第四节第一类曲面积分
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z
0
)
dS z
(
h
o
dS z ( 4 a ln
a h
)
y
x
h
例2. 计算
其中 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 1 , 2 , 3 , 4 分别表示 在平面 上的部分, 则
o
1 1 y
在前3个 曲面上被 积函数为 0
原式 =
2 2 0 0
1
2
1 4r r d r
2
125 5 1 420
例5. 计算 xdS , 其中 是圆柱面 x 2 y 2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
2
3
1
解: xdS xdS xdS xdS
1 2 3
例5. 计算 xdS , 其中 是圆柱面 x 2 y 2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
1 2
2
xdS
3
（1）1 : z 0, dS d xd y ,
Dx y
2 2 2
y
D
0
2
a a x y
ar
2 2 2
2
2
2
d xd y
a (8 5 2 )
4
: x y z a
2
xy
1 2
d
2a
0
r dr
1 6
a r
思考: 若例3 中被积函数改为 计算结果如何 ?
例4.
计算 | x y z | d S
为抛物面
1 Dx y 2 2
{( x , y ) | x y 1}
1
3
1
xdS xd xd y 0,
1
Dx y
对称性
2 zx
（2） 2 : z x 2, dS 1
2 2 2
2
2 z y d xd
y
2
2d xd y ,
Dx y {( x , y ) | x y 1}, xdS x 2d xd y 0,
3
显然 3 关于xoz面对称， 被积函数关于y为偶函数，
3
31
3
31
1
所以 xdS 2 xdS , 31 为位于xoz面右边的半片
即 31 : y 1 x 2 , 1 x 1, 0 z x 2,
例5. 计算 xdS , 其中 是圆柱面 x 2 y 2 1,
d cos d A
cos
n ( f x ( x , y ),
z
S
n
M
o
x
d
y
f y ( x , y ), 1)
1 1 f x ( x, y ) f y ( x, y )
2 2
2 2
n
z
d A
1 f x ( x , y ) f y ( x, y ) d
i 1
存在，且与 的分法及点 ( i ,i , i ), 的取法无关， 则称该极限为 f (x , y , z) 在 上对面积的曲面积分，
或第一类曲面积分.
即
记作
f ( x, y, z )d S
其中 f (x, y, z) 叫做被积 函数, 叫做积分曲面. 几点说明： • 对面积的曲面积分具有以下两个主要特征 • 积分和是在曲面 上作出的； • 积分和中的微元素是小块曲面的面积。 • 曲面形构件的质量为 M ( x, y, z ) d S
交线为
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dx y ( x, y ) x 2 y 2 1 a 2 , 则 2
I
(x y ) d S
2
2
1
1
I
2 zx
2
2 zy
2
z
o x
1
1
(x y ) d S
(x y )
2 2
n
其次，在每个小曲面 Si 上任意取一点 ( i ,i , i ), 作乘积 f ( i ,i , i ) Si , 并作和 f ( i ,i , i ) Si ,
i 1 n
lim 并取 max{ 1 , 2 ,, n }, 若 0 f ( i ,i , i ) Si
g ( x, y, z ), 则
f ( x, y, z )dS
g ( x, y, z )dS
及
|
f ( x, y, z)dS | |
f ( x, y, z ) | dS
二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
1 2
（3） xdS 2 xdS ,
3
31
若不利用对 xdS 称性，如何 3 计算？
31
xoz
31 : y
3 Dxoz
2 1 x , 1 x 1, 0 z x 2,
代入 f ( x, y, z ) d S 中即可。 一投、二代、三换
说明: 1) 如果曲面方程为 x x( y, z ), ( y, z ) D y z
f ( x, y, z ) d S
或
Dyz
f [ x( y, z ), y, z ] 1 x x d y d z y z
1
2
3
x y z dS 4
2 2
x
3d xd y
x yz d S
4
dS
1 zx zy d x d y
4 : z 1 x y , ( x, y ) D x y
0 y 1 x : 0 x 1
3 x d x
z x y （ 0 z 1 ）.
2 2
解：依对称性求曲面积分
来自百度文库
z
| x y z | d S 4 | x y z | d S 4 x y z d S
为第一卦限部分曲面
d S 1 z z d x d y x y
2 2
y
x
2 2
1 (2 x) (2 y ) d x d y
z
o x
Dx y
y
f ( x, y, z ) dS 存在, 且有
D
f ( x, y ,
xy
)
即：第一类曲面积分的计算分解为二重积分的计算 计算的关键是曲面积元素dS
曲面积元素
设光滑曲面 则面积 S 可看成曲面上各点 M ( x, y, z ) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设d A对应在 D 上的投影为 d , 则
分割：用一组曲线网将 分成n 个小曲面
S1 , S2 ,, Sn
z
( k ,k , k )
Si
近似并作和，求质量的近似值
M i (i ,i , i ) Si
M
( , ,
i i i 1
n
i
) Si ,
x
o
y
取极限，求质量的精确值
dx 0
dz
例6.
计算 x dS , 其中 是球 x y z 4 的表面.
2
2 2 2
解：方法1 关于三个坐标面均对称
z
1
而被积函数关于x , y , z均是偶函数
所以
x dS 8 x dS
1 2 2
1
dS
2
2
2
2
h
o
Dx y
2 zx
2 zy
ay
x
a dxd y
2 2
z
D
xy
a x y
2
a
2 0
d
2
0
2
a h
2
2
rd r a r
2 2
2 a
2 2 ln(a r ) 2
1
a h
0
思考:
若 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截
z
3 D xoz
{( x , z ) | 1 x 1, 0 z x 2, }
z x2
dS
1 y y dxdz x z
2 2
1 1 x
2
d xd z
x
xdS 2 x
3
D xoz
3
1 1 x
1
1 x
2
0
x2
1
x
dxdz 2 1 2 1
第四节 第一类（对面积）曲面积分
第十一章
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
一、第一类（对面积）曲面积分的概念与性质
引例: 设光滑曲面形构件具有连续面密度 求质量 M. 所谓曲面光滑：曲面上各点处都有切平面,且当点 在曲面上连续移动时,切平面也连续转动. 若的密度是均匀的，即 ( x, y, z ) 常数 则M 的 面 积 若曲面为不均匀的，则类似求平面薄板质量的思 想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
dA
M
(称为面积元素)
d
根据面积元素公式得曲面面积公式
S
D
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) d
2 2
即
S
1 (
D
z x
) (
2
z y
)
2
d xd y
若光滑曲面方程为 x g ( y, z ) , ( y, z ) D y z , 则有
0
1
1 x 0
y (1 x y ) d y
3 120
例3. 设 : x 2 y 2 z 2 a 2
z
o
1
计算 I f ( x, y, z ) d S .
x
Dx y
y
解: 锥面 z x y 与上半球面 z a 2 x 2 y 2 的
2
2
Dx y
例5. 计算 xdS , 其中 是圆柱面 x 2 y 2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
1 2
2
（3） 3 x 2 y 2 1,
0 z x 2,
xdS
M
k 1
n
其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
定义：设曲面 是光滑的，f (x , y , z) 在 上有界 首先，用任意一组曲线网将 分成 n 个小曲面
S1 , S2 ,, Sn ,
直径分别为： 1, 2, , n
2 2 Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0}
| x y z | d S 4
Dxy
xy ( x y ) 1 (2 x) (2 y ) d x d y
2 2 2 2
4 d t r cos t sin t r
曲面面积为
• 积分的存在性.
则对面积的曲面积分存在.
在光滑曲面 上连续,
• 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 1, 2 , 则有
f ( x, y, z ) d S
f ( x, y , z ) d S
1
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 不等式性质. 若在 上，f ( x, y, z)
Dy z
若光滑曲面
D
f ( x, y ,
xy
)
（1）确定 的方程: z z ( x, y ); （2）确定在xoy 面上的投影区域 Dx y （3）将曲面方程 z z ( x, y ) 及
d S 1 z x ( x, y ) z y ( x, y ) d xd y
2 2
f ( x , y , z )dS f ( x , y ,0)dxdy
D
3) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分.
例1. 计算曲面积分
被平面 解:
其中是球面 截出的顶部.
z
Dx y : x y a h
2 2
y y ( x, z ), ( x, z ) Dx z
f ( x, y, z ) d S
Dxz
f [ x, y ( x, z ), z ] 1 y y d x d z x z
2 2
2）若 是 xoy 面上的一个闭区域 D 时，则
z 0, z x z y 0,
0
)
dS z
(
h
o
dS z ( 4 a ln
a h
)
y
x
h
例2. 计算
其中 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 1 , 2 , 3 , 4 分别表示 在平面 上的部分, 则
o
1 1 y
在前3个 曲面上被 积函数为 0
原式 =
2 2 0 0
1
2
1 4r r d r
2
125 5 1 420
例5. 计算 xdS , 其中 是圆柱面 x 2 y 2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
2
3
1
解: xdS xdS xdS xdS
1 2 3
例5. 计算 xdS , 其中 是圆柱面 x 2 y 2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
1 2
2
xdS
3
（1）1 : z 0, dS d xd y ,
Dx y
2 2 2
y
D
0
2
a a x y
ar
2 2 2
2
2
2
d xd y
a (8 5 2 )
4
: x y z a
2
xy
1 2
d
2a
0
r dr
1 6
a r
思考: 若例3 中被积函数改为 计算结果如何 ?
例4.
计算 | x y z | d S
为抛物面
1 Dx y 2 2
{( x , y ) | x y 1}
1
3
1
xdS xd xd y 0,
1
Dx y
对称性
2 zx
（2） 2 : z x 2, dS 1
2 2 2
2
2 z y d xd
y
2
2d xd y ,
Dx y {( x , y ) | x y 1}, xdS x 2d xd y 0,
3
显然 3 关于xoz面对称， 被积函数关于y为偶函数，
3
31
3
31
1
所以 xdS 2 xdS , 31 为位于xoz面右边的半片
即 31 : y 1 x 2 , 1 x 1, 0 z x 2,
例5. 计算 xdS , 其中 是圆柱面 x 2 y 2 1,
d cos d A
cos
n ( f x ( x , y ),
z
S
n
M
o
x
d
y
f y ( x , y ), 1)
1 1 f x ( x, y ) f y ( x, y )
2 2
2 2
n
z
d A
1 f x ( x , y ) f y ( x, y ) d
i 1
存在，且与 的分法及点 ( i ,i , i ), 的取法无关， 则称该极限为 f (x , y , z) 在 上对面积的曲面积分，
或第一类曲面积分.
即
记作
f ( x, y, z )d S
其中 f (x, y, z) 叫做被积 函数, 叫做积分曲面. 几点说明： • 对面积的曲面积分具有以下两个主要特征 • 积分和是在曲面 上作出的； • 积分和中的微元素是小块曲面的面积。 • 曲面形构件的质量为 M ( x, y, z ) d S
交线为
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dx y ( x, y ) x 2 y 2 1 a 2 , 则 2
I
(x y ) d S
2
2
1
1
I
2 zx
2
2 zy
2
z
o x
1
1
(x y ) d S
(x y )
2 2
n
其次，在每个小曲面 Si 上任意取一点 ( i ,i , i ), 作乘积 f ( i ,i , i ) Si , 并作和 f ( i ,i , i ) Si ,
i 1 n
lim 并取 max{ 1 , 2 ,, n }, 若 0 f ( i ,i , i ) Si
g ( x, y, z ), 则
f ( x, y, z )dS
g ( x, y, z )dS
及
|
f ( x, y, z)dS | |
f ( x, y, z ) | dS
二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
1 2
（3） xdS 2 xdS ,
3
31
若不利用对 xdS 称性，如何 3 计算？
31
xoz
31 : y
3 Dxoz
2 1 x , 1 x 1, 0 z x 2,
代入 f ( x, y, z ) d S 中即可。 一投、二代、三换
说明: 1) 如果曲面方程为 x x( y, z ), ( y, z ) D y z
f ( x, y, z ) d S
或
Dyz
f [ x( y, z ), y, z ] 1 x x d y d z y z
1
2
3
x y z dS 4
2 2
x
3d xd y
x yz d S
4
dS
1 zx zy d x d y
4 : z 1 x y , ( x, y ) D x y
0 y 1 x : 0 x 1
3 x d x
z x y （ 0 z 1 ）.
2 2
解：依对称性求曲面积分
来自百度文库
z
| x y z | d S 4 | x y z | d S 4 x y z d S
为第一卦限部分曲面
d S 1 z z d x d y x y
2 2
y
x
2 2
1 (2 x) (2 y ) d x d y
z
o x
Dx y
y
f ( x, y, z ) dS 存在, 且有
D
f ( x, y ,
xy
)
即：第一类曲面积分的计算分解为二重积分的计算 计算的关键是曲面积元素dS
曲面积元素
设光滑曲面 则面积 S 可看成曲面上各点 M ( x, y, z ) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设d A对应在 D 上的投影为 d , 则
分割：用一组曲线网将 分成n 个小曲面
S1 , S2 ,, Sn
z
( k ,k , k )
Si
近似并作和，求质量的近似值
M i (i ,i , i ) Si
M
( , ,
i i i 1
n
i
) Si ,
x
o
y
取极限，求质量的精确值
dx 0
dz
例6.
计算 x dS , 其中 是球 x y z 4 的表面.
2
2 2 2
解：方法1 关于三个坐标面均对称
z
1
而被积函数关于x , y , z均是偶函数
所以
x dS 8 x dS
1 2 2
1
dS
2
2
2
2
h
o
Dx y
2 zx
2 zy
ay
x
a dxd y
2 2
z
D
xy
a x y
2
a
2 0
d
2
0
2
a h
2
2
rd r a r
2 2
2 a
2 2 ln(a r ) 2
1
a h
0
思考:
若 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截
z
3 D xoz
{( x , z ) | 1 x 1, 0 z x 2, }
z x2
dS
1 y y dxdz x z
2 2
1 1 x
2
d xd z
x
xdS 2 x
3
D xoz
3
1 1 x
1
1 x
2
0
x2
1
x
dxdz 2 1 2 1
第四节 第一类（对面积）曲面积分
第十一章
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
一、第一类（对面积）曲面积分的概念与性质
引例: 设光滑曲面形构件具有连续面密度 求质量 M. 所谓曲面光滑：曲面上各点处都有切平面,且当点 在曲面上连续移动时,切平面也连续转动. 若的密度是均匀的，即 ( x, y, z ) 常数 则M 的 面 积 若曲面为不均匀的，则类似求平面薄板质量的思 想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
dA
M
(称为面积元素)
d
根据面积元素公式得曲面面积公式
S
D
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) d
2 2
即
S
1 (
D
z x
) (
2
z y
)
2
d xd y
若光滑曲面方程为 x g ( y, z ) , ( y, z ) D y z , 则有
0
1
1 x 0
y (1 x y ) d y
3 120
例3. 设 : x 2 y 2 z 2 a 2
z
o
1
计算 I f ( x, y, z ) d S .
x
Dx y
y
解: 锥面 z x y 与上半球面 z a 2 x 2 y 2 的
2
2
Dx y
例5. 计算 xdS , 其中 是圆柱面 x 2 y 2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
1 2
2
（3） 3 x 2 y 2 1,
0 z x 2,
xdS
M
k 1
n
其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
定义：设曲面 是光滑的，f (x , y , z) 在 上有界 首先，用任意一组曲线网将 分成 n 个小曲面
S1 , S2 ,, Sn ,
直径分别为： 1, 2, , n
2 2 Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0}
| x y z | d S 4
Dxy
xy ( x y ) 1 (2 x) (2 y ) d x d y
2 2 2 2
4 d t r cos t sin t r
曲面面积为
• 积分的存在性.
则对面积的曲面积分存在.
在光滑曲面 上连续,
• 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 1, 2 , 则有
f ( x, y, z ) d S
f ( x, y , z ) d S
1
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 不等式性质. 若在 上，f ( x, y, z)
Dy z
若光滑曲面
D
f ( x, y ,
xy
)
（1）确定 的方程: z z ( x, y ); （2）确定在xoy 面上的投影区域 Dx y （3）将曲面方程 z z ( x, y ) 及
d S 1 z x ( x, y ) z y ( x, y ) d xd y
2 2
f ( x , y , z )dS f ( x , y ,0)dxdy
D
3) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分.
例1. 计算曲面积分
被平面 解:
其中是球面 截出的顶部.
z
Dx y : x y a h
2 2
y y ( x, z ), ( x, z ) Dx z
f ( x, y, z ) d S
Dxz
f [ x, y ( x, z ), z ] 1 y y d x d z x z
2 2
2）若 是 xoy 面上的一个闭区域 D 时，则
z 0, z x z y 0,