第六章 近独立粒子的最概然分布(2014)

0 0 0 0 1 1
简并度: 6
2 2 2 2 mL
2 2
2 2 nx ny nz2 2
简并度: 12
28
在宏观大小的容器内运动,动量值和能量值近似连续。

L很大，级差很小。
因此可以对下式取微分：
0
在 L
2 px nx , L L dnx dp x 2
N1
N
电子源
1, 2N N1 2
双缝
接收屏
N2
一个电子是否确定从某一个缝通过？或者同时从两个缝通过？ 观察的干扰——干涉图的消失
20
一、自旋
电子质量
Ｂ
m，电荷 e
z
Sz
自旋磁矩与自旋角动量之比为：
Sz μ z

e S m
μz
自旋角动量在外磁场的投影有两个可能值： S z 因此描叙粒子的自旋状态只要一个量子数
Px
Px sin P x
xPx P h
微观粒子的量子态根据不确定关系在酉空间中不可能是一 个点，而是一个范围。
量子态
量子力学中，微观粒子的状态称为量子态。由一组量 子数表征。这组量子数的数目等于粒子的自由度数。
19
德布罗意波是概率波——不确定性与概率
电子的双缝干 涉
的空间范围内
在 p x p x dp x 的动量范围内
粒子 p x 的取值可能的数目为：
L dnx dp x 2
29
p y p y dp y
同理：
pz pz dpz
在体积
V L3
L dn y dp y 2 L dnz dp z 2
的空间范围内：
在
第六章 近独立粒子的最概然分布
近独立粒子：粒子之间相互作用微弱 最概然：最可几，或者说最为可能 粒子分布：粒子按照各种可能的力学运动状态的分布 统计物理学： 物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现， 宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。
为什么要把统计的方法引入物理学？
1
分布与统计
2
如何求平均成绩？ 假如把X看成是一系 列分裂的值：
n n n 1
2 x 2 y 2 z
27
能级 量子态
一个能级的量子状态一般不止一个，所谓“简并”的，如 果只有一个量子态，则是非简并的。
2 1 1 2 mL
2 2
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n n n 1
2 x 2 y 2 z
该能级可能的量子态：
1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
质点
1 2 2 2 y z ) m( x 2
采用球极坐标表示：
m
z
o x
r
在直角坐标系中：
A

y
x r sin cos z r cos y r sin sin 1 2 2 2 2 2 2 r r sin ) m( r 2
xpx yp y zpz h
三维自由粒子在μ空间体积
3
Vdpx dp y dp内的量子态数： z
dnx dn y dnz
Vdpx dp y dp z h
3
自由度r的粒子在2r维的空间的相格大小：
q1 qr p1 pr h
r维自由粒子的量子态数：
r
r
L dp1dp2 ...dpr dn1dn2 ...dnr r h
能量的可能值：
nx 0,1,2,
n y 0,1,2,
2 pz nz , L
nz 0,1,2,
1 2 2 2 2 2 2 2 px p y pz nx n y nz 2 2m mL


2 2


26
粒子的运动状态由三个量子数表征：

z
pz
y
x
广义坐标空间
px
广义动量空间
py
8
一、自由粒子
自由粒子：不受外力作用，作自由运动的粒子。
（一）一维自由粒子：
p
px
x px
为直角坐标
二维的 经典力学：

空间
o
x
px
L x
粒子坐标 粒子动量
9
px
（二）三维自由粒子： 粒子的自由度为3 广义坐标： 相应的动量：
4
分布函数可能具有更为复杂的形式：
5
§6.1 粒子运动状态的经典描述
粒子的运动状态（力学运动状态）的描述:
经典描述：粒子运动遵从经典力学 量子描述：粒子运动遵从量子力学 经典理论在一定的极限条件下适用
6
空间
设粒子的自由度为 个广义坐标 q1 , q2 , qr r 其力学运动状态由 描述 r 个广义动量 p1, p2 , pr
r
2r 个变量建立正交坐标系 构成一个 2 r 维空间，称为 空间 粒子的能量 q , , q ；p , , p 1 r 1 r
共
7
粒子在某一时刻的力学运动状态可用该空间的一点表示
(q1 ,..., qr ; p1 ,..., pr )
当粒子的运动状态随时间发生改变时相应地在 空间描画出一条轨道。
px
在坐标空间体积V 动量空间厚度为dp的球壳
4p dp
2
内的相空间范围内可能的状态数：
4V 2 p dp 3 h
34
2V 32 12 上式化为： 2m d 3 h 在体积 V 内，在 到 d 的能量范围内，自
由粒子可能的状态数为：
p 2m p d dp m m dp d 2m
px px dpx p y p y dp y pz pz dpz
3
的动量范围内：
自由粒子可能的量子态数为：
V L dnx dn y dnz dp x dp y dp z 3 dp x dp y dp z 30 h 2
五，从量子力学出发——相格
13
对于转子：
r 不变，自由度 2
1 2 2 2 2 2 ) m(r r sin 2 广义坐标： , 构成四维 2 p mr
广义动量： （角动量）

p mr sin
2 2

空间
1 1 2 2 ( p 2 p ) 2I sin
f x
x
xf x f x
0 0 750
750
x
假如把X看成是连续的： 假如令: x 那么：
x x x dx

f x 或者： x f x dx f x
或者： x
f x
x
750
0 0
xf x dx f x dx
能量的量子化 普朗克——黑体辐射——能量子 普朗克假设黑体以 h 为能量单位不连续的发射或吸收 频率为 的辐射，得到和实验相符合的黑体辐射公式。 波动的粒子性 爱因斯坦——光电效应——光量子（光子） 康普顿效应——X射线经电子散射波长随散射角增大而增大， 经典电动力学不能解释。如果看成光子与粒子碰撞则很容易 解释——光具有粒子性。 粒子的波动性 电子衍射实验——电子具有波动性。
nx 0,1,2,
2 nx , 一维自由粒子： p x L
L x
nx 0,1,2, nx 0,1,2,
25
p 2 n nx , 2m m L
2 x 2 2 2 x 2
三维自由粒子（在边长为 L 的立方体内）：
2 px nx , L 2 py ny , L
2
S z ms
e ms B m
ms
自旋角动量量子数
ms 取两个分立的值 1 2
21
基本粒子中，自旋量子数为半整数的有：
电子 、 质子 、中子 等。
自旋量子数为整数的有： 光子、
介子 等
22
二、线形谐振子
圆频率：

n2
n3

1 能量为： n n 2 描叙线型谐振子状 n 0,1,2,
16
微观粒子波粒二象性： 自由粒子
德布罗意波：
能量 动量

p

平面波 圆频率 波矢

k
德布罗意关系： 其中：
hv
h 2
2 k n

h 6.626 10 J s 34 1.055 10 J s
17
p k h p
2
l (l 1) 能级 l 2I 的量子态数： 2l 1
简并度：
z
2l 1
24
描述转子的运动状态需要两个量子数： l、m
四、自由粒子
一维自由粒子，采用周期性边界条件，可能的 德布罗意波波长的整数倍等于容器的长度 ：
L nx ,
2 kx nx , L
nx 0,1,2,
内自由粒子可能的状态数：
Vp sin dpdd 3 h
2
33
体积
动量大小
V
p p dp 2 4V 2 Vp dp 2 p dp d sin d 3 3 0 0 h h
pz
另一种算法： 动量空间球体积
内自由粒子可能的状态数：
dp
py
4 3 p 3
取微分即为动量空间球壳体积
线形谐振子的能量是：
A m
p A 2 p 1 2 2 x m x 2m 2 2m 2
p x 1 2 2m 2 / m
11
2
2
2
线形谐振子在 空间描 画出一条椭圆轨道：

p
q
两个半轴为:
2m ,
2 m
2
p
q
经典力学：振子能量可取任何正值，轨道连续分布
12
三，转子
750
x x
3
假如存在一个物理量B是x的函数，那么同样的道理：
B x f x B f x
或者：
Bx f x dx B f x dx
B Bx x dx
B Bx x
统计物理的关键是寻找分布函数或者概率分布函数
32
采用球极坐标：
pz


dp
p x p sin cos p y p sin sin p z p cos
动量空间体积元：
p
pd
py
p sin d
p sin dpdd
2
px
体积 动量大小 动量方向
V
p p dp d d
考虑一个处于 维 空间的粒子的量子态，根据不确定关 系，它不应该是一个点，而是一个范围——相格：
2
qp h
在空间体积Ldp内粒 子可能的量子态数：
p
dp
o
h
L q
Ldp h
μ空间某体积内可能的量子态数等于该μ空间体积除以相格大小
相格：一个量子态的所占相体积大小
31
三维自由粒子在 6 维μ空间一个量子态所占体积（相格）：
nx , n y , nz
在微观大小范围内运动，动量值和能量值分立显 著（ L 较小）:
2 2 2 2 nx n y nz 2 mL
2 2


2 y
2 能级差 2 mL
2 x 2 y 2 z
2 2

2
1
0
能级由 n n n 决定。
n n n 2
2 x 2 z
I mr
2
14
无外力作用，角动量守恒
选择
z 轴和

2 2 p
M 平行
p 0
2
M rp
z

M 2I 2I
r
x
A
y
经典力学：能量可取任何正值。 双原子分子绕质心旋转， 用约化质量代替即可。
m1m2 m1 m2
15
§6.2 粒子运动状态的量子描述
态只要一个量子数： 分裂的能级结构，相 邻两能级的能量差：
q
n 1 n0
p
q

零点能
1 n 0 0 2
23
M 三，转子 2I 2 2 l 0,1,2, M l (l 1)
2
能量量子化
对于给定的 l ，角动量在其本征方向上的投影：
M z m
m 0,1,2, l 空间量子化
x, y, z
空间
, p y my , pz mz px mx
1 2 2 2 px p y pz 2m
构成 6 维的
能量（动能）为：


10
经典力学中粒子的能量和动量可连续取值。
二、线性谐振子
粒子质量为
m， 受弹性力 f Ax 作用

2
在原点附近作简谐振动:
34
海森伯不确定性原理
波粒二象性的直接结果之一是微观粒子不可能同时具有确 定的动量和确定的坐标。
量子力学允许的最精确的描述： 电子衍射实验：
qp h
a sin k
大部分电子都落在一阶暗条纹之内
sin

a


电子坐标的不确定度
x x a
18
电子X方向动量的不确定度