05第七章_平均数差异的显著性检验

计算
t
X1 X2
n1
S12
n2
S
2 2
n1
n2
n1 n2 2
n1 n2
59.9 50.3
10 6.6402 9 7.2722 10 9
10 9 2
10 9
2.835
3．两总体非正态， n1和n2大于30（或50）
总体标准差未知条件下，平均数之差的 抽样分布服从t分布，但样本容量较大，t分 布接近于正态分布，可以以Ｚ近似处理，因 此以Z′作为检验统计量，计算公式为：
计算
t
X1 X2
n1
S12
n2
S
2 2
n1
n2
n1 n2 2
n1 n2
59.9 50.3
10 6.6402 9 7.2722 10 9
10 9 2
10 9
2.835
对本题做方差齐性检验
1．提出假设
H0
:
2 1
2 2
H1
:
2 1
2 2
2．选择检验统计量并计算
对两总体方差是否齐性进行检验，应选F 做检验统计量，其计算公式为
2．选择检验统计量并计算 两种识字教学法的测验得分假定是从两个正
态总体中随机抽出的样本,它们差数的总体也呈 正态分布。两总体标准差未知，因此平均数之差 的抽样分布服从t分布，应以t为检验统计量。
两样本为配对实验结果，属于相关样本，已 计算出相关系数，因此选公式（11.5）计算。
t
X1 X2
S12
106 110
162 162 2 0.741616
49
1.71
确定显著性水平 显著性水平为α=0.05 做出统计结论 单侧检验时Ｚ0.05=1.65，Ｚ0.01=2.33 而计算得到的Ｚ=1.71﹡ Ｚ0.05 ＜|Z|＜Ｚ0.0１，则概率 0.05＞P＞0.01 差异显著,应在0.05显著性水平接受零假设 结论:可以说随着年龄的增长和一年的教育， 儿童智商有了显著提高。
F
n1 S12
n2
S
2 2
/n1 /n2
1 1
9 10
7.272 6.640
2 2
/9 1 /10 1
1.21
３．统计决断
根据分子自由度df1＝n1－1＝9－1＝8，分母 的自由度df2＝n2－1＝10－1＝9，查附表，得F(8， 9)0.05＝4.10。由于实际计算的F＝1.21＜4.10， 由P＞0.05，应保留H0而拒绝H1。 结论：启发探究法与传统讲授法两种测验分 数的总体方差为齐性，或者说，两个样本方差来 自同一个总体。
方差齐性检验
方差齐性
方差不齐性
t′检验
解题过程：
1．提出假设 H0:μ1≤μ2 H1: μ1＞μ2
2．选择检验统计量并计算 两组化学测验分数假定是从两个正态总体中随
机抽出的独立样本, 两总体标准差未知，经方差齐 性检验两总体方差齐性，两样本容量小于30。因此 平均数之差的抽样分布服从t分布，应以t为检验统 计量，选用公式（11.7）计算。
d 2 d 2 / n
nn 1
df n 1
（11．6）
⑵．两样本独立
t
X1 X2
n1
S12
n2
S
2 2
n1
n2
n1 n2 2
n1 n2
df n1 n2 2
（11．7）
例２：为了揭示小学二年级的两种识 字教学法是否有显著性差异，根据学生的 智力水平、努力程度、识字量多少、家庭 辅导力量等条件基本相同的原则，选择了 10对学生，然后把每对学生随机地分入实 验组和对照组。
解题过程：
1．提出假设 H0:μ1≥μ2 H1: μ1＜μ2
2．选择检验统计量并计算 训练前后的射击成绩假定是从两个正态总体
中随机抽出的相关样本, 两总体标准差未知，平 均数之差的抽样分布服从t分布，但两样本容量大 于30，因此可以Ｚ代替t为近似处理，选用公式 （11.9）计算。
计算
Z
X1 X2
选择检验统计量并计算
正常儿童的智力测验结果，可以认为是从正态总 体中随机抽出的样本。总体标准差已知，而同一组被 试前后两次的测验成绩，属于相关样本。因此平均数 之差的抽样分布服从正态分布，应选用Ｚ作检验统计 量，并选择相关样本、总体标准差已知的计算公式。
计算
Z
X1 X2
12
2 2
2
r
1
2
n
提示： σ1＝σ2＝16
S
2 2
2r
S1
S2
n 1
79.5 71.0
9.1242 9.9402 2 0.704 9.124 9.940
10 1
3.459
表11-1 两种识字教学法教学效果差异检验计算表
序号
实验组 X1
对照组 X2
d=X1-X2
d2
1
93
76
17
289
2
72
74
-2
4
3
91
80
11
121
4
65
df1 n1 1
df2 n2 1
（12．2）
三．方差齐性检验
方差齐性检验是对两总体 方差是否齐性（即是否一致或 是否存在显著性差异）进行的 检验。 方差齐性检验的统计量是 Ｆ，其概率分布遵循Ｆ，随机抽 取两个独立样本，以此为基础，分别求出两个 相应总体方差的估计值，这两个总体方差的估 计值的比值称为F比值，其计算公式为
当两总体的方差之间差异显著时，运用一般 的t检验不准确，需要进行特别的检验。
1．统计量及计算公式
总体方差不齐性的两个独立样本平均数之 差的标准误，可用两个样本方差分别估计出的 两个平均数标准误平方之和再开方来表示。 这时样本平均数之差与相应总体平均数之 差的离差统计量，既不是Z分布，也不是t分布， 而是与t分布相近似的t′分布。
52
13
169
5
81
63
18
324
6
77
62
15
225
7
89
82
7
49
8
84
85
-1
1
9
73
64
9
81
10
70
72
-2
4
总和
795
710
85
1267
还可计算为
t
X1 X2
d 2 d 2 / n
nn 1
79.5 71 1267 852 /10
1010 1
3.456
例3：从高二年级随机抽取两个小组，在化学 教学中实验组采用启发探究法，对照组采用传统 讲授法教学。后期统一测试，结果为：实验组10 人平均成绩为59.9,标准差为6.640；对照组9人平 均成绩为50.3，标准差为7.272。问两种教学方法 是否有显著性差异？（根据已有的经验，启发探 究法优于传统讲授法）
例1:某幼儿园在儿童入园时对49名儿童 进行了比奈智力测验(σ=16)，结果平均智 商为106。一年后再对同组被试施测，结果 平均智商分数为110。已知两次测验结果的 相关系数为r=0.74，问能否说随着年龄的增 长和一年的教育，儿童智商有了显著提高？
解题过程
提出假设： H0:μ1≥μ2 H1: μ1＜μ2
解题过程：
1．提出假设 H0:μ1≤μ2 H1: μ1＞μ2
2．选择检验统计量并计算 两组化学测验分数假定是从两个正态总体中随
机抽出的独立样本, 两总体标准差未知，经方差齐 性检验两总体方差齐性，两样本容量小于30。因此 平均数之差的抽样分布服从t分布，应以t为检验统 计量，选用公式（11.7）计算。
S12
S
2 2
2r
S1
S2
n
44.156 46.594
13.6502 13.7952 2 0.88413.65013.795 32
2.053
4．总体非正态，小样本
不能对平 均数差异进行 显著性检验。
二、方差不齐性独立小样本 平均数差异的显著性检验
对于方差不齐性的独立小样本，平均数差异 的显著性可能由两方面的原因造成：一是两平 均数确实存在显著差异；二是两总体方差之间 存在显著差异。
Z X1 X2 SEDX
（11．1）
⑴．两样本相关
Z
X1 X2
2 1
2 2
2 r 1
2
n
⑵．两样本独立
Z X1 X2
2 1
2 2
n1 n2
（11．2） （11．3）
两样本相关的判断
两个样本的数据之间存在着一一对应的关 系时，称两样本为相关样本。常见的情形主要 包括三种：一是同一组被试在前后两次在同一 类测验上的结果；二是同一组被试分别接受两 种不同实验的测验结果；三是按条件相同的原 则选择的配对实验结果。
F
12
2 2
（12．3）
实际应用中，常需以样本方差估计总体 方差，因此公式为
F
n1 S12
n2
S
2 2
/n1 /n2
1 1
（12．4）
当两样本容量相差不大时，上式可简化为
F S12
S
2 2
（12．5）
Ｆ比值的抽样分布称为F分布。
Ｆ分布的形态随Ｆ比值分子和分母中自由 度的变化而形成一簇正偏态分布。
2．两总体正态，标准差未知，
方差齐性，n1或n2小于30
总体标准差未知条件下，平均数之差的
抽样分布服从t分布，以t作为检验统计量，
计算公式为：
t X1 X2 SEDX
（11．4）
⑴．两样本相关
t
X1 X2
S12
S
2 2
2r
S1
S2
n 1
还可以计算为
df n 1
（11．5）
t
X1 X2
一般情况下，经常应用的是曲线右侧的概 率值，所以Ｆ值表只列有右侧理论值（临界 值）。在计算样本的Ｆ值时，要求将总体方差 估计值较大的作为分子，较小的作为分母，使 计算所得的Ｆ值落在1和大于1的范围内。
例1：从高二年级随机抽取两个小组，在化学 教学中实验组采用启发探究法，对照组采用传统 讲授法教学。后期统一测试，结果为：实验组10 人平均成绩为59.9,标准差为6.640；对照组9人平 均成绩为50.3，标准差为7.272。问两种教学方法 是否有显著性差异？（根据已有的经验，启发探 究法优于传统讲授法）
Z X1 X 2 SEDX
（11．8）
⑴．两样本相关
Z
X1 X2
2 1
2 2
2
r
1
2
n
Z
X1 X2
S12
S
2 2
2r
S1
S2
n
（11．9）
⑵．两样本独立
Z
X1 X2
2 1
2 2
n1 n2
Z
X1 X2
S12
S
2 2
n1 n2
（11．10）
例4：32人的射击小组经过三天集中训练, 训练后与训练前测验分数分别为:训练前平均 成绩为44.156，标准差为13.650；训练后平 均成绩为46.594，标准差为13.795。两组成 绩相关系数为0.884,问三天集中训练有无显 著效果？（根据过去的资料得知，三天集中 射击训练有显著效果）
这种检验方法被称为柯克兰—柯克斯t检 验（Cochran-Cox），其统计量的计算公式为
t X1 X2
S12
S
2 2
n1 1 n2 1
（12．1）
2．t′临界值的计算公式
t
SE 2 X1
tdf1 SE 2
SE2 X2
SE2
tdf2
X1
X2
t
S12 / n1 1 tdf1 S22 / n2 1 tdf2 S12 /n1 1 S22 /n2 1
四、总体方差未知，独 立样本t检验的完整过程
当总体方差未知时， 对独立小样本进行t检 验的完整过程有两种方 式：
１．先做方差齐性检验
方差齐性检验
方差齐性
t 检验
方差不齐性 t′检验
2．先按方差齐性进行差异检验
方差齐性独立样本t检验
差异不显著
差异显著
接受差异不显著 的检验结论
接受差异显著 的检验结论
第七章
平均数差异的显著性检验
一．平均数差异显著性检验的统 计量及计算公式
平均数差异的显著性检验时,统计量的 基本计算公式为:
统计量 X1 X 2 1 2 SEDX
Ｈ0：μ1＝μ2
统计量 X 1 X 2 SEDX
1．两总体正态，总体标准差已知
总体标准差已知条件下，平均数之差 的抽样分布服从正态分布，以Ｚ作为检验 统计量，计算公式为：
实验组施以分散识字教学法，而对照组 施以集中识字教学法。后期统一测验结果实 验组平均成绩为79.5，标准差为9.124；对 照组平均成绩为71.0，标准差为9.940，两 个组成绩的相关系数为0.704。问两种识字 教学法的教学效果是否有显著差异？
解题过程：
1．提出假设 H0:μ1=μ2 H1: μ1≠μ2