材料力学 杆件的变形计算(专业技术)

40 3 10 3 1000 0.277 mm 10 10 3 25000
第四章 杆件的变形计算
第一节 拉（压）杆的轴向变形
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横 向变形相应变细或变粗
1、杆的纵向总变形：
dL L1 L
ab cd
x
L
2、线应变：
P
单位长度的线变形
a´ c´
b´ d´
P
x dx
L1
3、平均线应变：
dL L1 L
L
L
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4、x点处的纵向线应变： lim dx
是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般
认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通 常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于 力和变形成正比关系的记载。
东汉经学家郑玄(127—200)对《考工记·弓人》中“量其力， 有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛 其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图)
必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以
一条 绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三 尺。其中 “两萧” 就是指弓的两端。 胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一 个意思。您比我早1500 中就记录下这种正比关系，的确了不起， 真是令人佩服之至』我在1686 年《关于中国文字和语言的研究 和推测》一文中早就推崇过贵国的古代文化：“目前我们还只
x0 x
5、杆的横向变形：
ac ac ac
6、x点处的横向线应变：
ac
ac
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二、拉压杆的弹性定律
1、等内力拉压杆的弹性定律
P
P
2、变内力拉压杆的弹性定律
dL PL A
dL PL NL EA EA
NN（(xx)） dx
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。
(dx) N ( x)dx EA( x)
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例4-3 节点位移问题
如图所示桁架，钢杆AC的横截面面积A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa。木杆BC的横截面面积A2=25000mm2，长1m，弹性模 量E2=10GPa。求铰接点C的位移。F = 80 kN。
A
1m
F
B
30o
C
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分析
A
B
通过节点C的受力分析可以判断AC 杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而 F BC杆将缩短。
是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认 识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般
地加以描述的知识王国”高。级教学
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例题4-1：
如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2， BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa， 求该杆的总伸长量。
x
dL L (dx) L
N ( x)dx EA( x)
内力在n段中分别为常量时
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dL n Ni Li
i1 Ei Ai
3
3、单向应力状态下的弹性定律
(dx) 1 N ( x) 1
dx E A( x) E
4、泊松比（或横向变形系数）
即: 1
E
或 :
泊松比ν 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数， 可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存 在着下面的关系
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胡：请问，“ 弛其弦，以绳缓援之” 是什么意思 ?
郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓 的两端，然后加重物，测量。
胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。
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郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说： 郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。
C
C2
C1
因此，C节点变形后将位于C3点
C3 C0
由于材料力学中的小变形假设，可
以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替 圆弧（以切代弧法），得到交点C0
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[解]
1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预
A
先设为拉力）
F
B
30oC2
C
C1
y
FAC
F
30
FBC
C x
FAC sin 30 F 0 FAC 2F 80kN 拉 伸长
G E
2(1 )
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公式的适用条件
l FNl EA
1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律
2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均应 为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计
算或积分计算。
A(x)
F l
x
F1
F2
F
l1
l2
F3 l3
l FNdx l EA(x)
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l n FNili i1 EAi 5
40kN A
60kN B
20kN C
400
400
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40kN A
60kN B
20kN
C
1）求出轴力，并画出轴力图
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x l l AB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EAAB
40 10 3 400 200 10 3 800
0.1mm
伸长
lBC
FBC FAC cos30 0 FBC 40 3kN 压 缩短
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[解]
2）求AC和BC杆分别的变形量
A
F
l AC
CC1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
FACl AC E1 A1
B
30oC2
C
C1
80
10 3 200
1000 / cos30 10 3 960
0.481mm
l BC
CC2
FBC lBC E2 A2
FNBC l BC EABC
20103 400 0.167mm
200103 240
缩短
l lAB lBC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
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例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
= 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 σ (b) 螺栓的横向变形△d
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解：1) 求横截面正应力 l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
2) 螺栓横向变形
' 2.22 104 d ' di 0.0034 mm
螺栓直径缩小 0.0034 mm
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l = 54 mm ，di = 15.3 mm， E＝200 GPa， = 0.3， △l ＝0.04 mm