《地图设计与编绘》第2章

1967大地坐标系 1967 1975大地坐标系 1975
1980大地坐标系 1979
6378137 1:298.257 1979年国际第4个推荐值
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3 地球模型




水准面：平静的海水面，重力等位面 大地水准面：传统上，将一个假想的、与平静的平 均海水面相重合并延伸通过陆地而形成的封闭曲面 定义为大地水准面 参考椭球：选定了某一个地球椭球的参数后，仅仅 解决了椭球的形状和大小。要把地面观测值归算到 椭球面上进行计算，还必须确定它同大地水准面间 的相关位置，这就是地球椭球的定位和定向。一个 形状、大小和定位、定向都已确定的地球椭球称之 为参考椭球。它是与局部地区的大地水准面符合的 最好的一个地球椭球体 大地体：似大地水准面包围的形体，物理模型
第二章 地图的数学基基础
第一节 地球的大小与形状
1 地球的形状



公元前6世纪，古希腊毕答哥拉斯提出“球形”说 公元前4世纪，亚里士多德提出“地圆说” 17世纪末，牛顿和惠更斯从力学角度，提出地球是两极略扁的椭球体，称 为“地扁说” 1873年，利斯廷提出用大地水准面来代表地球的形状；大地水准面是一个 物理表面，是地球重力场的几何表示 1945年，前苏联的莫洛坚斯基提出用“似大地水准面”来研究地球的形状 人类花去了约二千五百年的时间对地球形状和其大小进行测定， 经历了从 “球－椭球－大地水准面” 这三个阶段。
第二章 地图的数学基础
第三节 地图投影
地图投影是地图学重要组成部分之一，是 构成地图的数学基础，在地图学中的地位 是相当重要的。地图投影研究的对象就是 如何将地球体表面描写到平面上，也就是 研究建立地图投影的理论和方法。地图投 影的产生、发展、直到现在，已有一千多 年的历史，研究的领域也相当广泛，实际 上它已经形成了一门独立的学科。
正方位投影
横方位投影
斜方位投影
⑵圆住投影 以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球 面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而 成。 一般用于编制世界地图与赤道附近的区域地图
正圆柱投影
横圆柱投影
斜圆柱投影
⑶圆锥投影

以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球 面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而 成。 适于编制中纬度国家和区域地图


现在我们认为：地球的形状近似于一个球体，但并不是一个正球体，而是 一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近似于梨形 的椭球体。 这个不规则的地球体满足不了人们工作的需要，于是人们选择了一个最接 近地球形状的旋转椭圆体表示地球，称为地球椭球体。

地球椭球体又称“地球椭圆体”和“地球扁球体”。 代表地球大小和形状的数学曲面。以长半径和扁率 表示。因它十分迫近于椭球体，故通常以参考椭球 体表示地球椭球体的形状和大小。椭圆绕其短轴旋 转所成的形体，并近似于地球大地水准面。大地水 准面的形状即用相对于参考椭球体的偏离来表示。 通常所说地球的形状和大小，实际上就是以参考椭 球体的半长径、半短径和扁率来表示。1975年国际 大地测量与地球物理联合会推荐的数据为：半长径 6378140米，半短径6356755米，扁率1∶298.257。

等角投影 等积投影 任意投影

伪圆锥投影

伪圆柱投影

多圆锥投影

等角投影（正形投影）



角度变形为0，地球面上的 微小圆经过投影后仍为相似 的微小圆，其形状保持不变， 只有长度和面积变形。 等角投影在同一点任何方向 的长度比都相等，但在不同 地点长度比是不同的。 多用于编制航海图、洋流图、 风向图等地形图
第二章 地图的数学基基础
第二节 地球坐标系与大地坐标
30°40'28.15"N 104° 8'21.30"E
1 坐标系
地面点或空间目标的位置需要由三维数 据来决定。即由确定平面位置的坐标系和 确定空间高度的高程来决定。
2 地理坐标的构成

子午线 赤道 经线 纬线 本初子午面



地球椭球面是不可展的面，将地球椭球面 投影到平面上必然要产生变形。 无论那种地图投影法都有变形，包括长度 变形、面积变形、角度变形或形状变形。 有的投影图上，几种变形都存在，也有的 投影图上可使面积无变形，而角度变形较 大；也可使角度无变形，而面积变形较大； 还可以在某个特定方向上使长度无变形。

解析投影

随着科学技术的发展，几何透视法远远不能满足编制各种类型地 图的需要，这样推动了地图投影的发展，出现了解析法。所谓解 析法就是不借助于几何投影光源（而仅仅借助于几何投影的方 式），按照某些条件用数学分析法确定球面与平面之间点与点之 间一一对应的函数关系。
X=f1(φ 、λ ) Y=f2(φ 、λ ) 函数的f1f2具体形式，是由给定的投影条件确定的。 有了这种对应关系式，就可把球面上的经纬网交点表示到 平面上了。
1 地图投影的产生

地图表面和地球球面的矛盾

地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面 是曲面，因此制图时首先需要把曲面展成平面， 然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直接 展成平面，必然要发生断裂或褶皱。无论是将 球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极 点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。



4 我国的大地坐标系


世界各国基本都有自己国家的坐标系，我国的 大地坐标系包括过去使用的1954北京坐标系， 和现在使用的1980国家大地坐标系 1980坐标系的大地原点设在陕西省泾阳县

A=6378140m （赤道半径） f=1:298.257 （扁率）
5 地球的高程系统



第二章 地图的数学基基础
第四节 常用的地图投影
1 按构成方法

几何投影


方位投影 圆住投影 圆锥投影 伪圆锥投影 伪圆柱投影 多圆锥投影

非几何投影


几何投影
⑴方位投影 以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上 的经纬线投影到平面上而成。 一般用于编制极地和半球的地图

地球椭球体三要素

长轴 赤道半径 a 短轴 极半径 b 扁率 f=(a-b)/a
年代 1800
1910 1940

国际主要椭球参数
长半径 扁率 备注
1942年国际第1个推荐值
椭球名称 德兰博
海福特 克拉索夫斯基
3675653 1:334.0
6378388 1:297.0 6378245 1:298.3 6378160 1:298.247 1971年国际第2个推荐值 6378140 1:298.257 1975年国际第3个推荐值
高程：是由高程基准面起算的高度。 高程基准面：是根据验潮站所确定的多年平均海水 面而确定的。 海拔高程：地面点至平均海水面垂直高度， 也成 为海拔高度、绝对高程通常被称之为海拔或高程。 高差：地面点之间的高程差，也称相对高程。 高程控制：为测定地面点高程所建立的基本控制。 高程控制点：起高程控制的地面点。或称为水准点。
2 地球的大小



地球椭球体的大小，由于推算所用资料、年代和方法不 同，许多科学家所测定地球椭球体的大小也不尽相同 前苏联克拉索夫斯基参考椭球（1954北京坐标系采用）a ＝6378245m，扁率＝1：298.3 IUGG－75地球椭球（1980国家大地坐标系采用）a＝ 6378140m，扁率＝1：298.257 由于地球椭球体长短半径差值很小，约21km，在制作小 比例尺地图时，因为缩小的程度很大，如制作1：1000万 地图，地球椭球体缩小1000万倍，这时长短半径之差只 是2.1mm，所以在制作小比例尺地图时，可忽略地球扁率， 将地球视为圆球体，地球半径为6371km。制作大比例尺 地图时必须将地球视为椭球体。

正圆锥投影
横圆锥投影
斜圆锥投影

非几何投影

不借助于任何几何面，根据一定的条件用数学 解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。 在这类投影中，一般按经纬网形状又可分为伪 方位投影、伪圆住投影、伪圆锥投影和多圆锥 投影
2 按变形性质

地球球面投影到平面时，产生的变形有长 度、角度和面积三种，根据变形特征可分 为：
2 地图投影的定义
球面上任一点的位臵是用地理坐标（φ、 λ）表示的，而平面上点的位臵是用直角坐 标（纵坐标是x,横坐标是y）表示的，所以 要将地球球面上的点转移到平面上，必须 采用一定的数学方法来确定地理坐标与平 面坐标之间的关系。这种在球面和平面之 间建立点与点之间函数关系的数学方法， 称为地图投影。
3 地图投影的实质
球面上任意一点的位臵决定于它的经纬度， 所以实际投影时是先将一些经纬线的交点展绘 在平面上，再将相同经度的点连成经线，相同 纬度的点连成纬线，构成经纬线网。有了经纬 线网后，就可以将球面上的地理事物，按照其 所在的经纬度，用一定的符号画在平面上相应 位臵处。由此看来，地图投影的实质是将地球 椭球面上的经纬网按一定的数学法则转移到平 面上。经纬线网是绘制地图的“基础”，是地 图的主要数学要素。
3 地理坐标分类

天文经纬度坐标 * 大地经纬度 地心经纬度
? 同一点的经纬度唯一吗


同一点的不同类型（天文经纬度、大地经纬度和地心经纬 度）的经纬度 不唯一， 不同点的同一类型的经纬度 唯一。 天文经纬度、大地经纬度和地心经纬度定义不同，参考系 统不同，适用于不同的情况。 天文经度：观测点天顶子午面 与 本初子午面 之间的两面角 天文纬度：铅垂线（重力线） 与 赤道面 之间的夹角； 大地经度：观测点大地子午面 与 本初子午面 之间的两面角， 大地纬度：椭球垂直线(法线) 与 赤道面 之间的夹角； 地心经度：观测点大地子午面 与 本初子午面 之间的两面角， 地心纬度：观测点和球心连线 与 赤道面 之间的夹角。

任意投影

任意投影是既不等角也 不等积的投影。这种投 影的特点是面积变形小 于等角投影，角度变形 小于等积投影。 在任意投影中，有一种 特殊的投影，叫做等距 投影，即误差椭圆上的 一个半径和球面上相应 微小圆半径相等。

3 高斯-克吕格投影

由于这个投影是由德国数学家、物理 学家、天文学家高斯于19 世纪20 年代拟定， 后经德国大地测量学家克吕格于1912 年对 投影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投 影。
地球仪上经纬网的特点
1.地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相 等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且 从赤道向两极越来越小，极地成为一点。 2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。 3.经线和纬线是相互垂直的。 4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等 的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线 弧长不等，而是从赤道向两极逐渐缩小的。 5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度 越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。

等积投影

投影后图形保持 面积大小相等， 没有面积误差。 也就是球面上的 不同地点微小圆 投影后为面积相 等的各个椭圆， 但椭圆的形状不 一样。因此有角 度和长度变形。
– 由于这类投影可以保持 面积没有变形，故有利 于在图上进行面积对比。 一般用于绘制对面积精 度要求较高的自然地图 和经济地图。
4 地图投影的方法

几何投影（透视投影）

假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后 把球面上的经纬网投影到平面上，就得到一张 球面经纬网投影。所不同的是，地图投影面除 了平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥 面；光源除了位于球心之外，还可以在球面、 球外，或无穷远处等。象这样利用光源把地球 面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何投 影或者几何透视法。这是人们最早用来解决地 球球面和地图平面这一对矛盾的一种方法。
5 地图投影的变形
变形的概念 由于球面是一个不可直接展成平面的曲面， 因此无论采用什么投影方法，投影后经纬 网的形状与球面上的经纬网形状不完全相 似。这表明地图上的经纬网发生了变形。 因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地 面事物也必然发生了变形。为了正确使用 地图，必须了解投影后产生得变形，所以 投影变形问题是地图投影的重要组成部分。 研究各种投影变形的大小和分布规律，具 有重大的实际应用价值。