方向导数与切平面的关系

方向导数与切平面的关系
摘要：在许多教科书中，曲面在某点处的切平面由曲面上过该点的曲线 的切线定义，然后给出曲面在某点切平面存在的充分条件：假定曲面由隐函 数方程给出，如果函数在该点有连续的偏导数，则存在切平面，并且证明了 两种曲隐函数方程给出的曲面切平面存在的充分条件 .在本文中给出了曲面 切平面存在的另外一种充分条件：就是曲面过一定点的某个领域内存在沿任 意两个方向的方向导数且连续，那么也可以保证曲面在该点的切平面存在. 关键词： 切平面 ；可微； 方向导数； 连续 1． 定义与存在性定理 定义 1.1 给定曲面的隐函数方程 F（x,y,z ）=0，设 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) 是曲上 点，通过 M 0 沿曲面画种种曲线，如果这些曲线在点 M 0 的切线全部落在一个 平面上，则这个平面叫做该曲面在点 M 0 的切平面. 定理 1.1 假设函数 F（x,y,z）在点 M 0 有连续的偏导数且偏导数在点不全 为 0，则切平面存在，且切平面方程为
ρ 有界，于是，左边最后一项的极限是 0.因此有 ∆t Fx ( x0 , y0 , z 0 ) x , ( t 0 ) + Fy ( x 0 , y 0 , z 0 ) y , ( t 0 ) + Fz ( x 0 , y 0 , z 0 ) z , (t 0 ) =0
此式即为所求. 即，按照定义 1.1，有切平面的充分条件可以减弱为函数可微. 3 隐函数与定理 1.2 这时研究前面的问题 2 命题 3.1 如果曲面的方程为 F（x,y,z）=0，点 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) 在曲面上。 函数 F（x,y,z ）在点 M 0 可微，且 3 个偏导数不全为 0，则按照定义 1.2，曲
= [ f ( x + ∆ x, y + ∆ y) − f ( x, y) − f ( x + ∆ x, y) ] + [ f ( x + ∆ x , y ) − f( x , y )] ， 由于假设 f x ( x , y ) 及 f y ( x , y ) 都存在，所以当 ∆x, ∆y 充分小时，可以把中 值定理分别应用于每一个差，就有 ∆u = f x ( x + ∆x,θ 1∆y )∆y − f y ( x + θ 2∆x , y )∆x (0 < θ 1 < 1, 0 < θ 2 < 1), 又由假设 f x ( x , y ) 及 f y ( x , y ) 皆在点(x,y) 连续，因而有
t = t 0 对应点 M 0 又设当 t = t 0 时，参数方程可导，且 3 个导数不全为 0（保证
有切线） 给 参 数 t 一 个 增 量 ∆t ， 产 生 曲 线 C 上 一 个 动 点 M ： x=x( t 0 + ∆t ),y=y( t 0 + ∆t ),z=z( t 0 + ∆t )由此产生变量 x,y,z 的增量 ∆x, ∆y , ∆z ， 设函数 F（x,y,z ）在点 M 0 可微，则有
→
∂f . ∂l
定义 4.2 空间平面的方程的定义 法向量： 如果一个非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法 向量。平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直. 唯一 确定平 面的条 件：当 平面 ∏ 上一 点 M(x 0 , y 0 , z 0 ) 和它 的一个 法向量
→
n ( a, b, c) 为已知时，平面的位置就完全确定了.
=
ε A2 + B 2 + C 2
→0
结论：如果曲面由隐函数方程给出，则可微是按照定义 1.2 有切平面的 充分条件。在定理 1.2 中，可微是充分必要条件。对于隐函数方程，这是不 可能做到的. 4 方向导数与切平面的关系 曲面 z=f(x,y) 上由过一定点 M 0 ( x0 , y0 ) 的两个方向向量可以确定一个平 面 ∏ ，从几何直观平面 ∏ 好像就是曲面过点 M 的切平面，而方向导数刚好 与方向向量有关，下面我们就从方向导数来探讨方向导数与切平面的关系。 命题 4 假若曲面 z=f(x,y) 上过一定点 M 0 ( x0 , y0 ) 的某个领域内存在某两条 不共线的直线上的方向导数且连续，那么曲面在该点的切平面存在. 我们先给出相关的定义及定理. 定义 4.1 方向导数的定义：以三元函数 f ( x, y, z ) 为例，设 P(x,y,z) 是一给 定点，L 是从 P 点出发的射线，它的方向向量用 L 来表示，设 p , 是射线 L 上 任一点， p , 的坐标为：
2 可微与定理 1.1 这里给出问题 1 的肯定回答. 命题 2.1 如果曲面的方程为 F（x,y,z）=0，点 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) 在曲面上。 函数 F（x,y,z ）在点 M 0 可微，且 3 个偏导数不全为 0（保证确定曲面） ，则 按照定义 A，曲面有切平面. 证 设曲面上过点 M 0 的曲线 C 的参数方程为 x=x(t),y=y(t),z=z(t). 参数
P
Dx y
x
在 pp 这段长度内，函数 f (x, y, z) 平均变化率为，
,
∆f f ( p , ) − f ( p) , = pp , pp , 令 p , 沿 L 趋于 P, 如果
→
f ( p, ) − f ( p) lim p, → p pp ,
存在，称此极限为 f (x, y, z) 在 P 点沿 L 的方向导数，记为
设定义 1.2 中平面方程为 Ax+By+Cz+D=0 ，其中 A，B ，C 就是那 3 个 偏导数，则
d ( M , ∏) =
A∆x + B ∆y + C∆z A2 + B 2 + C 2
,
于是，当 d ( M 0 , M ) → 0 时，有
d(M , ∏) = d (M 0 , M )
A∆x + B ∆x + C∆z A2 + B 2 + C 2 ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2
d ( M , ∏) → 0， d(M 0 , M )
f X ( x 0 , y 0 , z 0 )( x − x 0 ) + f Y ( x0 , y0 , z 0 )( y − y 0 ) − ( z − z 0 ) =0
比较定理 1.1 与定理 1.2，产生 2 个问题： 1）定理 1.1 的条件是否也可以减弱到可微? 2）定理 1.2 对于曲面的隐函数方程情况如何？ 下面我们逐个研究上述问题.
F ( x, y , z ) = F ( x0 , y 0 , z 0 ) + Fx ( x0 , y0 , z 0 ) ∆x + Fy ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∆y + Fz ( x 0 , y 0 , z 0 )∆z +
ερ 其中 ρ = ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 且当 ρ → 0时， ε → 0 .
在上式的两边除以 ∆ t ， ∆x ∆y ∆z ρ 得 Fx ( x0 , y 0 , z 0 ) + Fy ( x 0 , y 0 , z 0 ) + Fz ( x 0 , y 0 , z 0 ) + ε =0 ∆t ∆t ∆t ∆t 再令 ∆t → 0 .曲线的参数方程可导，有 ∆x → 0 等，于是 ρ → 0 ，因此 ε → 0 。 又
FX ( x 0 , y 0 , z 0 )( x − x 0 ) + FY ( x0 , y0 , z 0 )( y − y0 ) + Fz ( x 0 , y 0 , z 0 )( z − z 0 ) =0
然而在廖可人，李元正的书中采用了完全不同的处理方法. 定义 1.2 设 ∏ 是过曲面 S 上过一定点的平面，M 是曲面 S 上动点，记点 到平面 ∏ 的距离为 d (M , ∏) ，如果当 d (M , ∏) → 0 时，有 则称平面 ∏ 是曲面 S 在点 M 0 的切平面. 定理 1.2 曲面 Z=f(x,y) 在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 存在不平行于 Z 轴的切平面的 充分必要条件是： f（x,y,）在点 ( x0 , y 0 ) 可微，这时切平面方程为：
由 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) 在曲面上， F ( x 0 , y 0 , z 0 ) =0,当 ∆t → 0 时，动点 M 在曲 线 C 上，而 C 在曲面 S 上，所以 M 也在 S 上，即有 F（x,y,z）=0 。代入， 得
Fx ( x0 , y0 , z 0 ) ∆x + Fy ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∆y + Fz ( x 0 , y 0 , z 0 )∆z + ερ =0
→ →
→
→
→
即 du=df(x,y)= A∆x + B∆y . 定理 4.1 若 f x ( x , y ) 及 f y ( x , y ) 在点 (x,y)及其某一邻域内存在，且在这一 点它们都连续，则称函数 u=f(x,y) 在该点可微. 证明：我们把 ∆u 写成如下形式
∆u =源自文库f ( x + ∆ x, y + ∆ y) − f ( x, y)
面有切平面. 证 设是 M(x,y,z) 曲面上的动点，记 ∆x = x − x0 , ∆y = y − y 0 , ∆z = z − z 0 则
d ( M 0 , M ) = ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 = ρ
由函数可微，有
Fx ( x0 , y0 , z 0 ) ∆x + Fy ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∆y + Fz ( x 0 , y 0 , z 0 )∆z + ερ =0
β ∆x + α∆y
∆x 2 + ∆y 2
→0
由全微分定义知 f(x,y) 在点(x,y)可微. 受到上述定理 4.1 证明的启发，下面我们来证明命题 4 证明：设射线 l 1 与射线 l 2 两个方向 l 1 (cos α , sin α ) 与 l 2 (cos β , sin β ) , 不失一般性，我们假设 ∂f ∂f 与 在原点 p( 0,0 )的某个领域内存在且连续（其 ∂l 1 ∂l 2 ∂f ∂f , 分别为沿方向 l 1 (cos α , sin α ) 与 ∂l 1 ∂l 2
已知 M(x 0 , y 0 , z 0 ) 为平面上一点， n ( a, b, c) 为平面 ∏ 的一个法（线）向
→
量 . 设 M (x, y, z ) 是 平 面 上 的 任 一 点 ， 则 有 n MM 0 = 0 ， 因 为 n ( a, b, c) ， MM 0 = ( x − x0 , y − y0 , z − z 0 ) 所以 a ( x − x0 ) + b( y − y 0 ) + c( z − z 0 ) = 0 ， 这就是平面 ∏ 的方程，称为点法式方程. 所以，过点 M(x 0 , y 0 , z 0 ) 且法向量为 n ( a, b, c) 的平面的方程为 a ( x − x0 ) + b( y − y 0 ) + c( z − z 0 ) = 0 . 定义 4.3 全微分的定义 若函数 u=f(x,y) 的全改变量 ∆u 可表示为 ∆u = f (x + ∆x, y + ∆y)- f (x, y) = A∆x + B∆y + ο ( ∆x 2 + ∆y 2 ) , 其中 A，B 与 ∆x ， ∆y 无关而仅与 x,y 有关，则称函数 f(x,y) 在点(x,y) 可微， 并称 A∆x + B∆y 为 f(x,y) 在点(x,y) 的全微分，记为 du 或 df(x,y)
f y ( x + ∆x, y + θ1∆y ) = f y ( x, y) + α , f x ( x + θ 2 ∆x, y ) = f x ( x, y ) + β ,
且当 ∆x → 0, ∆y → 0 时， α ， β 都趋于零，于是 ∆u = f x ( x, y )∆x + f y ( x , y ) ∆y + β∆x + α∆y, 当 ∆x → 0, ∆y → 0 时，
p , ( x + ∆x , y + ∆y , z + ∆z ) = ( x + pp , cos α , y + pp , cos β , z + pp , cos γ ) ， 其 中
cos α , cos β , cos γ 是 L 的方向余弦， pp , 是线段的长度，如图
z
l
r Dz o P0 Dy