平面向量应用举例(教学案)
高中数学教案《平面向量及其应用》
教学设计：《平面向量及其应用》一、教学目标1.知识与技能：使学生理解平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法（有向线段、坐标表示）、向量的模、方向角等；掌握向量的加法、减法、数乘及数量积的运算法则和几何意义；能运用向量知识解决简单的几何与物理问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力；引导学生运用数形结合的思想，理解向量运算的几何背景，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；通过团队合作解决问题，增强学生的沟通能力和团队协作能力。
二、教学重点和难点●重点：平面向量的基本概念、向量的基本运算（加法、减法、数乘、数量积）及其几何意义。
●难点：理解向量数量积的概念、性质及其在解决实际问题中的应用；向量运算的坐标表示法及其应用。
三、教学过程1.导入新课o情境创设：通过展示风力发电机叶片的运动、航海中的航向与速度变化等实例，引出向量的概念，说明向量在现实生活中的应用价值。
o问题引入：提问学生如何描述这些运动中的方向和大小，引导学生思考向量的必要性。
o概念引入：正式给出平面向量的定义，强调其作为“有方向的量”的特性。
2.新知讲授o基本概念讲解：详细解释向量的表示方法（有向线段、坐标表示）、模长、方向角等概念，并通过图示加深理解。
o向量运算教学：●加法与减法：通过“平行四边形法则”和“三角形法则”演示向量的加法与减法，强调其几何意义。
●数乘：讲解数乘的定义，通过伸缩变换的直观演示，理解数乘对向量方向和大小的影响。
●数量积：引入数量积的概念，通过投影长度的计算，讲解其计算公式和性质，强调其在度量角度、判断方向等方面的应用。
3.例题解析o选取典型例题，覆盖向量运算的所有类型，逐步引导学生分析、解题，重点讲解解题思路和方法。
o强调解题过程中向量运算的几何背景，促进学生数形结合思维的发展。
4.学生活动o小组讨论：分组讨论向量在日常生活或专业领域的应用实例，每组选代表分享，增强课堂互动性。
平面向量应用教案
平面向量应用教案一、引言平面向量是数学中的重要概念之一，它在解决各种几何和物理问题中有着广泛的应用。
本教案将介绍平面向量在几何和物理中的具体应用，帮助学生更好地理解和掌握平面向量的使用方法。
二、平面向量的表示与性质1. 平面向量的表示方法平面上的向量可以使用有序数对或者坐标表示。
例如，向量AB可以表示为➡️ AB 或者 (x, y)。
其中，向量的起点为A，终点为B。
向量的模长可以通过勾股定理计算得到。
2. 平面向量的性质平面向量具有位移性、共线性和反箭头性质等基本性质。
在计算中，我们可以通过向量加法、数乘和平移等运算来处理各种向量问题。
三、平面向量的应用1. 几何应用1.1 平行四边形的性质平行四边形的两条对角线互相平分，即向量AC = -向量BD，向量AD = -向量BC。
这个性质在解决平行四边形相关问题时非常有用。
1.2 向量和三角形面积三角形ABC的面积可以通过向量积的大小来计算，即S△ABC =1/2 |AB × AC|。
这个公式对于求解三角形面积问题非常方便。
2. 物理应用2.1 力的合成与分解力的合成是指将多个力的作用效果等效为一个力的过程。
我们可以利用平面向量的加法来求解力的合成问题。
而力的分解是指将一个力拆解为多个分力的过程，这可以通过平面向量的减法来实现。
2.2 力的平衡与不平衡多个力在平面上的合力为零时，称为力的平衡。
我们可以使用平面向量的加法和减法来求解力的平衡问题。
相反，当多个力在平面上的合力不为零时，称为力的不平衡。
这种情况下，平面向量的合力将导致物体加速度的出现。
四、案例分析通过以下案例，我们来具体应用平面向量解决几何和物理问题。
案例1：求解平行四边形的对角线交点坐标。
已知平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-2, 1)，B(1, 3)，C(4, 1)和D(1, -1)，求对角线AC和BD的交点坐标。
解析：向量AC = (4, 1) - (-2, 1) = (6, 0)向量BD = (1, -1) - (1, 3) = (0, -4)由于对角线互相平分，所以交点坐标为平行四边形对角线的中点。
高中数学平面向量优秀教案
高中数学平面向量优秀教案
教学内容：平面向量
教学目标：学生能够掌握平面向量的概念，运用向量进行计算，并解决相关问题。
教学重点：向量的基本概念、向量的加减法、向量的数量积、向量的夹角等。
教学难点：向量的叉乘、向量的投影、向量的几何应用等。
教学准备：教案、幻灯片、黑板、彩色粉笔、教学实物等。
教学步骤：
1.导入：通过引入日常生活中的例子，引出向量的概念。
通过图示向学生展示平面向量的
定义和表示方法。
2.向量的表示：通过具体的例子，向学生展示向量的表示方法，包括向量的起点、终点、
模长和方向。
3.向量的加减法：通过具体的例子，向学生介绍向量的加减法，包括平行向量和共线向量
的相加、相减及其性质。
4.向量的数量积：引入向量的数量积的概念，通过具体的例子，向学生介绍数量积的定义
和性质，并进行相关计算。
5.向量的夹角：引入向量的夹角的概念，通过具体的例子，向学生介绍向量的夹角的定义、计算及其性质。
6.课堂练习：设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
7.课堂总结：对本节课的内容进行总结，概括向量的基本概念、运算规律及其应用，鼓励
学生多做题多练习，加深对向量的理解。
课后作业：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
教学反思：在教学过程中，要注重引导学生探究，激发学生的学习兴趣，同时要及时调整
教学方法，帮助学生克服学习难点，提高学习效果。
以上是针对高中数学平面向量的一份优秀教案范本，希望对您有所帮助。
平面向量应用教案
平面向量应用教案教案标题：平面向量应用教案教案目标：1. 理解平面向量的概念及其基本性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算规则；3. 能够应用平面向量解决实际问题；4. 培养学生的分析和解决问题的能力。
教案步骤：I. 导入（5分钟）A. 激发学生对平面向量的兴趣，引入平面向量的概念和应用；B. 提出一个简单的问题，例如：给出两个平面向量A和B，求它们的和向量与差向量。
II. 知识讲授（15分钟）A. 讲解平面向量的定义和表示方法，包括向量的模、方向、标志等；B. 阐述平面向量的加法、减法和数量乘法运算规则；C. 介绍平面向量的基本性质，例如交换律、结合律等。
III. 基本应用（20分钟）A. 通过实例演示平面向量的加法和减法运算；B. 引导学生进行基本练习，巩固加法和减法的应用能力；C. 通过解决实际问题，如平面位移、速度和力的合成等，让学生体会平面向量在物理问题中的应用。
IV. 深化应用（25分钟）A. 设计更复杂的问题，引导学生思考如何利用平面向量解决；B. 分组合作，让学生使用平面向量解决具体问题，如推导三角形中的角平分线等；C. 学生展示解题过程并互相评价，加强对平面向量应用的理解和掌握。
V. 总结与拓展（10分钟）A. 总结平面向量的基本概念和运算法则；B. 给学生提供一些拓展性问题，鼓励他们独立思考和探索更多的平面向量应用。
VI. 作业布置（5分钟）A. 布置一些练习题，巩固平面向量的应用能力；B. 鼓励学生在日常生活中寻找更多与平面向量相关的实际问题，并尝试解决。
教学辅助工具：- 平面向量的定义和示意图；- 教学课件，包括运算规则和实际问题的解决过程；- 学生练习册和教辅材料。
教学评估：1. 在知识讲授环节，观察学生对平面向量的基本概念和运算规则的理解程度，及时纠正和解答疑惑；2. 在基本应用和深化应用环节中，观察学生解决问题的思路和方法，以及解答问题的准确性和完整性；3. 综合考察学生在作业布置中的应用能力和创新思维。
平面向量的数量积及向量的应用教案
平面向量的数量积及向量的应用教案第一章：平面向量简介1.1 向量的概念解释向量的定义：具有大小和方向的量向量表示方法：用箭头表示，箭头长度表示大小，箭头方向表示方向1.2 向量的图形表示绘制向量的方法：在坐标平面上，用箭头表示向量，箭头起点表示向量的起点，箭头终点表示向量的终点1.3 向量的性质向量的大小：向量的长度，称为模向量的方向：向量的起点指向终点的线段第二章：向量的坐标表示2.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和表示方法二维坐标系和三维坐标系的表示方法2.2 向量的坐标表示二维向量的坐标表示方法：用有序数对表示向量的起点和终点坐标三维向量的坐标表示方法：用有序数对表示向量的起点和终点坐标2.3 向量的坐标运算向量的加法运算：对应坐标相加向量的减法运算：对应坐标相减第三章：向量的数量积3.1 向量数量积的定义介绍向量数量积的定义和表示方法向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ3.2 向量数量积的性质交换律：a·b = b·a分配律：a·(b+c) = a·b + a·c标量倍数：k·a = a·k（k为标量）3.3 向量数量积的应用判断两个向量的夹角：cosθ= (a·b) / (|a||b|)计算向量的长度：|a| = √(a·a)第四章：向量的线性相关与线性无关4.1 向量线性相关的定义介绍向量线性相关的定义和表示方法向量线性相关：存在不全为零的标量倍数，使得一组向量相加等于零向量4.2 向量线性无关的定义介绍向量线性无关的定义和表示方法向量线性无关：不存在不全为零的标量倍数，使得一组向量相加等于零向量4.3 向量组的秩介绍向量组的秩的定义和表示方法秩的计算方法：将向量组转化为行阶梯形式，行阶梯形式的行数即为秩第五章：向量的应用5.1 向量在几何中的应用向量的几何表示：向量可以表示为起点到终点的有向线段向量的几何运算：向量的加法、减法、数乘运算5.2 向量在物理中的应用向量在物理学中的表示：速度、加速度、力等物理量都可以用向量表示向量的物理运算：速度的合成与分解、力的合成与分解等5.3 向量在其他领域的应用向量在计算机科学中的应用：图形学中的向量运算、计算机图形处理中的向量计算等向量在工程学中的应用：结构力学中的向量运算、电路分析中的向量计算等平面向量的数量积及向量的应用教案第六章：向量的线性组合与基底6.1 向量的线性组合介绍向量的线性组合的定义和表示方法向量线性组合的运算规则：标量倍数与向量的乘积6.2 基底的概念介绍基底的概念和表示方法基底的选取：线性无关的向量组可以作为基底6.3 向量在基底下的表示向量用基底表示的方法：将向量表示为基底的线性组合向量的坐标：向量在基底下的坐标表示第七章：向量的投影7.1 向量的投影概念介绍向量投影的定义和表示方法向量的正交投影和斜投影7.2 向量的正交投影向量的正交投影的计算方法：将向量垂直投影到另一向量上正交投影的性质：投影长度与投影方向无关7.3 向量的斜投影向量的斜投影的计算方法：将向量沿着非垂直方向投影到另一向量上斜投影的性质：投影长度与投影方向有关第八章：向量的夹角与余弦定理8.1 向量的夹角介绍向量夹角的定义和表示方法向量夹角的计算公式：cosθ= (a·b) / (|a||b|)8.2 余弦定理的应用介绍余弦定理的定义和表示方法余弦定理在三角形中的应用：计算三角形的边长和角度8.3 向量的夹角与余弦定理的关系向量的夹角与余弦定理的关系：夹角的大小与余弦值有关第九章：向量的模与应用9.1 向量的模介绍向量模的定义和表示方法向量模的计算公式：|a| = √(a·a)9.2 向量的模的应用向量模的几何意义：向量长度的表示向量的模在物理中的应用：计算速度、加速度等物理量的模9.3 向量的模的运算向量的模的运算规则：标量倍数与向量的模的乘积第十章：向量的运算律10.1 向量的运算律介绍向量的运算律的定义和表示方法向量的加法运算律、减法运算律、数乘运算律10.2 向量的运算律的应用向量的运算律在计算向量运算时的应用：简化计算过程向量的运算律在几何中的应用：计算向量间的夹角、距离等重点和难点解析：1. 向量的概念与图形表示：向量作为具有大小和方向的量，其图形表示方法在二维和三维坐标系中的绘制是教学的重点。
平面向量教案3篇
平面向量教案3篇平面向量教案1一、教学目标：1. 理解平面向量的定义及相关术语；2. 掌握平面向量的基础运算和性质，如向量的加、减、数乘、模长等；3. 能够利用向量解决几何、三角学以及力学等问题。
二、教学重难点：教学重点：向量的基础运算和性质；教学难点：向量问题的解答。
三、教学方法：讲述法、举例法、实验法。
四、教学过程：1. 前置知识概括为了有利于学生对本次课程的学习，首先需要对平面向量有一定的了解。
向量是运用在三角学以及计算机科学中的一个概念，它表示一个方向和一个大小。
在二维空间中，向量通常用一个有序数对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
然而，在本课程中，我们将会介绍另一种同样重要的表现向量的方式：平面向量。
2. 讲解平面向量的定义及相关术语平面向量即为有向线段，表示为 $\vec{a}$，具有大小和方向。
平面向量有以下几个重要的术语：（1）起点：向量 $\vec{a}$ 的起点是线段的始点，表示为 $A$。
（2）终点：向量 $\vec{a}$ 的终点是线段的末点，表示为 $B$。
（3）长度：向量 $\vec{a}$ 的长度等于线段 $AB$ 的长度，可以用$|\vec{a}|$表示。
（4）方向角：向量 $\vec{a}$ 的方向角是向量与$x$轴正方向的夹角，通常用 $\theta$表示。
（5）方向余弦：向量 $\vec{a}$ 的方向余弦分别是向量在$x$和$y$轴上的投影与向量长度的比值，分别用 $\cos\alpha$ 和$\cos\beta$表示。
（6）坐标表示：用有序数对 $(a_x, a_y)$ 表示向量 $\vec{a}$，其中 $a_x$ 和 $a_y$ 分别表示向量在$x$轴和$y$轴上的分量。
3. 讲解向量的基本运算及性质（1）向量的加法：设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为两个向量，它们的和记为 $\vec{a}+\vec{b}$，可通过作一平行四边形得到。
平面向量的应用教案
平面向量的应用教案一、教学目标1. 了解平面向量的概念和性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和乘法运算法则；3. 能够应用平面向量解决简单的几何和物理问题。
二、教学内容1. 平面向量的定义和表示；2. 平面向量的加法和减法；3. 平面向量的数量积和向量积；4. 平面向量在几何和物理问题中的应用。
三、教学过程步骤一：引入1. 通过展示一些与平面向量相关的真实生活例子，引起学生对平面向量的兴趣和好奇心。
2. 引导学生思考并讨论平面向量的定义和表示方法。
步骤二：知识讲解1. 介绍平面向量的定义：一个平面向量是由大小和方向确定的有向线段。
2. 解释平面向量的表示方法：以坐标表示和以向量符号表示。
3. 讲解平面向量的加法和减法运算法则。
步骤三：运算实践1. 给出一些平面向量的具体数值，让学生进行加法和减法运算练。
2. 提供一些几何图形，让学生将其分解为平面向量并进行计算。
步骤四：引入向量积和数量积1. 介绍向量积和数量积的概念和定义。
2. 解释向量积和数量积在几何和物理问题中的应用。
步骤五：应用实例1. 给出一些具体的几何和物理问题，让学生运用平面向量的知识进行求解。
2. 引导学生讨论解题思路，进行实际操作。
四、教学评价1. 在课堂上进行小组讨论和问题解答，检验学生是否理解和掌握了平面向量的相关知识。
2. 布置一些练题和作业，评估学生对平面向量运算的应用能力。
五、教学资源1. 平面向量的教学课件；2. 练题和作业。
六、教学反思以学生为中心，注重综合实践和问题解决能力的培养，通过生动的例子和实际运用让学生更好地理解和应用平面向量的知识。
同时，及时反馈学生的学习情况，帮助他们及时纠正错误和理清思路。
北师大版--2.7平面向量应用举例
2.7平面向量应用举例（2课时）一.教学背景：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等工具，使学生的运算能力和解决实际问题的能力得到进一步发展。
二.教材分析：本节内容包括两部分，第一部分是向量在平面几何问题方面的应用，第二部分是向量在物理方面的应用。
向量在几何中的典型应用，前面有所提及，这里选择两个重要内容，一是距离公式的求法，二是三线共点的常见问题，通过这两个例子，突显出计算长度、夹角度数时的向量优势。
教材列举了两个向量在物理中应用的例子：运动学问题和力学问题。
其中力学问题是一个原汁原味的物理表述和物理解法表述，从而可以清楚地看出向量的直接作用。
教学目标：三.1.知识与技能（1）用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观四、通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生知识迁移的能力、运算能力和解决实际问题的能力.教学重、难点用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.学法与教学用具五、学法：(1)自主性学习法、探究式学习法（2）教学用具:电脑、投影仪.四.教学设想【探究新知】[展示投影]同学们阅读教材P99---102的相关内容思考：1.直线的向量方程是怎么来的？2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P100练习1、2、3题一、向量方法在平面几何中的运用[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。
人教版高中数学必修26.4平面向量的应用 教案
6.4平面向量的应用教学设计证明：如图，因为平面几何问题转化为向问题中的几何元素，将几何与向量的联系，用解：第一步，建立平面D(1,1),P(x,1-x),E(0,1-x),F(x,0)(1,),(,DP x x EF x x ∴=--=DP EF DP EF∴⊥∴⊥(1)(1)DP EF x x x x =---小结：①建立坐标系；②写出用到的点的坐标及向量坐标；③进行坐标运算；④还原为几何问题。
几何问题代数化数形结合思想2、如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解 设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2， ∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12.又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，∴|AC →|＝6，即AC ＝ 6.方法总结：向量在平面几何中常见的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R ，b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))(3)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a |=a 2＝x 2＋y 2(a ＝(x ，y ))或AB ＝|AB →|＝x 1－x 22＋y 1－y 22(A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)) 知识探究（二）：向量在物理中的应用举例下面，我们再来感受下向量在物理中的应用。
平面向量应用举例
2.5 平面向量应用举例一、学习目标设定1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．二、导入情境创设如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N 的灯具，则每根绳子的拉力是多少？三、学习策略分析本节课采用“情境—问题”的课堂教学模式，即在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，强调学生动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、探究等活动中发现并证明基本不等式，并在此过程中逐步提高推理论证能力及数形结合能力。
四、自主学习设计1． 向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 2． 平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法 120o10N相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．五、课时对点练习1．某人先位移向量a ：“向东走3 km ”，接着再位移向量b ：“向北走3 km ”，则a ＋b 表示( )．A ．向东南走3 2 kmB ．向东北走3 2 kmC ．向东南走3 3 kmD ．向东北走3 3 km2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB→＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )．A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定3．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值，最小值分别是( )．A ．4,0B ．16,0C ．2,0D ．16,44．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则 △ABC 为( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形 5．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是______________________________________．六、课堂内容小结平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．七、探究延伸拓展1.以O 为原点，OF 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系.设OF ·FG =1，点F 的坐标为(t ，0)，t ∈［3，+∞)，点G 的坐标为(x 0，y 0).(1)求x 0关于t 的函数x 0=f(x)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并证明你的判断；(2)设△OFG 的面积S=631t ，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点G ，求当|OG |取得最小值时椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，若点P 的坐标为(0，92)，C 、D 是椭圆上的两点，且PC =λPD (λ≠1)，求实数λ的取值范围.2.如图,在平面直角坐标系中,一条定长为m 的线段,其端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动,设点M 满足=λ(λ是不等于1的正常数),试问:是否存在两个定点E 、F,使得|ME |、||、||成等差数列?若存在,求出E 、F 的坐标;若不存在,请说明理由.3. 已知△OPQ的面积为S，且OP·PQ=1，OP=m，S=43m，以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q.(1)当m∈(1，2)时，求|OQ|的最大值，并求出此时的椭圆C方程；(2)在(1)的条件下，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，与椭圆C对应于焦点P的准线相交于D点，且MP=λ1PN，MD=λ2DN请找出λ1、λ2之间的关系，并证明你的结论.。
高中数学平面向量教案(精选6篇)
高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。
会用基底表示平面内任一向量。
2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。
学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。
活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。
因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。
向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。
活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。
平面向量的应用教案
平面向量的应用教案一、引言平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、几何学和工程学等领域。
本教案旨在通过一系列实际问题的分析，帮助学生理解平面向量的概念和应用，并培养他们的问题解决能力和创新思维。
二、教学目标1. 理解平面向量的概念和基本性质；2. 掌握平面向量的表示方法和运算法则；3. 学会运用平面向量解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
三、教学内容1. 平面向量的定义和表示方法1.1 有向线段表示法1.2 坐标表示法2. 平面向量的运算法则2.1 向量的加法和减法2.2 数量乘法和向量乘法3. 平面向量的应用3.1 平衡力问题3.2 速度和位移问题3.3 几何图形的性质四、教学方法1. 示教法：通过举例和解题演示，展示平面向量的应用方法；2. 合作探究法：组织学生进行小组活动，共同解决实际问题；3. 归纳法：梳理和总结平面向量的性质和运算法则。
五、教学过程1. 导入通过呈现一个实际问题或图片，引发学生对平面向量的兴趣，并与他们进行简短的讨论。
例如，一辆汽车在平面上行驶，当遇到一个弯道时，如何通过掌握向量的知识预测汽车的移动轨迹？2. 知识讲解依次介绍平面向量的定义和表示方法，并通过示例详细说明向量的加法、减法和乘法运算法则。
3. 案例分析选择一到两个与实际生活紧密相关的问题，引导学生通过运用平面向量的概念和运算法则来解决问题。
例如，通过给定一个三角形的两个顶点坐标，求解第三个顶点的坐标。
4. 小组活动把学生分成小组，每组给出一个与平面向量相关的问题，并要求他们利用相关知识进行解答。
鼓励学生彼此合作、讨论和相互辅导，培养他们的团队合作和解决问题的能力。
5. 总结归纳通过回顾讲解部分和学生的自主探究结果，总结平面向量的性质和运算法则，并强调它们在实际问题中的应用价值。
6. 练习与拓展布置与平面向量相关的练习题，要求学生运用所学知识解答。
鼓励有能力的学生进一步拓展学习，研究与平面向量相关的其他领域和应用。
平面向量的应用教学案
平面向量的应用教学案本篇文章将介绍平面向量的应用教学案，从实际应用角度出发，结合具体案例和问题，引导学生理解和掌握平面向量的概念、性质以及应用技巧。
通过实际问题的解决，培养学生的问题解决能力和创新思维，提高他们的数学素养和应用能力。
一、教学目标通过本节课的学习，学生应能：1. 了解平面向量的概念及其性质；2. 掌握平面向量的表示方法及其相互关系；3. 学会使用平面向量解决实际问题；4. 培养学生的团队合作、创新思维和问题解决能力。
二、教学内容1. 平面向量的概念和性质a. 平面向量的定义和表示方法；b. 平面向量的相等与相反；c. 平面向量的加法和减法；d. 平面向量的数量积和数量积的性质。
2. 平面向量的应用案例a. 位移向量与平移问题；b. 力的合成与分解问题；c. 向量模型在几何图形中的应用；d. 向量模型在力学问题中的应用。
三、教学过程1. 引入通过一个与学生生活相关的实际问题引入平面向量的概念，如风速、速度等问题，激发学生的兴趣。
2. 概念讲解通过板书、讲解、示意图等方式介绍平面向量的定义、表示方法和性质，注意生动形象地展示，引导学生理解。
3. 理论讲解结合具体示例，逐步讲解平面向量的加法、减法以及数量积的计算方法和性质，引导学生掌握相关技巧和概念。
4. 应用案例分析a. 位移向量与平移问题通过实际问题引导学生分析位移向量与平移问题，如物体的平移、地图的缩放等，让学生运用平面向量解决实际问题。
b. 力的合成与分解问题通过示意图和具体案例，引导学生理解力的合成与分解问题，如物体受力情况的分析、力的平衡问题等，让学生能够应用平面向量解决力学问题。
c. 向量模型在几何图形中的应用通过几何图形的案例，引导学生理解向量模型在几何图形中的运用，如三角形的垂心、内心、外心等问题，培养学生的几何思维能力。
d. 向量模型在力学问题中的应用通过实际力学问题，如斜面上物体的运动问题、绳索受力问题等，引导学生灵活运用平面向量解决力学问题。
平面向量的应用-教案
第3课时平面向量的应用一、向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb三、平面向量基本定理1．定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.四、两向量的夹角1．夹角：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°.(2)当θ＝0°时a与b同向．(3)当θ＝180°时a与b反向．2．垂直：如果a与b的夹角是90°，那么称a与b垂直，记作a⊥b.五、平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则把有序数对(x ，y)叫做向量a 的坐标．(2)向量的坐标表示在向量a 的直角坐标中，x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y)叫做向量的坐标表示．(3)在向量的直角坐标中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 六、平面向量的坐标运算 向量的 加、减法 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)实数与 向量的 积 若a ＝(x ，y)，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标向量的 坐标已知向量AB →的起点A(x 1，y 1)，终点B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即向量终点坐标减去向量起点坐标平面向量共线的坐标表示1．a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线; 2．a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，当且仅当x 1x 2+y 1y 2＝0时，向量a ，b 垂直; 3．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若P 是线段P 1P 2的中点，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.七、向量的数量积的定义1.已知两非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定零向量与任一向量的数量积均为0. 2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念如下图所示：OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ.|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影． (2)数量积的几何意义a ·b 的几何意义是 a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积． 八、向量的数量积的性质和运算律 1．向量的数量积的性质设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角． (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |. 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. (3)a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ＝a 2. (4)cos θ＝a ·b|a ||b |. (5)|a ·b |≤|a ||b |. 2．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．真题回顾1.(2019·全国2·文T3)已知向量a =(2,3),b =(3,2),则|a -b |=( ) A.2 B.2C.25D.50【答案】A【解析】由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=,故选A.2.(2019·全国·1理T7文T8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.所以cos<a,b>=,所以a与b 的夹角为,故选B.3.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )A. B.C. D.【答案】A【解析】如图,=-=-)==)=.4.(2018·北京·理T6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2.∵a,b均为单位向量,∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.∴a·b=0,故a⊥b,反之也成立.故选C.5.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2=2,则的值为()A.-15B.-9C.-6D.0【答案】C【解析】连接MN,∵=2=2,∴=3=3.∴MN∥BC,且,∴=3=3(),∴=3()·=3(-||2)=3=-6.6.(2012·陕西·文T7)设向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于( )A. B. C.0 D.-1【答案】C【解析】∵a⊥b,∴a·b=0,∴-1+2cos2θ=0,即cos 2θ=0.7.(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n＝(sinx，cosx)，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．补充题1.（向量在平面几何中的应用）已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心 答案 C解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．补充题2.（向量的综合应用）已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( )A ．1 B.13 C.14 D.18。
高中数学《平面向量应用举例》教案 新人教A版必修4
课题：§2.5 平面向量应用举例一、预习目标预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。
二、预习内容阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。
另外，在思考一下几个问题：1.例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？2.利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？3．例3中，⑴ 为何值时，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习内容1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.二、学习过程探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）举出几个具有线性运算的几何实例．例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ．求证：222222AC BD AB BC CD DA +=+++．试用几何方法解决这个问题利用向量的方法解决平面几何问题的 “三步曲”？（1） 建立平面几何与向量的联系，（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，（3） 把运算结果“翻译”成几何关系。
变式训练：ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b ==（1）证明A 、O 、E 三点共线；（2）用,.a b 表示向量AO 。
例2，如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些力的问题是怎么回事？例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：⑴θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？⑵|F 1|能等于|G |吗？为什么？例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km)？变式训练：两个粒子A 、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 (4,3),(2,10)A B s s ==，（1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s; (2)计算s 在A s 方向上的投影。
1-7 平面向量的应用举例(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
4.几何法和坐标法
（1）几何法：
①选取适当的基（夹角、模易知），将题中涉及的向量用基表示；
②利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
2
3
2
3
6
2
由
又O为和 的公共点，∴ 点E，O，F在同一直线上.
1
＝ ＝ .
2
高中数学
必修第二册
湖南教育版
3.平面几何中的长度问题
例 3 如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.
求证：AF＝AE.
证明
如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（-1，1），B（0，1）.
（2）计算得出1 2 + 1 2＝0，从而得到⊥ ；
（3）给出几何结论AB⊥CD.
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必修第二册
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跟踪训练
1-1
（1）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（- ）·（+ - 2）＝0，则△ABC为（ B ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
证明：（方法1）∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴ 2|AC|＝ 2|BC|＝|AB|.
1
2
2
3
2
3
2
3
1
3
∵＝- ＝ - ，＝+ ＝+ ＝+ （- ）＝ + ，
平面向量的应用教案
平面向量的应用教案一、引言平面向量是解决平面几何问题的重要工具，广泛应用于各个学科领域。
为了帮助学生更好地理解和应用平面向量，本教案将介绍平面向量的基本概念和性质，并通过具体的例题进行实际运用，以此提高学生的解题能力和应用能力。
二、平面向量的基本概念1. 向量和向量的表示方法平面向量可以用有向线段来表示，其中起点和终点分别表示向量的始点和终点。
向量通常用字母加箭头表示，例如：→AB表示从点A 指向点B的向量。
向量的表示方法还可以通过坐标表示，设向量→AB的始点坐标为(x₁, y₁)，终点坐标为(x₂, y₂)，则向量→AB用坐标表示为(x₂-x₁, x₂-x₁)。
2. 向量的运算平面向量的运算包括加法和数乘两种。
- 向量的加法：设向量→x的终点为B，向量→x的终点为C，则向量→x的终点为C。
向量加法可通过首尾相接或平行四边形法则进行计算。
- 向量的数乘：数乘即将向量的长度进行缩放，设实数k为缩放倍数，则向量→x的数乘为k∙→x，它的长度变为原来的k倍，并且方向不变。
3. 平面向量的性质平面向量有以下几个重要的性质：- 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的大小和方向都相同。
- 零向量：表示长度为0的向量，任何向量与零向量相加都不改变。
- 负向量：设向量→x的终点为B，则向量→x的终点为A，称向量→x为向量→x的负向量，记作−→x。
三、平面向量的应用1. 平面向量与平行四边形平面向量的加法可以用来推导平行四边形的性质和关系。
例题：已知平行四边形ABCD，向量→BA与向量→DC的终点分别为E和F，则向量→E F等于多少？解析：根据平面向量的加法，有：→EF = →EA + →AF = →BA + →DC。
因此，向量→EF等于向量→BA加向量→DC。
2. 平面向量与三角形的面积平面向量的叉乘可以用来计算三角形的面积。
例题：已知三角形ABC，向量→AB和向量→AC的终点分别为D 和E，则三角形ABC的面积等于向量→DE的长度的一半。
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2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教案目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教案重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教案方法1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教案准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教案过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
（设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
） （三）合作探究、精讲点拨。
探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行ABCD 中，设AB ＝a ,AD ＝b ，则AC AB BC a b =+=+（平移），DB AB AD a b =-=-，222||AD b AD ==（长度）．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题。
通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果＂翻译＂成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 已知：平行四边形ABCD ．求证：222222AC BD AB BC CD DA +=+++． 分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到AC AB AD =+， DB AB AD =-，我们计算2||AC 和2||BD ．证明：不妨设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -b ，2||AB =|a |2，2||AD =|b |2．得2||AC AC AC =⋅=( a +b )·( a +b )= a ·a+ a ·b +b ·a+b ·b =|a |2+2a ·b +|b |2． ①同理 2||DB =|a |2-2a ·b +|b |2． ②①+②得 2||AC +2||DB =2(|a |2+|b |2)=2(2||AB +2||AD )． 所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 师：你能用几何方法解决这个问题吗？让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况。
师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系．变式训练：ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b ==（1）证明A 、O 、E 三点共线；（2）用,a b 表示向量AO 。
例2，如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？分析：由于R 、T 是对角线AC 上两点，所以要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需要分别判断AR 、RT 、TC 与AC 之间的关系即可．解：设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ．由AR 与AC 共线，因此。
存在实数m ，使得 AR =m (a +b )． 又 由BR 与BE 共线因此 存在实数n ，使得 BR =n BE = n (12b - a )． 由AR AB BR =+=AB + n BE ，得m (a +b )= a + n (12b - a )． 整理得 (1)m n +-a ＋1()2m n -b ＝0． 由于向量a 、b 不共线，所以有 10102m n m n +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以 13AR AC =． 同理 13TC AC =．于是 13RT AC =．所以 AR ＝RT ＝TC ．说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些问题是为什么？师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系（其中F 为F 1、F 2的合力）,就得到了问题的数学解释．解：不妨设|F 1|=|F 2|， 由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F 1|=||2cos2G θ．通过上面的式子我们发现，当θ由0~180逐渐变大时，2θ由0~90逐渐变大，cos2θ的值由大逐渐变小，因此，|F 1|有小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题： ⑴θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？ ⑵|F 1|能等于|G |吗？为什么？例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km/h ，水流的速度|v 2|=2km/h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）解：||v =2212||||96v v -=(km/h)，所以， 0.560 3.1||96d t v ==⨯≈(min)． 答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的穿必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系侯，本例就容易解决了。
变式训练：两个粒子A 、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(4,3),(2,10)A B s s ==，（1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s 。
(2)计算s 在A s 方向上的投影。
九、板书设计§2.5 平面向量应用举例例⒈ 用向量法解平面几何 例2 变式训练 问题的“三步曲”例3. 例4 变式训练 十、教案反思本小节主要是例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
教案中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。
指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力.十一、学案设计（见下页）2.5平面向量应用举例课前预习学案一、预习目标预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。
二、预习内容阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。
另外，在思考一下几个问题：1. 例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？2. 利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？3． 例3中，⑴θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？⑵|F 1|能等于|G |吗？为什么？ 三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习内容1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解读 几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题. 二、学习过程探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）举出几个具有线性运算的几何实例．例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 已知：平行四边形ABCD ．求证：222222AC BD AB BC CD DA +=+++．试用几何方法解决这个问题利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？ （1） 建立平面几何与向量的联系，（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， （3） 把运算结果“翻译”成几何关系。