中考数学专题复习综合探究问题

综合探究问题

探索是一种重要的研究问题的方法，也是人们发现新知识的重要手段，非常有利于培养创新能力.探索问题包括从实践中探索、从特殊到一般的探索、存在性探索、动态探索等等.一般在各地中考都以压轴题形式出现.

题型之一实践操作型综合探究问题

例1 (2013·日照)问题背景:

如图a,点A，B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于直线l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求.

(1)实践运用：

如图b，已知⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 .

(2)知识拓展：如图c，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交B C

于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.

【思路点拨】首先要深刻理解图a中的方法、过程、结论；由此在图b，c中分别找到点B关于CD，AD的对称点B′，在图b中，AB′与CD的交点就是点P的位置，所不同的是要灵活运用圆周角与圆心角关系及圆的对称性来找到相关角的度数，这样易得到其最小值；在图c中，由于点F是动态的，因此要根据“垂线段最短”这

一公理来解决问题. 【解答】(1)22.

(2)如图c，在斜边AC上截取AB′=AB,连接BB′. ∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称. 过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E, 则线段B′F的长即为所求. 在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°,AB′=AB=10，∴B′F=AB′·sin

45°=AB·sin 45°=10×

2

2

=52. 即BE+EF的最小值为52.

方法归纳：本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情景下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情景中对应知识来解决问题.

1.(2013·盐城)实践操作

如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹，不写作法)

(1)作∠BAC的平分线，交BC于点O；

(2)以O为圆心，OC为半径作圆.

综合运用

在你所作的图中，

(1)AB与⊙O的位置关系是；(直接写出答案)

(2)若AC=5，BC=12，求⊙O的半径.

2.(2014·江西)如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B 重合)，点F在BC边上(不与点B，C重合).

第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…

(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为，求此时线段EF 的长；

(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.

①请判断四边形EFGH的形状为，此时此刻AE与BF的数量关系是；

②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.

3.(2014·潍坊)如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G.

(1)求证：AE⊥BF；

(2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF(如图2)，延长FP交BA的延长线于点Q，求sin ∠BQP的值；

(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM(如图3)，若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积.

题型之二从特殊到一般的探究性问题

例2 (2014·内江)如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B、C重合)，连接AD.

问题引入：

(1)如图1，当点D是BC边上的中点时，S

△ABD ∶S

△ABC

＝；当点D是BC边上任

意一点时，S

△ABD ∶S

△ABC

＝ (用图中已有线段表示).

探索研究：

(2)如图2，在△ABC中，O是线段AD上一点(不与点A、D重合)，连接BO、CO，试

猜想S

△BOC 与S

△ABC

之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由.

拓展应用：

(3)如图3，O是线段AD上一点(不与点A、D重合)，连接BO并延长交AC于点F，

连接CO并延长交AB于点E.试猜想OD

AD

+

OE

CE

+

OF

BF

的值，并说明理由.

【思路点拨】(1)两个三角形的高相等时，面积比等于底边的比；

(2)当两个三角形底边相等时，面积之比等于高之比；

(3)利用(2)中的结论即可解决.

【解答】(1)1∶2；BD∶BC.

(2)猜想S

△BOC 与S

△ABC

之比应该等于OD∶AD.

理由：如图，分别过O、A作BC的垂线OE、AF，垂足为E、F.则OE∥AF. ∴OD∶AD＝OE∶AF.

∴S

△BOC ＝

1

2

·BC·OE，S

△ABC＝

1

2

·BC·AF，∴S

△BOC

∶S

△ABC

＝(

1

2

·BC·OE)∶(

1

2

·BC·AF)

＝OE∶AF＝OD∶AD.

(3)猜想OD

AD

+

OE

CE

+

OF

BF

的值是1. 理由：由(2)知：

OD AD +

OE

CE

+

OF

BF

=BOC

ABC

S

S

+BOA

ABC

S

S

+AOC

ABC

S

S

=BOC BOA AOC

ABC

S S S

S

++

=ABC

ABC

S

S

=1.

方法归纳：从特殊到一般的探究过程是一般的认知过程，重在分析特殊情况时解决问题的方法，主要是为了解决一般性的问题.这类问题一般前两问是后面问题的铺垫，其解决方法也是后问的模板.

1.(2014·咸宁)如图1，P(m，n)是抛物线y=

2

4

x

-1上任意一点，l是过点(0，-2)且

与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H.

【探究】

(1)填空：当m＝0时，OP＝，PH＝；当m＝4时，OP＝，PH＝；

【证明】