固体物理40题

1. 设晶体中的每个振子的零点振动能.试用德拜模型求晶体的零点振动能.

证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K 时振动能0E 就是各振动模零点能之和。()()()0000

1

2

m

E E g d E ωωωωωω==

⎰

h 将和()22332s V g v ωωπ=代入积

分有

4

02339168m m s V E N v ωωπ=

=h ，由于0

98

m B D B D k E Nk ωθθ==h 得 一股晶体德拜温度为~2

10K ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟．

2. 试画出二维长方格子的第一、第二布里渊区.

3. 证明：在磁场中运动的布洛赫电子，在K 空间中,轨迹面积A n 和在r 空间的轨迹面积S n

之间的关系A n=(qB hc

)2

S n

()d k d r

c qv B q B dt dt

⋅=-⨯=--⋅r r

r u r h 解：

dk qB dr dt c dt

∴

=⋅h t k qB r c

h 两边对积分,即 =

22()()n n A r c S k qB

∴

==h 4. 证明：面心立方晶格的倒格子为体心立方. 解：面心立方晶格的基矢为

()()()

a a a a j ,

b ,

c 222

k i k i j =+=+=+r r r r r r r r r

则面心立方原胞体积3V []4

a a

b

c ⋅⨯=r r r =

a 2

b

c V π*

⨯=r r

u u r 面心立方倒格矢 ()()2384a i k i j a π=⋅+⨯+r r r r ()

a

i j k π-++r r r 2=

()

b a i j k π*

=-+u u r r r r 2同理： ，()

a

c i j k π*=+-u u r r r r 2

a b c

***

u u r u u r u u r 显然，，为体心立方原胞基矢，因此面心立方晶格倒格子为体心立方 5. 证明：根据倒格子的定义证明简单立方格子体积与其倒格子体积成反比

解:设简单立方晶格常数为a ，则基矢为a ,b ,c ,V a ai a j ak ===r r r r r r 3

体积=

其倒格矢2312b 2a a i V a ππ⨯==u u r u u r u u r r ，3122b 2a a j V a ππ⨯==u u r u r u u r r ，1232b 2a a k V a

ππ⨯==u r u u r

u u r r

则倒格子体积()31232[]V b b b V

π*=⋅⨯=u r u u r u r

6. 是否存在与库伦力无关的晶型，为什么？ 答：不存在与库仑力无关的晶型，因为

①共价结合中电子虽不能脱离电负性 的原子，但靠近的两个原子各给出一个电子，形成电子共有的形状，位于两原子之间通过库仑力把两个原子结合起来。 ②离子晶体中正负离子的吸引力是库仑力

③金属晶体中原子实与电子云之间的作用力为库仑力

④分子结合中，电偶极矩把原本分离的原子结合起来，电偶极矩就是库仑力

⑤氢键结合中，氢与电负性大的原子共价键结合，氢键与电负中心不重合，迫使它通过库仑力与电负性大的原子结合.

7. 如果有一维单原子晶格的振动写成如下驻波形式.证明格波的色散关系与行波的相同

解：一维单原子列的运动方程为：()

()()()21122n n n n d X t m X t X t X t dt

β+-=+-⎡⎤⎣⎦ 将

题

设

中

驻

波

解

带

入

得

：

[]2sin sin sin(1)sin sin(1)sin 2sin sin mA naq t A n aq t A n aq t A naq t ωωβωωω-=++--[]2sin sin(1)sin(1)2sin m naq n aq n aq naq ωβ∴-=++--

(2sin cos 2sin )naq aq naq β=-

()221cos aq m βω=

-241

sin ()2

aq m β= 即驻波色散关系与行波一样

8. 证明二维正方格子于第一布里渊区的角隅处的一个自由子的动能为该区侧面中心处动能

的二倍。再求对三维简单立方晶格,其相应的倍数是多少？

（a ）二维简单正方晶格的晶格常数为a ，倒格子晶格基矢22ˆˆ,A i B j a a

ππ== 第一布里渊区如图所示

()222

2ˆˆˆ,.,2B x y z i B K i j a a a K K K m

πππε⎛⎫⎛⎫=

=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

=++h A 区边中点的波矢为K 角顶点的波矢为自由电子能量2

2

2222,222A x K m m a m a ππε⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

h h h A 点能量

()22222222

2,222B x y K K m m a a m a πππε⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

h h h B 点能量所以/2B A εε=

b)简单立方晶格的晶格常数为a ，倒格子基矢为222ˆ

ˆˆ,,,A i B j C k a a a

πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

第一布里渊区如图7—2所示．

2

2;

2A m a πε⎛⎫

== ⎪⎝⎭

h A 点能量()2222222222

3,222B x y z K K K m m a a a m a ππππε⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=

⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

h h h B 点能量 所以/3B A εε=

9. 设

10. 证明应用紧束缚方法于一维单原子链。如果只计算近邻原子之间的相互作用。其S 态能

带为

11. 论述霍尔系数测量原理以及在化合物研究中的应用。

将半导体放在x-y 平面里，加上z 方向的磁场，通以x 方向电流，导体内沿y 方向将产生电场，当电场达到稳定时，有y

x z qE qv B =

a

π

a

π-

a

π-