5千克；一件乙产品用 原料2千克, 原料4千克.现有 原料20千克, 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？
（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：
1 2 3 4 5
A
B
C
235117.578.3 58.75 …
333166.511183.25 …
43221614410886.4
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？
解：考虑灭火速度 与火势 有关，可知火势 越大，灭火速度 将减小，我们作如下假设: ，
分母 而加的.
总费用函数
最优解为
5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本 随时间增长，设 ， .又设单位时间的销售量为 .今将销售期分为 两段，每段的价格固定，记作 .求 的最优值，使销售期的总利润最大.如果要求销售期T的总售量为 ，再求 的最优值.
解：由题意可得贮存量 的图形如下：
贮存费为
又
, 贮存费变为
于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间）为
.
, 得
易得函数 取得最小值，即最优周期为：
. 相当于不考虑生产的情况.
. 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.
第三章2（2008年10月16日）
3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.
此方法的分配结果为：
此方法的道理是：记 和 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）. 是每席位代表的人数，取 从而得到的 中选较大者，可使对所有的 尽量接近.
再考虑 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：
宿舍
（1） （2） （3）
（1） （2） （3）
A
B
C
3 2 2
3 3 3
4 5 5
4 4 3
5 5 5
6 6 7
总计
10 10 10
15 15 15
2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.
解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑 到 时间录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 两边积分，得
《数学模型》作业解答
解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S
则此问题的数学模型为：
max S=20x+30y
s.t.
这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解
可行域为：由直线 ：x+2y=20, :5x+4y＝70
y
以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.
直线 ：20x+30y=c在可行域
平行移动.
易知：当 过 与 的交点时， x
《数学模型》作业答案
第二章(1)（2012年12月21日）
1．学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数部分较大者;
（2）. §1中的Q值方法；
解：按分段价格，单位时间的销售量为
又 .于是总利润为
=
=
, 得到最优价格为:
在销售期T的总销量为
于是得到如下极值问题：
利用拉格朗日乘数法，解得：
即为 的最优值.
第三章3（2008年10月21日）
6.某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？
令 ， 解得
由 ， 得
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．
对于允许缺货模型，每天平均费用为：
令 ， 得到驻点：
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．
2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数 ，销售速率为常数 ， ．在每个生产周期Ｔ，开始的一段时间 一边生产一边销售，后来的一段时间 只销售不生产，画出贮存量 的图形.设每次生产准备费为 ，单位时间每件产品贮存费为 ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论 和 的情况.
如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.
解：先考虑N=10的分配方案，
方法一（按比例分配）
分配结果为：
方法二（Q值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
第10个席位：计算Q值为
最大，第10个席位应给C.分配结果为
方法三（d’Hondt方法）
解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为 , ,所获利润为 则问题的数学模型可表示为
这是一个整线性规划问题.
用图解法求解.
可行域为：由直线
S取最大值.
由 解得
此时 ＝20 ＝350（元）
2.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
货物
体积
（立方米/箱）
重量
（百斤/箱）
利润
（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.