光信息处理习题第一章

第一章 习题解答

1.1 已知不变线性系统的输入为 ()()x x g c o m b = 系统的传递函数⎪⎭

⎫

⎝⎛b f Λ。若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g

'

。并画出输出函数及其频谱的图形。

答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，

（2）()()()()()x s π2co 3211f δ31

1f 3

1f x g x x x +=⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧++

-+

=δδF 图形从略。 1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零，

（1） 如果L

a 1<

，W

b 1<

，试证明

()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1

证明：

(){}(){}(){}()

()(){}(){}()y x,f b

x

sinc a x sinc ab bf af

rect y x f y x,f bf

af rect y x f W f L f rect y x f y x,f y

x

y

x y x *⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1

=

=∴=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=,,F F

,,F ,,F F 1

-

（2） 如果L

a 1>， W

b 1>，还能得出以上结论吗？

答：不能。因为这时(){}(){}()y

x y x bf af rect y x f W f L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛。

1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,

试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos ,

答：

()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}x

cos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f

y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫

⎩

⎨

⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1

-1

-1

-1

1

-1F F F F

F F F

,F ,F F

,

（2）()()⎪⎭

⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫

⎝⎛75

4=2y rect x

rect x cos y x f π, 答：

()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭

⎫

⎝⎛75⎪⎭⎫

⎝⎛754≅⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧

⎪⎭⎫ ⎝⎛775

75⋅75*4=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫

⎝⎛754==1

-1

-1

1

-2y rect x

rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y

rect x rect x cos y x h y x f

y x g x y x

ππδπF F

F F F ,F ,F F

,（3）

()()[]⎪⎭

⎫

⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,

答：

()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭

⎫

⎝⎛75=75≅⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧

⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭

⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫

⎝

⎛4+81+4-81+=⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎪⎭⎫

⎝⎛758+1=1

-1

-1

-1

-1

-3x rect f 75f sinc f rect

f 75f sinc f rect

f δ75f

sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y

x

x y x

x y x

x x x y x

δδδδδπδπF F

F

F F

F F F

,

（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答： ()(

)()()(){}()(){}{}

()()()

()()()()()()()()()(){}

()()

x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f

f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb

y x g y x y x y x y x y x

x y x y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫

⎝⎛7⎪⎭⎫

⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+4

1=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭

⎫

⎝⎛41

=722*=1

-1

-1

-1

-2...,.,.,.,.,F

,.,.,.,F F

F F F

,δδδδ0.25δδδ 1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()(

)x x

rect x comb x g i

Λ*⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=

对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 （1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛2=

f f

H rect （2）()⎪⎭

⎫ ⎝⎛2-⎪⎭⎫ ⎝⎛4=f f f H rect rect

答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形

}{}[]2

1()()()()()3350(3)50sin (50)sin i x x G f g x com b rect x com b f c f c f

⎧⎫⎡⎤⎧

⎫==*Λ⎨⎨⎬⎬

⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭=*F

F F

方括号内函数频谱图形为：