信息光学第一章ppt
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a
试证明？
推论：
(x) (x) 偶函数
(ax x0 )
1 (x x0 )
a
a
试证明？
试证明： (ax,by) 1 (x, y)
ab
38
试证明 (ax) 1 (x)
a
证明：对于 ( x)有：
(x)
(
0，x x)dx
函数的性质：
1） 筛选特性：
对任一连续函数 (x), 有：
(x) (x)dx (0) and (x) (x x0)dx (x0)
物理意义：所有的有限函数都可以分解成 函数的
线性组合, 很有现实意义。
36
2 可分离变量特性：
什么是可分离变量？
直角坐标系里，有
(x) lim N sin c(Nx) N
贝塞尔函数
(
x,
y)
lim
N
N
2
exp
N
2p
x2 y2
(x, y) lim N 2 sin c(Nx)sin c(Ny) N
N 2circ(N x2 y2 )
(x, y) lim
N
p
(x, y) lim NJ1(2p N x2 y2 )
N
x2 y2
32
33
34
8 函数
物理意义：描述脉冲状态这样一类物理量，δ函数表示某种极 限状态，可用于描述高度集中的物理量，如：点电荷、点光源、 瞬间光电脉冲等，又称脉冲函数。
焦点处光照度描述 点电荷密度描述
35
h()
h() x/2f() h(x-)
卷积运算的意义：一个函数绕函数轴反转并沿自变量轴做
某一平移后与另一函数的重叠区域的积分。
45
2.卷积的应用
1）卷积运算在线性系统、光学成像理论和傅立叶变换中经 常用到。
2）光学系统具有卷积功能。
x0 线光源
透镜1
狭缝
y0
I0()d
f
f
透镜2
2x
0,
4,
0 2x 4 1 else
f
(2x
4)
2x
0,
4,
3/2 x 2 else
练习：f(x)={
cos(x), |x|p/2 0 其它
求 f (-x/2+p/4)
12
例题：f(x)=rect(x)，将该函数压缩2倍，然后向左平移3，并 以x=1为轴折叠，求最后得到的函数，并画出函数图。
例: f(x)={
x, 0
0<x<1 其它
求 f (-2x+4)
解1： f(-2x+4)= f[-2(x-2)]，包含折叠、压缩、平移
先折叠
再压缩
f(x)
f(-x)
f(-2x)
0 1 x -1 0 x
-1/2 0 x
最后平移
f[-2(x-2)]
0 3/2 x
11
解2： 根据已知条件有
f
(2x
4)
sinc(x) sin(x) x
19
20
3 阶跃函数
定义：
0
step(
x a
)
1 1
2
x a0 x a0 x a0
标准型：
0 x 0 step(x) 1 2 x 0
1 x 0
21
T x
应用：光学直边或刀口的透过率
22
4 符号函数
定义：
标准型：
a
39
4 乘积特性
(x) (x x0 ) (x0 ) (x x0 ) 从物理上去怎么理解呢？
当xx0, 由于 (xx0)=0, 所以等式成立。 当x=x0, (x)= (x0), 等式显然成立。
推论：
f (x) (x) f (0) (x)
(x x0 ) (x) 0 (x0 0)
13/ 4 x 11/ 4 else
13
以x=1为轴 折叠
x=-3
-13/4 -11/4
y x=1 1 o
x=5
x
19/4 21/4
rect
10
2x
1 0
19 / 4 x 21/ 4 else
14
光学中几种常用函数
1 矩形函数
定义：一维
rect(
x a
)
1 0
x>0
卷积后信号的非零区域大概为原来两个信号的非零区域之和。 只要两函数非零区域存在重叠，卷积函数就不为零。
49
2)平滑效应：使原来剧烈变化的函数变缓。例如快变函
数f (x)与宽度为a的矩形函数卷积
g(x)
f ( )rect( x )d
xa / 2
f ( )d
a
f ( )h(x )d
f (x x0 ) h(x) f ( x0 )h(x x0 x0 )d
f(x) 1
压缩2倍
f(2x) x=1 1
-1/2 o 1/2 x
-1/4 o 1/4
rect(x)
1 0
x 1/ 2 x 1/ 2
压缩2倍
rect(2x)
1 0
x 向左 平移3
x 1/ 4
x 1/ 4
f(2x+6) y 1
-13/4 -11/4
o
1
x rect(2x 6) 0
获得线光源的 远场衍射图案
yi
xi
f
f
46
x0=处单位强度点光源对应的像强度分布
P( xi
)
sin 2
p
p a(xi )
a(xi ) /
/ f
f 2
像平面上总的光强分布
I (xi )
I0 ( )
sin2 p a(xi ) / f p a(xi ) / f 2
9
常用函数—变型
f(x)
平移
x
倍乘
缩放
折叠 取反
f(x- x0)
f(x/a)
f(-x)
-f(x)
bf(x)
x0 x
x
x
x
平移
比例缩放
折叠
取反
(原点移至x0)
a>1, 在x方向展宽a倍 与f(x)关于y轴 与f(x)关于x轴
a<1, 在x方向压缩a倍
镜像对称
镜像对称
x
倍乘
y方向幅度 变化
10
常用函数变型（例）
r r0 其它
应用：描述圆孔的透过率、二维的门函数.
29
30
31
几种表示 函数的函数序列及其极限形式
函 数 一维
二维
矩形函数
(x) lim Nrect(Nx) N
(x, y) lim N 2rect(Nx)rect(Ny) N
高斯函数
Sinc函数 圆域函数
(x) lim N exp(N 2p x2) N
d
I0 ( )P(xi )d
物理意义：像平面上的光强分布是物的光强分布与单位强度 点光源对应的像强度分布的卷积。
47
卷积的几何意义：置换变量—翻转—平移—相乘—积分
f(x)
f()
置换变量
相乘和积分
f()
h(x- )
h(x) 置换变量 h()
h(-)
反转
平移
h(x- )
信息光学
刘莉
1
要求
❖ 考试课 平时 40% 期末 60% ❖ 授课 32个学时 实验16个学时 ❖ 按时提交作业与实验报告
2
3
4
第一章 傅立叶分析
5
6
7
本章主要内容
常用数学函数
❖ 卷积与相关 ❖ 傅立叶变换性质与定理 ❖ 线性系统分析 ❖ 二维光波场分析
基础数学基础理论
本章的教学目的与要求：
x a/2
其它
应用：单缝透过率、门函数、时间脉冲波形.
标准型：
1 x 1/ 2
rect(x)
0
else
15
y
0
x0
a
x
rect ( x x0 ) a
16
17
18
2 sinc函数 应用：单缝或矩形孔的夫琅和费衍射的振幅分布
强度分布为sinc函数平方
注意归一化和非归一 化的两种表达方法。
(x) (x) 无定义
40
5 积分形式：
(x)
1
cos( x)d 或者
2p
(x)
1
e i x d
2p
物理意义：
函数可以由等振幅的不同频率正弦或余弦波合成，或 者说 函数可以分解成等振幅的不同频率正弦或余弦波。
（傅里叶级数）
41
9 梳状函数（comb function）定义：
1 a
1 a
当a 0时， (ax)dx lim m (ax)dx lim am (ax)d ax
m m
m am
a
( X )d X
a
1 a
1 a
(ax)dx 1
a
(2)
综合(1)、(2)式，得 (ax) 1 ( x)
(x x0 , y y0 ) (x x0 ) ( y y0 )
极坐标系里，有
r (r
ur r0
)
(r r
r0
)
(
0
)
这里
同时
r0
0
x02 arctan
y02
y0
x0
(r0 0)
(0 0 p )
？
37
3 坐标缩放： (ax) 1 (x)
g(x) f (x) h(x) f ( )h(x )d
卷积是关于x的函数，而只是中间的积分变量。
48
卷积的两个效应：
1) 展宽效应：卷积的效果往往是使原函数变胖 （光斑变大， 脉冲变宽）
h(x- ) f()
f() h(x- )
f() h(x- )
x<0
x=0
51
卷积的位移不变性
若 f (x) h(x) g(x)，那么 参与卷积的任一函数在x方向
f (x x0 ) h(x)
上 平 移 x0 ， 其 卷 积 的 形 状 不
f (x) h(x x0 )
变，只是也在x方向上平移x0
g(x x0 )
证明：Q f (x) h(x) g(x) g(x)
xa / 2
原函数f(x)在某点x的值卷积后用某一段(x-a/2, x+a/2) 的积分值来表示, 等价于这段区间的平均值。
50
卷积的运算性质
交换律：f (x) h(x) h(x) f (x) 分配律：[aw(x) bv(x)] h(x) aw(x) h(x) bv(x) h(x) 分配律体现了卷积的线性特性。 结合律：[v(x) w(x)] h(x) v(x) [w(x) h(x)] 可分离变量特性: 如果参与卷积的两个函数是可分离的, 其 二维卷积也是可分离的。（极坐标和直角坐标）
a
x a 1, a 0 else
x
1
0
x
x 1 ,a0
else
应用：矩形光瞳的非相干成像系统光学传递函数。
1
-a
O
a
注意：函数形状非真三角形。
x
24
25
6 高斯函数
定义：
Gauss(
x
)
p
e
(
x a
)2
,
a0
a
标准型：
Gauss(x) ep (x)2
特点：
1 x a0
sgn(
x a
)
0
1
x a0 x a0
1 x0
sgn(
x)
0
x0
1 x 0
应用：与某函数相乘，可使该函数在某点的正负发生反转。 相位突变。
Sgn(x/a)
0
x/a
23
5 三角形函数
定义：
标准型：
x
x a
1 0
comb(x) (x n) n
T
* 各个梳之间等间距；
* 每个梳具有 函数性质。
二维梳状函数的图形是什么？试说明。
42
43
44
第二讲 卷积与相关
一、卷积
1 定义：设f(x)和h(x)是两个复函数，其卷积定义为
g(x) f (x) h(x) f ( )h(x )d
1）函数分布在整个区域连 续、可导。 2）光滑、中心强边缘弱。 3）其傅里叶变换还是高斯 函数。
26
应用：
1）是激光的常见模式：基模高斯分布。
2）光信息处理中的“切趾术”，实 质：软边光栏。
27
T r
28
7 圆域函数 定义：
circ
r r0
circ(
x2 y2 1 r0 ) 0
❖ 本章是课程的基础 ❖ 要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学生在解决光学问题中可应用傅立叶变换性质和定理 ❖ 加深对空间频率、空间频谱概念的理解
8
第一讲 光学中几种常用函数
❖ 介绍它们的定义和性质及其在信息光学中的应用; ❖ 要求掌握它们的定义、基本性质、函数变形; ❖ 主要介绍以下函数： 1. 矩形函数 2. Sinc函数 3. 阶跃函数 4. 符号函数 5. 三角形函数 6. 高斯函数 7. 圆域函数 8. δ函数 9. 梳状函数
0 1
,
显然对于x 0也有
(ax) 0
(1)
而对于 (ax)dx
当a 0时， (ax)dx lim m (ax)dx lim am (ax)d ax
m m
m am
a
( X )d
a
X
试证明？
推论：
(x) (x) 偶函数
(ax x0 )
1 (x x0 )
a
a
试证明？
试证明： (ax,by) 1 (x, y)
ab
38
试证明 (ax) 1 (x)
a
证明：对于 ( x)有：
(x)
(
0，x x)dx
函数的性质：
1） 筛选特性：
对任一连续函数 (x), 有：
(x) (x)dx (0) and (x) (x x0)dx (x0)
物理意义：所有的有限函数都可以分解成 函数的
线性组合, 很有现实意义。
36
2 可分离变量特性：
什么是可分离变量？
直角坐标系里，有
(x) lim N sin c(Nx) N
贝塞尔函数
(
x,
y)
lim
N
N
2
exp
N
2p
x2 y2
(x, y) lim N 2 sin c(Nx)sin c(Ny) N
N 2circ(N x2 y2 )
(x, y) lim
N
p
(x, y) lim NJ1(2p N x2 y2 )
N
x2 y2
32
33
34
8 函数
物理意义：描述脉冲状态这样一类物理量，δ函数表示某种极 限状态，可用于描述高度集中的物理量，如：点电荷、点光源、 瞬间光电脉冲等，又称脉冲函数。
焦点处光照度描述 点电荷密度描述
35
h()
h() x/2f() h(x-)
卷积运算的意义：一个函数绕函数轴反转并沿自变量轴做
某一平移后与另一函数的重叠区域的积分。
45
2.卷积的应用
1）卷积运算在线性系统、光学成像理论和傅立叶变换中经 常用到。
2）光学系统具有卷积功能。
x0 线光源
透镜1
狭缝
y0
I0()d
f
f
透镜2
2x
0,
4,
0 2x 4 1 else
f
(2x
4)
2x
0,
4,
3/2 x 2 else
练习：f(x)={
cos(x), |x|p/2 0 其它
求 f (-x/2+p/4)
12
例题：f(x)=rect(x)，将该函数压缩2倍，然后向左平移3，并 以x=1为轴折叠，求最后得到的函数，并画出函数图。
例: f(x)={
x, 0
0<x<1 其它
求 f (-2x+4)
解1： f(-2x+4)= f[-2(x-2)]，包含折叠、压缩、平移
先折叠
再压缩
f(x)
f(-x)
f(-2x)
0 1 x -1 0 x
-1/2 0 x
最后平移
f[-2(x-2)]
0 3/2 x
11
解2： 根据已知条件有
f
(2x
4)
sinc(x) sin(x) x
19
20
3 阶跃函数
定义：
0
step(
x a
)
1 1
2
x a0 x a0 x a0
标准型：
0 x 0 step(x) 1 2 x 0
1 x 0
21
T x
应用：光学直边或刀口的透过率
22
4 符号函数
定义：
标准型：
a
39
4 乘积特性
(x) (x x0 ) (x0 ) (x x0 ) 从物理上去怎么理解呢？
当xx0, 由于 (xx0)=0, 所以等式成立。 当x=x0, (x)= (x0), 等式显然成立。
推论：
f (x) (x) f (0) (x)
(x x0 ) (x) 0 (x0 0)
13/ 4 x 11/ 4 else
13
以x=1为轴 折叠
x=-3
-13/4 -11/4
y x=1 1 o
x=5
x
19/4 21/4
rect
10
2x
1 0
19 / 4 x 21/ 4 else
14
光学中几种常用函数
1 矩形函数
定义：一维
rect(
x a
)
1 0
x>0
卷积后信号的非零区域大概为原来两个信号的非零区域之和。 只要两函数非零区域存在重叠，卷积函数就不为零。
49
2)平滑效应：使原来剧烈变化的函数变缓。例如快变函
数f (x)与宽度为a的矩形函数卷积
g(x)
f ( )rect( x )d
xa / 2
f ( )d
a
f ( )h(x )d
f (x x0 ) h(x) f ( x0 )h(x x0 x0 )d
f(x) 1
压缩2倍
f(2x) x=1 1
-1/2 o 1/2 x
-1/4 o 1/4
rect(x)
1 0
x 1/ 2 x 1/ 2
压缩2倍
rect(2x)
1 0
x 向左 平移3
x 1/ 4
x 1/ 4
f(2x+6) y 1
-13/4 -11/4
o
1
x rect(2x 6) 0
获得线光源的 远场衍射图案
yi
xi
f
f
46
x0=处单位强度点光源对应的像强度分布
P( xi
)
sin 2
p
p a(xi )
a(xi ) /
/ f
f 2
像平面上总的光强分布
I (xi )
I0 ( )
sin2 p a(xi ) / f p a(xi ) / f 2
9
常用函数—变型
f(x)
平移
x
倍乘
缩放
折叠 取反
f(x- x0)
f(x/a)
f(-x)
-f(x)
bf(x)
x0 x
x
x
x
平移
比例缩放
折叠
取反
(原点移至x0)
a>1, 在x方向展宽a倍 与f(x)关于y轴 与f(x)关于x轴
a<1, 在x方向压缩a倍
镜像对称
镜像对称
x
倍乘
y方向幅度 变化
10
常用函数变型（例）
r r0 其它
应用：描述圆孔的透过率、二维的门函数.
29
30
31
几种表示 函数的函数序列及其极限形式
函 数 一维
二维
矩形函数
(x) lim Nrect(Nx) N
(x, y) lim N 2rect(Nx)rect(Ny) N
高斯函数
Sinc函数 圆域函数
(x) lim N exp(N 2p x2) N
d
I0 ( )P(xi )d
物理意义：像平面上的光强分布是物的光强分布与单位强度 点光源对应的像强度分布的卷积。
47
卷积的几何意义：置换变量—翻转—平移—相乘—积分
f(x)
f()
置换变量
相乘和积分
f()
h(x- )
h(x) 置换变量 h()
h(-)
反转
平移
h(x- )
信息光学
刘莉
1
要求
❖ 考试课 平时 40% 期末 60% ❖ 授课 32个学时 实验16个学时 ❖ 按时提交作业与实验报告
2
3
4
第一章 傅立叶分析
5
6
7
本章主要内容
常用数学函数
❖ 卷积与相关 ❖ 傅立叶变换性质与定理 ❖ 线性系统分析 ❖ 二维光波场分析
基础数学基础理论
本章的教学目的与要求：
x a/2
其它
应用：单缝透过率、门函数、时间脉冲波形.
标准型：
1 x 1/ 2
rect(x)
0
else
15
y
0
x0
a
x
rect ( x x0 ) a
16
17
18
2 sinc函数 应用：单缝或矩形孔的夫琅和费衍射的振幅分布
强度分布为sinc函数平方
注意归一化和非归一 化的两种表达方法。
(x) (x) 无定义
40
5 积分形式：
(x)
1
cos( x)d 或者
2p
(x)
1
e i x d
2p
物理意义：
函数可以由等振幅的不同频率正弦或余弦波合成，或 者说 函数可以分解成等振幅的不同频率正弦或余弦波。
（傅里叶级数）
41
9 梳状函数（comb function）定义：
1 a
1 a
当a 0时， (ax)dx lim m (ax)dx lim am (ax)d ax
m m
m am
a
( X )d X
a
1 a
1 a
(ax)dx 1
a
(2)
综合(1)、(2)式，得 (ax) 1 ( x)
(x x0 , y y0 ) (x x0 ) ( y y0 )
极坐标系里，有
r (r
ur r0
)
(r r
r0
)
(
0
)
这里
同时
r0
0
x02 arctan
y02
y0
x0
(r0 0)
(0 0 p )
？
37
3 坐标缩放： (ax) 1 (x)
g(x) f (x) h(x) f ( )h(x )d
卷积是关于x的函数，而只是中间的积分变量。
48
卷积的两个效应：
1) 展宽效应：卷积的效果往往是使原函数变胖 （光斑变大， 脉冲变宽）
h(x- ) f()
f() h(x- )
f() h(x- )
x<0
x=0
51
卷积的位移不变性
若 f (x) h(x) g(x)，那么 参与卷积的任一函数在x方向
f (x x0 ) h(x)
上 平 移 x0 ， 其 卷 积 的 形 状 不
f (x) h(x x0 )
变，只是也在x方向上平移x0
g(x x0 )
证明：Q f (x) h(x) g(x) g(x)
xa / 2
原函数f(x)在某点x的值卷积后用某一段(x-a/2, x+a/2) 的积分值来表示, 等价于这段区间的平均值。
50
卷积的运算性质
交换律：f (x) h(x) h(x) f (x) 分配律：[aw(x) bv(x)] h(x) aw(x) h(x) bv(x) h(x) 分配律体现了卷积的线性特性。 结合律：[v(x) w(x)] h(x) v(x) [w(x) h(x)] 可分离变量特性: 如果参与卷积的两个函数是可分离的, 其 二维卷积也是可分离的。（极坐标和直角坐标）
a
x a 1, a 0 else
x
1
0
x
x 1 ,a0
else
应用：矩形光瞳的非相干成像系统光学传递函数。
1
-a
O
a
注意：函数形状非真三角形。
x
24
25
6 高斯函数
定义：
Gauss(
x
)
p
e
(
x a
)2
,
a0
a
标准型：
Gauss(x) ep (x)2
特点：
1 x a0
sgn(
x a
)
0
1
x a0 x a0
1 x0
sgn(
x)
0
x0
1 x 0
应用：与某函数相乘，可使该函数在某点的正负发生反转。 相位突变。
Sgn(x/a)
0
x/a
23
5 三角形函数
定义：
标准型：
x
x a
1 0
comb(x) (x n) n
T
* 各个梳之间等间距；
* 每个梳具有 函数性质。
二维梳状函数的图形是什么？试说明。
42
43
44
第二讲 卷积与相关
一、卷积
1 定义：设f(x)和h(x)是两个复函数，其卷积定义为
g(x) f (x) h(x) f ( )h(x )d
1）函数分布在整个区域连 续、可导。 2）光滑、中心强边缘弱。 3）其傅里叶变换还是高斯 函数。
26
应用：
1）是激光的常见模式：基模高斯分布。
2）光信息处理中的“切趾术”，实 质：软边光栏。
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T r
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7 圆域函数 定义：
circ
r r0
circ(
x2 y2 1 r0 ) 0
❖ 本章是课程的基础 ❖ 要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学生在解决光学问题中可应用傅立叶变换性质和定理 ❖ 加深对空间频率、空间频谱概念的理解
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第一讲 光学中几种常用函数
❖ 介绍它们的定义和性质及其在信息光学中的应用; ❖ 要求掌握它们的定义、基本性质、函数变形; ❖ 主要介绍以下函数： 1. 矩形函数 2. Sinc函数 3. 阶跃函数 4. 符号函数 5. 三角形函数 6. 高斯函数 7. 圆域函数 8. δ函数 9. 梳状函数
0 1
,
显然对于x 0也有
(ax) 0
(1)
而对于 (ax)dx
当a 0时， (ax)dx lim m (ax)dx lim am (ax)d ax
m m
m am
a
( X )d
a
X