2019届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算学案理北师大版

§3.1 导数的概念及运算

1．导数与导函数的概念

，那么这个值就是函数

平均变化率趋于一个固定的值时，如果0趋于x Δ，即0x 趋于1x 当(1)y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常

用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x1→x0

错误!＝错误!错误!.

(2)如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝ lim Δx→0错误!，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数．

2．导数的几何意义

函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜

．

)0x ′(f ＝k ，即k 率 3．基本初等函数的导数公式

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)[错误!]′＝错误!(g(x)≠0)．

5．复合函数的导数

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))．其中u为中间变量．复合函数y＝f(φ(x))的导数为y x′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．

知识拓展

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．

3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( ×)

(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ×)

(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ×)

(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( ×)

题组二教材改编

2．若f(x)＝x·e x，则f′(1)＝.

答案2e

解析∵f′(x)＝e x＋x e x，∴f′(1)＝2e.