初中数学突破中考压轴题几何模型之旋转模型(5、26)
中考数学旋转压轴题解题方法(详解答案)
中考数学旋转压轴题解题方法一、图形旋转知识与方法1、图形的变换是新课标中“空间与图形”领域的一个主要内容，体现运动变换的理念与思想，是教材中的一大亮点．初中数学所学的图形变换包括平移、轴对称、旋转、位似。
2、旋转，它是一种数学变换．生活中的旋转也是随处可见，汽车的轮子，钟表的指针，游乐园里的摩天轮，都是旋转现象．3、图形的旋转有三个要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．4、旋转具有以下性质：①对应点到旋转中心的距离相等，即边相等。
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即角相等③旋转前、后的图形全等。
5、旋转是近几年中考数学的热点题型，对旋转的特例“中心对称”的考查多以选择题或填空题的形式出现，题目比较简单，大多数属于送分题；利用旋转作图，是格点作图题中的重点。
利用旋转构造复杂几何图形，通常将旋转融合在综合题中，题目难度中等，在选择题、填空题、解答题中都有出现。
有旋转点的，有旋转线段的，更多的是旋转图形的。
旋转三角形，旋转平行四边形，旋转矩形，旋转正方形，其中，近两年的各地中考试题中，旋转矩形出现的最频繁，深受出题老师的青睐。
其实旋转的题目还有一个好听的名字就是“手拉手问题”，本文将对这一类问题分类汇总，以这三个性质为突破口，就能快速解决问题。
二、典例精讲典例．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC 交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．（1）问题发现：如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝度．（2）拓展探究：如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明．（3）解决问题如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE 的长．思路点拨：（1）①由等腰直角三角形的判定和性质可得：∠ABC＝45°，由平行线的性质可得∠FDB＝∠C＝90°，进而可得由等角对等边可得DF＝DB，由旋转可得：∠ADF＝∠EDB，DA＝DE，继而可知△ADF≌△EDB，继而即可知AF＝BE；②由全等三角形的性质可知∠DAF＝∠E，继而由三角形内角和定理即可求解；（2）由平行线的性质可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等边对等角可得∠ABC＝∠CAB，进而根据等角对等边可得DB＝DF，再根据全等三角形的判定方法证得△ADF≌△EDB，进而可得求证AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α；（3）分两种情况考虑：①如图（3）中，当点D在BC上时，②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，由平行线分线段成比例定理可得1==4AF CDAB CB、1==2AF CDAB CB，代入数据求解即可；满分解答：（1）问题发现：如图1中，设AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，DF＝DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°故答案为：①AF＝BE，②90°．（2）拓展探究：结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，DB＝DF∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）解决问题①如图（3）中，当点D在BC上时，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴1==4 AF CDAB CB，∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，∵AC∥DF，∴1==2 AF CDAB CB，∵AB＝8，∴BE＝AF＝4，故BE的长为2或4．名师点评：（1）本题考查等腰直角三角形的判定和性质、平行线的性质、等边对等角的性质和等角对等边的性质、旋转的性质、相似三角形的判定及其性质、三角形内角和定理、平行线分线段成比例定理，涉及到的知识点较多，解题的关键是综合运用所学知识．（2）旋转问题三步走：。
初中必会几何模型（口诀突破）：手拉手模型（或旋转型）
初中必会几何模型（口诀突破）：手拉手模型（或旋转型）教材知识：三角形全等知识中，教材对全等三角形的图形变换概括为三种：平移型、翻折型、旋转型。
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.归纳模型：三种变换中以旋转型为考试的热点和难点，这种变换我们往往也称为手拉手模型。
因为这种图形变换都是以等腰三角形的顶点为旋转点，进行适当旋转而成。
然后，连接对应点构造新的三角形，证明三角形全等即可解决。
划重点，上口诀：等腰图形有旋转，辨清共点旋转边。
关注三边旋转角，全等思考边角边。
模型变换：如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=a。
结论：连接BD、CE，则有△BAD≌△CAE。
模型证明：图②图③同理可证。
模型分析：（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形。
（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型。
（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。
模型实例：如图，△ADC与△EDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H，问：（1)AG与CE是否相等?（2)AG与CE之间的夹角为多少度?问题解答：模型实练：如图，在直线AB的同一侧作△ABD和△BCE，△ABD和△BCE都是等边三角形、连接AE、CD，二者交点为H.求证：(1)△ABE≌△DBC;(2)AE=DC；(3)∠DHA=60°；(4)△AGB≌△DFB;（5）△EGB≌△CFB（6）连接GF，GF∥AC；（7)连接HB，HB平分∠AHC.。
专题32 几何变换之旋转模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)
专题32几何变换之旋转模型【理论基础】1.旋转的概念：将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.2.旋转三要素：旋转中心、旋转方形和旋转角度.3.旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角度相等.注：图形在绕着某一个点进行旋转的时候，既可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转.4.旋转作图：在画旋转图形时，首先要确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.具体步骤如下：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求(顺/逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的对应点.5.旋转中的全等变换.(1)等腰直角三角形中的半角模型(2)正方形中的半角模型6.自旋转模型：有一组相邻的线段相等，可以通过构造旋转全等.(1)60º自旋转模型(2)90º自旋转模型(3)等腰旋转模型(4)中点旋转模型(倍长中线模型)7.共旋转模型(1)等边三角形共顶点旋转模型(2)正方形共顶点旋转模型8.旋转相似【例1】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC 绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论：①△AED≌△AEF；②∠FAD ＝90°，③BE+DC＝DE；④∠ADC+∠AFE＝180°．其中结论正确的序号为（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【例2】如图，点E 为正方形ABCD 外一点，∠AEB ＝90°，将Rt △ABE 绕A 点逆时针方向旋转90°得到△ADF ，DF 的延长线交BE 于H 点，若BH ＝7，BC ＝13，则DH ＝_____．【例3】如图，ADE △由ABC △绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ．(1)求∠BDE 的度数；(2)F 是EC 延长线上的点，且DF PF =．①判断CDF ∠和DAC ∠的数量关系，并证明；②求证：EP PC PF CF=．一、单选题1．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将△ACP 绕点A 顺时针旋转60°得到△ABQ ，若PA＝2，PB ＝4，PC =，则四边形APBQ 的面积为（）A ．B ．C ．D ．2．如图，在ABC 中，AB AC =，若M 是BC 边上任意一点，将ABM 绕点A 逆时针旋转得到ACN △，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论不一定成立的是（）A ．AM AN=B ．AMN ANM ∠=∠C ．CA 平分BCN ∠D ．MN AC⊥3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 中点A 的坐标是(3，4)，把△ABC 绕原点O 逆时针旋转90︒得到A B C ''' ，则点A ′的坐标为（）A ．(4，－3)B ．(－4，3)C ．(－3，4)D ．(－3，－4)4．如图，O 是边长为1的等边ABC 的中心，将AB 、BC 、CA 分别绕点A 、点B 、点C 顺时针旋转()0180αα︒<<︒，得到AB '、BC '、CA '，连接A B ''、B C ''、A C ''、OA '、OB '．当A B C '''V 的周长取得最大值时，此时旋转角α的度数为（）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°5．如图，正方形ABCD 的边长为4，30BCM ∠=︒，点E 是直线CM 上一个动点，连接BE ，线段BE 绕点B 顺时针旋转45°得到BF ，连接DF ，则线段DF 长度的最小值等于（）A ．424B ．222C ．2623D ．2636．如图，在ABC 中，90C ∠<︒，30B ∠=︒，10AB =，7AC =，O 为AC 的中点，M 为BC 边上一动点，将ABC 绕点A 逆时针旋转角()0360αα︒<≤︒得到AB C ''△，点M 的对应点为M '，连接OM '，在旋转过程中，线段OM '的长度的最小值是（）A ．1B ．1.5C ．2D ．37．如图，矩形ABCD 中，3AB =，BC ＝3，P 为矩形内一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA ＋PB ＋PC 的最小值是（）A ．233+B ．25C ．233+D 218．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB 位置如图，∠OBA =90°，点B 的坐标为（1，0），每一次将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到△OA 1B 1，第二次旋转得到△OA 2B 2，…，以此类推，则点A 2022的坐标是（）A ．(22022，22022)B ．(-22021，22021)C ．(22021，-22021)D ．(-22022，-22022)二、填空题9．如图，在正方形ABCD 中，点M 是AB 上一动点，点E 是CM 的中点，AE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ，连接DE ，DF ．给出结论：①DE =EF ；②∠CDF =45°；③若正方形的边长为2，则点M 在射线AB 上运动时，CF ．其中结论正确的是____．10．如图，四边形ABCD ，AB ＝3，AC ＝2，把△ABD 绕点D 按顺时针方向旋转60°后得到△ECD ，此时发现点A 、C 、E 恰好在一条直线上，则AD 的长为__________.11．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，把△ABC 绕点C 旋转，使点B 落在射线BA 上的点E 处（点E 不与点A ，B 重合），此时点A 落在点F ，联结FA ，若△AEF 是直角三角形，且AF ＝4，则BC ＝_____．12．如图，在四边形ABCD 中，60ADC ∠=︒，30ABC ∠=︒，且AD CD =，连接BD ，若2AB =，BD =BC 的长为______．13．已知，⊙O 的直径BC ＝，点A 为⊙O 上一动点，AD 、BD 分别平分△ABC 的外角，AD 与⊙O 交于点E ．若将AO 绕O 点逆时针旋转270°，则点D 所经历的路径长为_____．（提示：在半径为R 的圆中，n °圆心角所对弧长为180R n π）14．如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，P 是线段MN 上的一点，BP 的延长线交4D 于点E ，连接PD ，PC ，将DEP 绕点P 顺时针旋转90︒得GFP ，则下列结论：CP GP =①，tan 1CGF ∠=②；BC ③垂直平分FG ；④若4AB =，点E 在AD 边上运动，则D ，F ______．15．已知⊙O 的半径为4，A 为圆内一定点，AO ＝2．M 为圆上一动点，以AM 为边作等腰△AMN ，AM ＝MN ，∠AMN ＝108°，ON 的最大值为_____________．16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转α角，得到矩形A ′B ′CD ′，B ′C 与AD 交于点E ，AD 的延长线与A ′D ′交于点F ．当矩形A 'B 'CD '的顶点A '落在CD 的延长线上时，则EF ＝_____．三、解答题17．如图，在平面直角坐标系中△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为（2，2），请解答下列问题：(1)画出△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A 1B 1C 1，并写出点A 1的坐标；(2)画出和△A 1B 1C 1关于原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2，并写出点A 2的坐标；(3)在（1）的条件下，求BC 在旋转过程中扫过的面积．18．如图，在△ABC 中，点E 在BC 边上，AE ＝AB ，将线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，使得∠CAF ＝∠BAE ，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．(1)求证：EF ＝BC ；(2)若63ABC ∠︒＝，25ACB ∠︒＝，求∠FGC 的度数．19．如图，正方形ABCD 中，=45°MAN ∠，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)如图1，求证：MN BM DN =+；(2)当=6AB ，5MN =时，求CMN 的面积；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图2位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．20．阅读下面材料：小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC 内有一点P ，且PA ＝1，PB PC ＝2，求∠APB 的度数；小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造AP C '△，连接PP '，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．(1)请你回答：图1中∠APB 的度数等于____；（直接写答案）参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：(2)如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA =1PB =，PD =APB 的度数；(3)如图4，在正六边形ABCDEF 内有一点P ，若∠APB ＝120︒，直接写出PA ，PB 和PF 的数量关系．21．在ABC 中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，点D 是CB 延长线上一点（30ADC ∠>︒），连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转60°，得到线段DE ，连接EC ．(1)依题意，补全图形；(2)若2BD BC ==，求CE 的长．(3)延长EC 交AB 于F ，用等式表示线段CE CF ，之间的数量关系，并证明．22．在△ABC 中，∠ACB =90°，BC =AC =2，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°至AB C ''△的位置．(1)如图1，连接C C '与AB 交于点M ，则CC '=_____，BC '=_____；(2)如图2，连接BB '，延长CC '交BB '于点D ，求CD 的长．23．如图，在等腰Rt △ABC 中，将线段AC 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<<︒，得到线段AD ，连接CD ，作∠BAD 的平分线AE ，交BC 于E ．(1)①根据题意，补全图形；②请用等式写出∠BAD 与∠BCD 的数量关系．(2)分别延长CD 和AE 交于点F ，①直接写出∠AFC 的度数；②用等式表示线段AF ，CF ，DF 的数量关系，并证明．24．如图，已知抛物线经过点()1,0A -，()3,0B ，()0,3C 三点，点D 是直线BC 绕点B 逆时针旋转90︒后与y 轴的交点，点M 是线段AB 上的一个动点，设点M 的坐标为()0m ,，过点M作x 轴的垂线交抛物线于点E ，交直线BD 于点F ．(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；(2)在点M运动过程中，若存在以EF为直径的圆恰好与y轴相切，求m的值；ΔA O C，点A、O、C的对应点(3)连接AC，将AOC∆绕平面内某点G旋转180︒后，得到111ΔA O C的两个顶点恰好落在分别是点1A、1O、1C，是否存在点G使得AOC∆旋转后得到的111抛物线上，若存在，求出G点的坐标；若不存在，请说明理由．。
备战中考数学二轮专题归纳提升真题几何模型—三角形中的旋转模型(解析版)
专题11 几何模型（1）—三角形中的旋转模型【问题引入】当题中出现等腰三角形的条件但是不好使用时，可以考虑利用旋转构造辅助线，通过构造等腰三角形得到手拉手全等，利用全等转移边角进行解题旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向旋转对象：一般是含已知条件或问题相关的边角所在三角形如何转：确定旋转三角形后，考虑由旋转三角形中的腰旋转至与另一腰重合，整个三角形进行同样的旋转旋转后的图形分析：1、从新构造的全等三角形进行分析；2、从新得到的等腰三角形进行分析【题型一：常见旋转模型之邻补模型】条件构成：有两邻边相等的四边形，且四边形对角互补，且一般等腰三角形顶角为特殊角。
∠DAB+∠DCB=180°，AD=AB常见结论：1、有角平分线；2、有线段和差的倍数关系解题方法：1、作双垂；2、构造旋转全等①90°相关结论：1、AC平分∠BCD2、BC+CD=√2AC②60°相关结论：1、AC平分∠BCD2、BC+CD=AC③120°相关结论：1、AC平分∠BCD2、BC+CD=√3AC补充说明：对角互补、邻边相等、角平分线三个条件知到其中两个就可求另外第三个，辅助线的构造与三角形全等相同，但是全等判定会有差异，需要根据具体情况判断【例】如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4√3，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．【答案】4√3+4．【解析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三点共线，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，{AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4√3，CD＝BD×tan∠CBD＝4，∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4√3+4，故答案为：4√3+4．【练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．【答案】3√2【解析】解：将△OBC绕O点旋转90°，∵OB=OA∴点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四边形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三点在同一条直线上，∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=3√2即BC+AC=3√2.【练2】如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．【答案】5√34+6【解析】解：如图，连接PQ，由旋转的性质可得，BP=BQ，又∵∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ=BP，在等边三角形ABC中，∠CBA=60°，AB=BC，∴∠ABQ=60°-∠ABP∠CBP=60°-∠ABP∴∠ABQ=∠CBP在△ABQ与△CBP中{BQ=BP∠ABQ=∠CBPAB=CB∴△ABQ≌△CBP(SAS)，∴AQ=PC，又∵PA=4，PB=5，PC=3，∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，在△APQ中，AQ2=9,AP2=16,PQ2=25，25=16+9，∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形，∴S 四边形APBQ =S △BPQ +S △APQ =√34×52+12×3×4=5√34+6， 故答案为：5√34+6【练3】如图，在△ABC 中，∠ACB =120°，BC >AC ，点E 在BC 上，点D 在AB 上，CE =CA ，连接DE ，180ACB ADE ∠+∠=︒，CH ⊥AB ，垂足为H ．证明：DE AD +=．【答案】见解析【解析】证明：如图，延长BA 到点F ，使AF=DE ，连接CF 、CD ，∵∠ACB+∠ADE=180°∴∠CAD+∠CED=360°－180°=180°∵∠CAD+∠CAF=180°∴∠CAF=∠CED∵AC=EC ，AF=ED∴△AFC ≌△EDC∴CF=CD ，∠ACF=∠ECD∴∠FCD=∠ACF+∠ACD=∠ECD+∠ACD=∠ACB=120°∵CF=CD ，CH ⊥DF∴FH=DH=12DF =12(DE+AD)，∠HCD=12∠FCD=60°∴tan ∠HCD=DH CH =√3∴DH=√3CH∴DE+AD=2DH=2√3CH【题型二：旋转与三角形全等的构造】【例】问题背景：如图①设P 是等边△ABC 内一点，PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，求∠APB 的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ABP '，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA ＝5，PB＝3，PC＝2√2，则∠BPC＝°（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝．拓展廷伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：√2BD＝AD+DC．②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．【答案】（1）135°（2）PC=13；拓展延伸①：证明见解析②：BD=√2【解析】解：简单应用：（1）如图2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△CBP'，连接PP'，∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2√2，∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，根据勾股定理得，PP'=√2CP＝4，∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'，∴△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，∴∠BPP'＝90°，∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°，（2）如图3，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，连接PP'，∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠PAP'＝60°，∴△APP'是等边三角形，∴PP'＝AP＝5，∠APP'＝60°，∵∠APB＝150°，∴∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90根据勾股定理得，BP'=√BP2+PP′2=13，∴CP＝13，拓展廷伸：①如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△BCD'，∴BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD+∠BCD'＝180°，∴点D'在DC的延长线上，∴DD'＝CD+CD'＝CD+AD，在Rt△DBD'中，DD'=√2BD，∴√2BD＝CD+AD；②如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD'，∴BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，AB与CD的交点记作G，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠DAB+∠AGD＝∠BCD+∠BGC＝180°，∵∠AGD＝∠BGC，∴∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD＝∠BAD'，∴点D'在AD的延长线上，∴DD'＝AD'﹣AD＝CD﹣AD＝2，在Rt△BDD'中，BD=√22DD'=√2．【练1】如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．（1）求证：AD＝DE；（2）求∠DCE的度数；（3）若BD＝1，求AD，CD的长．【答案】（1）见解析（2）90°（3）√3【解析】（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，∵△ABC为等边三角形∴∠BAC＝60°∴∠DAE＝60°∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE，（2）∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，（3）∵△ADE为等边三角形∴∠ADE＝60°∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°又∵∠DCE＝90°∴DE＝2CE＝2BD＝2，∴AD＝DE＝2在Rt△DCE中，DC=√DE2−CE2=√22−12=√3．【练2】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．（1）请求出旋转角的度数；（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．【答案】（1）90°（2）证明见解析（3）BD=√22【解析】解：（1）∵将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE ∴△BCD'≌△ACE∴AC＝BC，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BAC＝45°∴∠ACB＝90°故旋转角的度数为90°（2）AE⊥BD．理由如下：在Rt△BCM中，∠BCM＝90°∴∠MBC+∠BMC＝90°∵△BCD'≌△ACE∴∠DBC＝∠EAC即∠MBC＝∠NAM又∵∠BMC＝∠AMN∴∠AMN+∠CAE＝90°∴∠AND＝90°∴AE⊥BD（3）如图，连接DE，由旋转图形的性质可知CD＝CE，BD＝AE，旋转角∠DCE＝90°∴∠EDC＝∠CED＝45°∵CD＝3，∴CE＝3在Rt△DCE中，∠DCE＝90°∴DE=√CD2+CE2=√9+9=3√2∵∠ADC＝45°∴∠ADE＝∠ADC+∠EDC＝90°在Rt△ADE中，∠ADE＝90°∴EA=√AD2+DE2=√18+4=√22∴BD=√22【练3】如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．下面的证法供你参考：把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC＝EB，∵AD ＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：BD+DC＞√2AD．（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论．创新应用：（3）已知：如图4，等腰△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC＝180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．【答案】（1）证明见解析（2）BD+DC≥√2AD；（3）猜想：BD+DC＜2AD；证明见解析【解析】解：（1）证明：把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接ED则有△ACD≌△ABE，DC＝EB∵AD＝AE，∠DAE＝90°∴△ADE是等腰直角三角形∴DE=√2AD在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞√2AD；（2）把△ABD旋转，使AB与AC AC旋转，得到△ACD′，则BD＝CD′，在△CDD′中，CD+CD′＞DD′，即BD+CD＞DD′，∵△ADD′是钝角三角形，则DD′＞√2AD当D运动到B的位置时，DD′＝BC=√2AD．∴BD+DC≥√2AD；（3）猜想1：BD+DC＜2AD证明：把△ACD绕点A顺时针旋转α，得到△ABE则有△ACD≌△ABE，DC＝EB，∠ACD＝∠ABE∵∠BAC+∠BDC＝180°∴∠ABD+∠ACD＝180°∴∠ABD+∠ABE＝180°即：E、B、D三点共线．∴在△ADE中，AE+AD＞ED，即BD+DC＜2AD．【题型三：旋转与相似三角形的构造】【例】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∴△AEF ∽△CBF ，∴AE BC ＝AF CF ，∵AE ＝12AD ＝12BC ，∴AF CF ＝12，∴CF ＝2AF ，故②正确，∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM ＝DE ＝12BC ，∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF ，∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DF ＝DC ，故③正确；∵△AEF ∽△CBF ，∴EF BF ＝AE BC ＝12，∴S △AEF ＝12S △ABF ，S △ABF ＝16S 矩形ABCD ，∴S △AEF ＝112S 矩形ABCD ，又∵S 四边形CDEF ＝S △ACD ﹣S △AEF ＝12S 矩形ABCD ﹣112S 矩形ABCD ＝512S 矩形ABCD ，∴S △ABF ：S 四边形CDEF ＝2：5，故④正确；【练1】如图，正方形ABCD 的边长为8，线段CE 绕着点C 逆时针方向旋转，且CE =3，连接BE ，以BE 为边作正方形BEFG ，M 为AB FM 的长最小时，tan ∠ECB =______．【答案】13【解析】解：连接BD ，BF ，FD ，如图，∵BD BC =BF BE =√2，∴BD BF =BC BE ，∵∠FBD+∠DBE=45°，∠EBC+∠DBE=45°，∴∠FBD=∠EBC，∴△EBC∽△FBD，∴∠FDB=∠ECB，DFCE =BDBC=√2，∴DF=√2CE=3√2，由题意知：FM、DF、DM三条线段满足FM+DF≥MD，其中DM、DF的值一定，∴当M，F，D三点一线时，FM最小，过点M作MN⊥BD，垂足为G，∵∠MBN=45°，BM=12AB=4，∴MN=BN=2√2，∵MD=√AM2+AD2=√42+82=4√5，∴DG=√MD2−MG2=√(4√5)2−(2√2)2=6√2，∴tan∠ECB=tan∠FDG=MGDG =√26√2=13，故答案为：13．【练2】如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_________．【答案】5√2【解析】解：如图，作GB⊥BC于B，取GB=BC，当点D与点B重合时，则点E与点G重合，∴∠CBG=90°，∴CG=√2BC，∠GCB=45°，∵四边形CDEF是正方形，∴CE=√2DC，∠ECD=45°，∴∠BCD+∠DCG =∠GCE+∠DCG =45°，∴∠BCD =∠GCE，且CGBC =CEDC=√2，∴△CGE∽△CBD，∴GEBD =CEDC=√2，即GE=√2BD，∵BD=5，∴点E运动的路径长为GE=√2BD=5√2．【练3】在△ABC和△ADE中，BA=BC，DA=DE，且∠ABC=∠ADE=α，点E在△ABC的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且∠ACE+∠ABE=90°．（观察猜想）（1）如图①，当α=60°时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________．（探究证明）（2）如图②，当α=90°时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（拓展应用）（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=2√5，请直接写出△BDE的面积．【答案】（1）BD=CE，EB2+EC2=EA2；（2）不成立，理由见解析；（3）2【解析】（1）如图①中，∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，∴△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°，∴∠DBE=90°，∴DE2=BD2+BE2，∵EA=DE，BD=EC，∴EA2=BE2+EC2．故答案为：BD=EC，EA2=EB2+EC2．（2）结论：EA2=EC2+2BE2．理由：如图②中，∵BA =BC ，DA =DE ．且∠ABC =∠ADE =90°， ∴△ABC ，△ADE 都是等腰直角三角形， ∴∠DAE =∠BAC =45°，∴∠DAB =∠EAC ， ∵AD AE =√22，AB AC =√22， ∴AD AE =ABAC ，∴△DAB ∽△EAC ，∴DB EC =AB AC =√22，∠ACE =∠ABD ， ∵∠ACE +∠ABE =90°，∴∠ABD +∠ABE =90°，∴∠DBE =90°，∴DE 2=BD 2+BE 2，∵EA =√2DE ，BD =√22EC ， ∴12EA 2=12EC 2+BE 2，∴EA 2=EC 2+2BE 2．（3）如图③中，∵∠AED =45°，D ，E ，C 共线， ∴∠AEC =135°，∵△ADB ∽△AEC ，∴∠ADB =∠AEC =135°，∵∠ADE =∠DBE =90°，∴∠BDE =∠BED =45°，∴BD =BE ，∴DE =√2BD ，∵EC =√2BD ，∴AD =DE =EC ，设AD =DE =EC =x ，在Rt△ABC中，∵AB=BC=2√5，∴AC=2√10，在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，∴x2+4x2=40，∴x=2√2（负根已经舍弃），∴AD=DE=2√2，∴BD=BE=2，×2×2=2．∴S△BDE=12。
2025年中考数学二轮复习几何模型突破课件：模型4几何图形中的旋转模型
类型二
半角模型
模型描述 一个角包含着该角的半角，这两个角共顶点，且大角的两边相等
类型
已知
等腰直角三角
正方形
等边三角形
菱形
形半角模型
半角模型
半角模型
半角模型
∠BAC＝
正方形
△ABC为等边三角
四边形ABCD为
90°，
ABCD，
形，∠BDC＝
菱形，∠BAD
AB＝AC，
∠EAF＝
120°，BD＝CD， ＝120°，
6 2.∵∠BCA＝∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE.∵∠BAC＝∠DEC，
3
2
∴ ＝ ，∴△BCD∽△ACE，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴AE＝4
6 2
D.
2.故选
2．如图，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点
A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE的边DE上的高，连接BE.
点F在AB上，∠EDF＝120°.若AB＝5，求BE＋BF的值.
解：如答图，过点D作DG∥BC交AB于点G.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.
1
∵DG∥BC，D为AC的中点，∴AD＝DC＝ AC，
2
DG是△ABC的中位线，∴AG＝BG.
∵DG∥BC，
∴∠AGD＝∠B＝∠ADG＝∠ACB＝60°，
∴∠DAF＋∠BAE＝45°.
如答图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，
使AD与AB重合，得到△ABG.
由正方形及旋转的性质得DF＝BG，AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，
人教版初三数学旋转模型(含详细解析)
知识结构gt i me an dAl l th i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 【例题】 如图：（1-1）：设是等边内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，的度数是P ABC ∆APB ∠________.1509060.3,'''''''=+=+∠=∠∴≅==∠=∠PB P APP APB RT PBP APP CAP BAP B P AP AP CAP BAP ABC △为为正三角形，△。
易证△△则△，连结且的外侧，作简解：在△‘（二）正方形类型在正方形中，P 为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，使ABCD ABCD ABP ∆B 90得与重合。
经过旋转变化，将图（2-1-a ）中的、、三条线段集中于图（2-1-b ）BA BC PA PB PC 中的中，此时为等腰直角三角形。
'CPP ∆'CPP ∆【例题】 如图（2-1）：是正方形内一点，点到正方形的三个顶点、、的距离分P ABCD P A B CAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 别为PA=1，PB=2，PC=3。
求此正方形ABCD 。
面. 8292132324422*********,23,21,,,=++=++=∴====+=++=∴∴=+=∠+∠+∠=∠∴=∠+∠∠=∠∠=∠==∴=≅≅=∠=∠S S S S PFC RT EPA RT EPF RT ABCD RT EPF FP EP EF EPF DF DF ED EF F D E ADC FDC EDA EDF PBC PBA PBC FDC PBA EDA PF PE AP EAP BPC DFC DFC ABP ADE EP AP AE BAP DAE AED △△△正方形△为可知△由勾股定理的逆定理，，，中，在△，在一条直线上、、点又同理，为等腰三角形，又易证△。
中考数学图形旋转难？用5个模型就能搞定
中考数学图形旋转难？用5个模型就能搞定旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。
旋转变换不改变图形的形状和大小通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度旋转变换前后的图形有下列性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等，(2)对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角;(3)对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心。
常见的几种模型旋转类型题目举例1、正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。
经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP 中，此时ΔP'AP也为正三角形。
例1如图（1-1），设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。
例2如图（2-1），P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。
求正方形ABCD面积。
3、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°,P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。
经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。
例3如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。
人版初三数学旋转模型(含详细解析)(2021年整理)
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授课日期时间主题教学内容知识结构三条线段集【例题】如图:(1-1):设P是等边ABC∆内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，APB∠的度数是________。
1509060.3,'''''''=+=+∠=∠∴≅==∠=∠PBPAPPAPBRTPBPAPPCAPBAPBPAPAPCAPBAPABC△为为正三角形，△。
易证△△则△，连结且的外侧，作简解：在△‘（二）正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ABP∆绕B点按顺时针方向旋转90，使得BA与BC重合。
经过旋转变化,将图(2-1—a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图(2-1—b)中的'CPP∆中，此时'CPP∆为等腰直角三角形。
【例题】如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。
求此正方形ABCD。
面。
8292132324422180909090,23,21,,,=++=++=∴====+=++=∴∴=+=∠+∠+∠=∠∴=∠+∠∠=∠∠=∠==∴=≅≅=∠=∠SSSS PFCRTEPARTEPFRTABCDRTEPFFPEPEFEPFDFDFEDEFFDEADCFDCEDAEDFPBCPBAPBCFDCPBAEDAPFPEAPEAPBPCDFCDFCABPADEEPAPAEBAPDAEAED△△△正方形△为可知△由勾股定理的逆定理，，，中，在△，在一条直线上、、点又同理，为等腰三角形，又易证△。
【中考数学29个几何模型】模型05 等腰旋转模型(后附解题思路分析与小结)
专题05等腰旋转模型一、解答题1．如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．（1）如图1，若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°．①求证：AD ＝BE ；②求∠AEB 的度数．（2）如图2，若∠ACB ＝∠DCE ＝90°，CF 为△DCE 中DE 边上的高，试猜想AE ，CF ，BE 之间的关系，并证明你的结论．2．在△ABC 中，∠BAC=90°，AC=AB ，点D 为直线BC 上的一动点，以AD 为边作△ADE （顶点A ､D ､E 按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE ，连接CE ．（1）如图1，若点D 在BC 边上（点D 与B ､C 不重合），①求证：△ABD ≌△ACE ；②求证：222DE BD CD =+（2）如图2，若点D 在CB 的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE 的面积为____．（3）如图3，若点D 在BC 的延长线上，以AD 为边作等腰Rt △ADE ，∠DAE=90°，连结BE ，若BE=10，BC=6，则AE 的长为______．3．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．4．（1）操作发现：将等腰Rt ABC 与等腰Rt ADE 按如图1方式叠放，其中90︒∠=∠=ACB ADE ，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，M 为BE 的中点，连结CM ，DM ．小明发现CM DM =，你认为正确吗？请说明理由．（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰Rt ADE 绕点A 沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：探究一：将图1中的等腰Rt ADE 绕点A 沿逆时针方向旋转45︒（如图2），其他条件不变，发现结论CM DM =依然成立．请你给出证明．探究二：将图1中的等腰Rt ADE 绕点A 沿逆时针方向旋转135︒（如图3），其他条件不变，则结论CM DM =还成立吗？请说明理由．5．在ABC 中，AB AC =，D 是直线BC 上一点（不与点B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE .（1）如图，当D 在线段BC 上时，求证：BD CE =.（2）如图，若点D 在线段CB 的延长线上，BCE α∠=，BAC β∠=.则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由.（3）如图，当点D 在线段BC 上，90BAC ∠=︒，4BC =，求DCE S 最大值.6．（1）问题发现与探究：如图1，,ACB DCE ∆∆都是等腰直角三角形，90ACB DCE ︒∠=∠=，点A ，D ，E 在同一直线上，CM AE ⊥于点M ，连接BD ，则：（1）线段AE ，BD 之间的大小关系是_________________；ADB =∠；（2）求证：AD=2CM+BD ；如图2，3，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ︒∠=，过点A 作直线，在直线上取点D ，45ADB ︒∠=，连接BD ，BD=1，AC=，则点C 到直线的距离是多少．7．直线m ∥n ，点A 、B 分别在直线m ，n 上（点A 在点B 的右侧），点P 在直线m 上，AP ＝13AB ，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，连接AC 交直线n 于点E ，连接PC ，且 ABE 为等边三角形．（1）如图①，当点P 在A 的右侧时，请直接写出∠ABP 与∠EBC 的数量关系是，AP 与EC 的数量关系是．（2）如图②，当点P 在A 的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P 在A 的左侧时，若△PBC AC 的长．8．（1）如图①，Rt ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 为BC 边上的一点，将ABD △绕点A 逆时针旋转90°至ACF ，作AE 平分DAF ∠交BC 于点E ，易证明：222BD CE DE +=．若DE =，则以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是______；（2）如图②，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，AB AD =，若四边形ABCD 的面积是32，CD =，求BC 的长度；（3）ABC 是以BC 为底的等腰直角三角形，点D 是ABC 所在平面内一点，且满足4=AD ，6BD =，2CD =，请画草图并求ADC ∠的度数．9．点C 为线段AB 上一点，以AC 为斜边作等腰Rt ADC ，连接BD ．在ABD △外侧，以BD 为斜边作等腰Rt BED ，连接EC ．（1）如图1，当∠DBA =30︒时：①求证：AC =BD ；②判断线段EC 与EB 的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA ＜45°时，EC 与EB 的数量关系是否保持不变？如果不变，请你证明EC =EB ．10．如图①，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC EC =，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．（1）BE 与MN 的数量关系是______．（2）将DEC ∆绕点C 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．11．将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，,,90OA OB OC OD AOB COD ︒==∠=∠=，连接,AC BD ．（1）如图1,若A O D 、、三点在同一条直线上，则AC 与BD 的关系是；（2）如图2，若A O D 、、三点不在同一条直线上,AC 与BD 相交于点E ，连接OE ,猜想AE BE OE 、、之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，在(2)的条件下作BC 的中点F ,连接OF ，直接写出AD 与OF 之间的关系．12．在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A （4，0），点B （0，4），C 是AB 中点，连接OC ，将△AOC 绕点A 顺时针旋转，得到△AMN ，记旋转角为α，点O ，C 的对应点分别是M ，N ．连接BM ，P 是BM 中点，连接OP ，PN ．（Ⅰ）如图①．当α＝45°时，求点M 的坐标；（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，求证：OP ＝PN 且OP ⊥PN ；（Ⅲ）当△AOC 旋转至点B ，M ，N 共线时，求点M 的坐标（直接写出结果即可）．13．已知点(),A a m 在双曲线8y x=上且0m <，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B （1）如图1，当2a =-时，(),0P t 是x 轴上的动点，将点B 绕点P 顺时针旋转90°至点C①若1t =，直接写出点C 的坐标；②若双曲线8y x =经过点C ，求t 得值；（2）如图2，将图1中的双曲线()80y x x =>沿y 轴折叠得到双曲线()80y x x =-<，将线段OA 绕点O 旋转，点A 刚好落在双曲线()80y x x =-<上的点(),D d n 处，求m 和n 的数量关系．15．（2017）在△ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上的一点（不与B ，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ，设∠BAC =α，∠BCE =β．（1）如图，当点D 在线段BC 上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．（2）当点D 在直线BC 上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．16．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，（1）求证：ABD ACE ≅ ；（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；②若3BD =，4CF =，求AD 的长，17．已知如图，射线,AE AF 在CAM ∠的内部，12EAF CAM ∠=∠．点,,,D F E B 分别在射线,,,AC AF AE AB 上，且AB AD =．连结,,EF FD EB ．（1）如图1，若120,90CAM ABE ADF ︒︒∠=∠=∠=，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．求证：①ABE △≌ADG ．②BE DF EF +=．（2）如图2，若180ABE ADF ︒∠+∠=，其它条件不变，问题（1）中的线段,,BE EF FD 之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．18．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长；（2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=︒，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转90︒）；（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=︒，1AM =，求BM 的长．19．如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，过B 点作射线BE ，过C 点作射线CF ，使∠ABE ＝∠ACF ，且射线BE ，CF 交于点D ，过A 点作AM ⊥BD 于M ．（1）探究∠BDC 和∠CAB 的数量关系并说明理由；（2）求证：BM ＝DM+DC ；（3）如图2，将射线BE ，CF 分别绕点B 和点C 顺时针旋转至如图位置，若∠ABE ＝∠ACF 仍然成立，射线BE 交射线CF 的反向延长线于点D ，过A 点作AM ⊥BD 于M ．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM ，DM ，DC 又有怎样的数量关系？并证明你的结论．20．定义：如（图1），点,M N 把线段AB 分割成,AM MN 和BN ，若以,,AM MN BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点,M N 是线段AB 的勾股分割点．（1）已知点,M N 是线段AB 的勾股分割点，若2,3AM MN ==，求BN 的长；（2）如（图2），在等腰直角ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，点,M N 为边AB 上两点，满足45MCN ∠=︒，求证：点,M N 是线段AB 的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把CBN 绕点C 逆时针旋转90︒试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．二、填空题21．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，AD=30，DM=10．（1）在旋转过程中，当A ，D ，M 为同一直角三角形的顶点时，AM 的长为____；（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由ABC 外的点D 1转到其内的点D 2处，连结D 1D 2，如图2，此时∠AD 2C=135°，CD 2=60，BD 2的长为_____．22．如图，折线AB BC -中，3AB =，5BC =，将折线AB BC -绕点A 按逆时针方向旋转，得到折线AD DE -，点B 的对应点落在线段BC 上的点D 处，点C 的对应点落在点E 处，连接CE ，若CE BC ⊥，则tan EDC ∠=_____°．23．已知：如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，对角线AC 、BD 相交于点O ．过点O 作一直角∠MON ，直角边OM 、ON 分别与OA 、OB 重合，然后逆时针旋转∠MON ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），OM 、ON 分别交AB 、BC 于E 、F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的是________(填序号)．①EF =；②S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：2；③BE BF +=；④OG•BD=AE 2+CF 2；⑤在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，34AE =．专题05等腰旋转模型（解析版）一、解答题1．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．【答案】（1）①见解析；②80°；（2）AE＝2CF+BE，理由见解析．【分析】（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD=BE；②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．【详解】（1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE ．②解：∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC ，∵点A 、D 、E 在同一直线上，且∠CDE ＝50°，∴∠ADC ＝180°﹣∠CDE ＝130°，∴∠BEC ＝130°，∵∠BEC ＝∠CED+∠AEB ，∠CED ＝50°，∴∠AEB ＝∠BEC ﹣∠CED ＝80°．（2）结论：AE ＝2CF+BE ．理由：∵△ACB ，△DCE 都是等腰直角三角形，∴∠CDE ＝∠CED ＝45°，∵CF ⊥DE ，∴∠CFD ＝90°，DF ＝EF ＝CF ，∵AD ＝BE ，∴AE ＝AD+DE ＝BE+2CF．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形全等的证明，正确理解等腰三角形的性质以及三角形全等的证明是本题的解题关键．2．在△ABC 中，∠BAC=90°，AC=AB ，点D 为直线BC 上的一动点，以AD 为边作△ADE （顶点A ､D ､E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE ，连接CE ．（1）如图1，若点D 在BC 边上（点D 与B ､C 不重合），①求证：△ABD ≌△ACE ；②求证：222DE BD CD =+（2）如图2，若点D 在CB 的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE 的面积为____．（3）如图3，若点D 在BC 的延长线上，以AD 为边作等腰Rt △ADE ，∠DAE=90°，连结BE ，若BE=10，BC=6，则AE 的长为______．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）1694；（3【分析】（1）①根据∠BAC=∠DAE ，推出∠BAD=∠CAE ，再结合AB=AC ，AD=AE ，即可证明△ABD ≌△ACE ，②根据∠ABD=∠ACE ，可得∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE ，根据BD=CE ，即可证明结论；（2）过点A 作AF ⊥DE 于点F ，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质，易得AF ＝12DE ，利用全等三角形的判定定理可得△ABD ≌△ACE ，由全等三角形的性质可得∠ADB ＝∠AEC ，DB ＝EC ，易得EC ＝5，DC ＝12，利用勾股定理可得DE 的长，利用三角形的面积公式可得结论；（3）根据Rt △BCE 中，BE ＝10，BC ＝6，求得CE 8，进而得出CD ＝8−6＝2，在Rt △DCE中，求得DE ADE 是等腰直角三角形，即可得出AE 的长．【详解】（1）①∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAD=∠CAE ，又∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ，②∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠DCE=90°，22222DE CD CE CD BD ∴=+=+；（2）过点A 作AF ⊥DE 于点F ．∵AD ＝AE ，∴点F 是DE 的中点，∵∠DAE ＝90°，∴AF ＝12DE ，同理可证△ABD ≌△ACE ，∴∠ADB ＝∠AEC ，DB ＝EC ，∵DB ＝5，BC ＝7，∴EC ＝5，DC ＝12，∵∠DAE ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝90°，∴∠ADC ＋∠CDE ＋∠AED ＝90°，∴∠AEC ＋∠AED ＋∠CDE ＝90°，即∠CED ＋∠CDE ＝90°，∴∠ECD ＝90°，∴DE 2＝CE 2＋CD 2＝25＋144＝169，∵DE ＞0，∴DE ＝13，∴AF ＝132，∴△ADE 的面积为＝12DE•AF ＝12×13×132＝1694；（3）由（1）可知：△ABD ≌△ACE ，∴∠BCE=∠ACB+∠∠ACE=∠ACB+∠ABD=90°，∴Rt △BCE 中，BE ＝10，BC ＝6，∴CE ＝8，∴BD ＝CE ＝8，∴CD ＝8−6＝2，∴Rt △DCE 中，DE ∵△ADE 是等腰直角三角形，∴AE=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，还有等腰三角形的性质等，综合利用定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．3．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492．【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1） 点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，//PM CE ∴，12PM CE =，AB AC = ，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒ ，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC = ，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =，利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =，PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠ ，MPN DPM DPN DCE DCB DBC∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC=∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒ ，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，AM ∴=，在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，AN =，MN ∴=+=最大，22211114922242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==，PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．4．（1）操作发现：将等腰Rt ABC 与等腰Rt ADE 按如图1方式叠放，其中90︒∠=∠=ACB ADE ，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，M 为BE 的中点，连结CM ，DM ．小明发现CM DM =，你认为正确吗？请说明理由．（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰Rt ADE 绕点A 沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：探究一：将图1中的等腰Rt ADE 绕点A 沿逆时针方向旋转45︒（如图2），其他条件不变，发现结论CM DM =依然成立．请你给出证明．探究二：将图1中的等腰Rt ADE 绕点A 沿逆时针方向旋转135︒（如图3），其他条件不变，则结论CM DM =还成立吗？请说明理由．【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）连接DM 并延长，作BN ⊥AB ，与DM 的延长线交于N ，连接CN ，先证明△EMD ≌△BMN ，得到BN=DE=DA ，再证明△CAD ≌△CNB ，得到CD=CN ，证明△DCM 是等腰直角三角形即可；（2）探究一：延长DM 交BC 于N ，根据平行线的性质和判定推出∠DEM=∠MBC ，根据ASA 推出△EMD ≌△BMN ，证出BN=AD ，证明△CMD 为等腰直角三角形即可；探究二：作BN ∥DE 交DM 的延长线于N ，连接CN ，根据平行线的性质求出∠E=∠NBM ，根据ASA 证△DCA ≌△NCB ，推出△DCN 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出△CMD 为等腰直角三角形．【详解】解：（1）如图一，连接DM 并延长，作BN ⊥AB ，与DM 的延长线交于N ，连接CN，∵∠EDA=∠ABN=90°，∴DE ∥BN ，∴∠DEM=∠MBN ，∵在△EMD 和△BMN 中，DEM NBM EM BM EMD NMB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EMD ≌△BMN （ASA ），∴BN=DE=DA ，MN=MD ，在△CAD 和△CNB 中，45AC BC A CBN BN DA =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△CAD ≌△CNB ，∴CD=CN ，∴△DCN 是等腰直角三角形，且CM 是底边的中线，∴CM ⊥DN ，∴△DCM 是等腰直角三角形，∴DM=CM ；（2）探究一，理由：如图二，连接DM 并延长DM 交BC 于N ，∵∠EDA=∠ACB=90°，∴DE ∥BC ，∴∠DEM=∠MBC ，∵在△EMD 和△BMN 中，DEM NBM EM BM EMD NMB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EMD ≌△BMN （ASA ），∴BN=DE=DA ，MN=MD∵AC=BC ，∴CD=CN ，∴△DCN 是等腰直角三角形，且CM 是底边的中线，∴CM ⊥DM ，∠DCM=12∠DCN=45°=∠BCM ，∴△CMD 为等腰直角三角形．∴DM=CM ；探究二，理由：如图三，连接DM ，过点B 作BN ∥DE 交DM 的延长线于N ，连接CN ，∴∠E=∠MBN=45°．∵点M 是BE 的中点，∴EM=BM ．∵在△EMD 和△BMN 中，E MBN EM BM DME NMB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EMD ≌△BMN （ASA ），∴BN=DE=DA ，MN=MD ，∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，∴∠DAC=∠NBC=90°∵在△DCA 和△NCB 中DA BN DAC NBC CA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCA ≌△NCB （SAS ），∴∠DCA=∠NCB ，DC=CN ，∴∠DCN=∠ACB=90°，∴△DCN 是等腰直角三角形，且CM 是底边的中线，∴CM ⊥DM ，∠DCM=12∠DCN=45°=∠CDM ，∴△CMD 为等腰直角三角形．∴DM=CM【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度较大．5．在ABC 中，AB AC =，D 是直线BC 上一点（不与点B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE.（1）如图，当D 在线段BC 上时，求证：BD CE =.（2）如图，若点D 在线段CB 的延长线上，BCE α∠=，BAC β∠=.则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由.（3）如图，当点D 在线段BC 上，90BAC ∠=︒，4BC =，求DCE S 最大值.【答案】（1）见解析；（2）αβ=，理由见解析；（3）2【分析】（1）证明()ABD ACE SAS ≅△△，根据全等三角形的性质得到BD CE =；（2）同（1）先证明()ABD ACE SAS ≅△△，得到∠ACE=∠ABD ，结合等腰三角形的性质和外角和定理用不同的方法表示∠ACE ，得到α和β关系式；（3）同（1）先证明()ABD ACE SAS ≅△△，得到ABC ADCE S S ∆=四边形，那么DCE ADE ADCE S S S ∆∆=-四边形，当AD BC ⊥时，ADE S ∆最小，即DCE S ∆最大．【详解】解：（1）∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS ≅△△，∴BD CE =；（2）同（1）的方法得()ABD ACE SAS ≅△△，∴∠ACE=∠ABD ，∠BCE=α，∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠ACB+α，在ABC 中，∵AB=AC ，∠BAC=β，∴∠ACB=∠ABC =12(180°-β)=90°-12β，∴∠ABD=180°-∠ABC=90°+12β，∴∠ACE=∠ACB +α=90°-12β+α，∵∠ACE=∠ABD =90°+12β，∴90°-12β+α=90°+12β，∴α=β；（3）如图，过A 做AH BC ⊥于点H ，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴45ABC ∠=︒，122BH AH BC ===，同（1）的方法得，()ABD ACE SAS ≅△△，AEC ABD S S ∆∆∴=,AEC ADC ABD ADC S S S S ∆∆∆∆+=+，即142ABC ADCE S S BC AH ∆==⋅=四边形，∴DCE ADE ADCE S S S ∆∆=-四边形，当ADE S ∆最小时，DCE S ∆最大，∴当AD BC ⊥2AD =，时最小，2122ADE S AD ∆==，422DCE S ∆∴=-=最大．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，解题的关键是抓住第一问中的那组全等三角形，后面的问题都是在这个基础上进行证明的．6．（1）问题发现与探究：如图1，,ACB DCE ∆∆都是等腰直角三角形，90ACB DCE ︒∠=∠=，点A ，D ，E 在同一直线上，CM AE ⊥于点M ，连接BD ，则：（1）线段AE ，BD 之间的大小关系是_________________；ADB =∠；（2）求证：AD=2CM+BD ；如图2，3，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ︒∠=，过点A 作直线，在直线上取点D ，45ADB ︒∠=，连接BD ，BD=1，AC=2，则点C 到直线的距离是多少．【答案】（1）AE ＝BD ，90°；（2）证明见解析；3+12或3-12【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC ＝BC ，CE ＝CD ，由∠ACB ＝∠DCE ＝90°，得到∠ACE ＝∠BCD ，证得△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形的性质得到AE ＝BD ，∠AEC ＝∠BDC ，根据邻补角的定义得到∠AEC ＝135°即可得到结论；②根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．（2）如图2，过C 作CH ⊥AD 于H ，CE ⊥CD 交AD 于E ，于是得到△CDE 是等腰直角三角形，由（1）知，AE＝BD＝1，∠ADB＝90°，根据勾股定理得到AB AC＝2，AD，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE与△BCD中，AC＝BC，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACD≌△BCE，∴AE＝BD，∠AEC＝∠BDC，∵∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠AEC＝135°，∴∠BDC＝135°，∴∠ADB＝90°；故答案为：AE＝BD，90°；②证明：在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM，∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE；（2）解：如图，过C作CH⊥AD于H，CE⊥CD交AD于E，则△CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AE＝BD＝1，∠ADB＝90°，∵AC＝2，∴AD，∴DE ＝AD−AE ，∵△CDE 是等腰直角三角形，∴CH ＝12DE ＝3-12，如图所示，过C 作CH ⊥AD 于H ，CE ⊥CD 交AD 于E ，则△CDE 是等腰直角三角形，由（1）知，AE ＝BD ＝1，∠ADB ＝90°，∵AB ＝AC ＝2，∴AD ＝AD ，∴DE ＝AE ＋AD ＝1，∵△CDE 是等腰直角三角形，∴CH ＝12DE ＝2，∴点C 到直线的距离是3+12或3-12，故答案为：2或2．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．7．直线m ∥n ，点A 、B 分别在直线m ，n 上（点A 在点B 的右侧），点P 在直线m 上，AP ＝13AB ，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，连接AC 交直线n 于点E ，连接PC ，且 ABE 为等边三角形．（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP与EC的数量关系是．（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC AC的长．【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）67 7【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP ＝EC ；故答案为：∠ABP ＝∠EBC ，AP ＝EC ；（2）成立，理由如下，∵△ABE 是等边三角形，∴∠ABE ＝60°，AB ＝BE ，∵将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，∴∠CBP ＝60°，BC ＝BP ，∴∠ABP ＝60°﹣∠PBE ，∠CBE ＝60°﹣∠PBE ，即∠ABP ＝∠EBC ，∴△ABP ≌△EBC （SAS ），∴AP ＝EC ；（3）过点C 作CD ⊥m 于D ，∵将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，∴△PBC 是等边三角形，∴34PC 2∴PC ＝3，设AP ＝CE ＝t ，则AB ＝AE ＝3t ，∴AC ＝2t ，∵m ∥n ，∴∠CAD ＝∠AEB ＝60°，∴AD ＝12AC ＝t ，CD t ，∵PD 2+CD 2＝PC 2，∴（2t ）2+3t 2＝9，∴t ＝377（负值舍去），∴AC ＝2t ＝677．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．8．（1）如图①，Rt ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 为BC 边上的一点，将ABD △绕点A 逆时针旋转90°至ACF ，作AE 平分DAF ∠交BC 于点E ，易证明：222BD CE DE +=．若DE =，则以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是______；（2）如图②，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，AB AD =，若四边形ABCD 的面积是32，CD =，求BC 的长度；（3）ABC 是以BC 为底的等腰直角三角形，点D 是ABC 所在平面内一点，且满足4=AD ，6BD =，2CD =，请画草图并求ADC ∠的度数．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）（3）图见解析，135°或45°【分析】（1）要判断以BD 、DE 、EC 为边的三角形形状，根据题干中所给条件，只需证明BD EC =即可；（2）先构造出ABE ADC △≌△，进而判断出CAE V 是等腰直角三角形，四边形的面积等于ACE △的面积，由此求出AC ，CE 即可；（3）分情况讨论：①当点D 在ABC 内时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题；②当点D 在ABC 外时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题．【详解】解：（1）222BD CE DE += ，∴以BD 、DE 、EC为边的三角形是直角三角形，DE = ，设BD a =，则DE =，2222a EC a ∴+=，EC a ∴=，BD EC ∴=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是等腰直角三角形．故答案：等腰直角三角形．（2）如图①，延长CB 至E ，使BE CD =，连接AE ，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，180ABC ADC ∴∠+∠=︒，180ABC ABE ∠+∠=︒ ，ABE ADC ∴∠=∠，在ABE △和ADC 中，,,,AB AD ABE ADC BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADC SAS ∴△≌△，AE AC ∴=，BAE DAC ∠=∠，90CAE BAE BAC DAC BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，212ACE S AC ∴=△， 四边形ABCD 的面积为32，ACE ABCD S S =△四边形，21322AC ∴=，8AC ∴=（负值已舍），EC ∴==，BC EC BE ∴=-==．图①（3）①画图如图②，③．当点D 在ABC 内时，如图②，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，90BAC DAE ∠=∠=︒ ，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴ ≌，6BD CE ∴==，DE == ，2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒ ，4590135ADC ∴∠=︒+︒=︒；②当点D 在ABC 外时，如图③，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，90BAC DAE ∠=∠=︒ ，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴ ≌，6BD CE ∴==，DE == ，2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒ ，45ADC ∴∠=︒．综上所述，ADC ∠的度数为135°或45°．图②图③【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．9．点C 为线段AB 上一点，以AC 为斜边作等腰Rt ADC ，连接BD ．在ABD △外侧，以BD 为斜边作等腰Rt BED ，连接EC ．（1）如图1，当∠DBA =30︒时：①求证：AC =BD ；②判断线段EC 与EB 的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA ＜45°时，EC 与EB 的数量关系是否保持不变？如果不变，请你证明EC =EB ．【答案】（1）①证明见解析；②EC EB =，证明见解析；（2）EC 与EB 的数量关系保持不变，证明见解析．【分析】（1）①先根据等腰三角形三线合一、直角三角形斜边上的中线可得12DF AC =，再根据直角三角形的性质可得12DF BD =，然后根据等量代换即可得证；②先根据等腰直角三角形的定义与性质、题①的结论可得CD DE EB ==，45ACD BDE ∠=∠=︒，再根据角的和差、三角形的外角性质可得60CDE ∠=︒，然后根据等边三角形的判定与性质可得EC DE =，由此即可得证；（2）先根据等腰直角三角形的性质、角的和差可得,AD CD ADB CDG =∠=∠，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD GD =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得45A DCG ∠=∠=︒，从而可得90BCG ∠=︒，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证．【详解】（1）①如图1，过点D 作DF AB ⊥于点F ，Rt ADC 是等腰三角形，DF ∴是斜边AC 上的中线，12DF AC ∴=，又 在Rt BDF V 中，30DBA ∠=︒，12DF BD ∴=，1122AC BD ∴=，即AC BD =；②EC EB =，证明如下：Rt ADC 和Rt BED 都是等腰直角三角形，22,22CD AC DE EB BD ∴===，45ACD BDE ∠=∠=︒，由①知，AC BD =，CD DE ∴=，30∠=︒Q DBA ，15BDC ACD DBA ∴∠=∠-∠=︒，60CDE BDC BDE ∴∠=∠+∠=︒，CDE ∴ 是等边三角形，EC DE EB ∴==；（2）EC 与EB 的数量关系保持不变，证明如下：如图2，过点D 作BD 的垂线，交BE 延长线于点G ，连接CG ，90BDG ∴∠=︒，Rt ADC 是等腰直角三角形，,90,45AD CD ADC A ACD ∴=∠=︒∠=∠=︒，ADC BDC BDG BDC ∴∠+∠=∠+∠，即ADB CDG ∠=∠，Rt BED 是等腰直角三角形，45,DBE DE BE ∴∠=︒⊥，BDG ∴△是等腰直角三角形，且BD GD =，EB EG ∴=（等腰三角形的三线合一），在ABD △和CGD △中，AD CD ADB CDG BD GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CGD SAS ∴≅ ，45A DCG ∴∠=∠=︒，90ACG ACD DCG ∴∠=∠+∠=︒，18090BCG ACG ∴∠=︒-∠=︒，BCG ∴ 是直角三角形，又EB EG = ，∴点E 是BG 的中点，即EC 是斜边BG 上的中线，EC EB ∴=．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、直角三角形斜边上的中线、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．10．如图①，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC EC =，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．（1）BE 与MN 的数量关系是______．（2）将DEC ∆绕点C 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．【答案】（1）2BE MN =；（2）图（2）：2BE MN =，图（3）：2BE MN =，理由见解析．【分析】（1）先证明AD=BE ，根据中位线定理证明△PMN 为等腰直角三角形，得到22PM MN =，再进行代换即可；（2）：如图（2）连接AD ，延长BE 交AD 于H ，交AC 于G ，先证明ACD BCE ≅△△，得到，AD=BE ，90AHB ∠=︒，根据中位线定理证明△PMN 为等腰直角三角形，得到22PM MN =，再进行代换即可．【详解】解：（1）∵Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴∠BAC=∠ABC=45°∵AC BC =，DC EC =，∴AD=BE ，∵点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，∴PM ，PN 分别为△ABE ，△BAD 中位线，∴PM ∥BE,PM=12BE,PN ∥AC,PN=12AD,∴PM=PN,∠APM=∠BPN=45°，。
人教版初三数学旋转模型(含详细解析)
典型例题
利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，如
一.求线段长.
例1.如图，已知长方形ABCD的周长为20，AB=4，点E在BC上，且AE⊥EF，AE=EF，求CF的长。
【解析】：将△ABE以点E为旋转中心，顺时针旋转90°，此时点B旋转到点B'处，AE与EF重合，由旋转特征知：B'E⊥BC，
（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为 ，则重叠部分的面积为，周长为．
（2）将图（1）中的 绕顶点 逆时针旋转 ，得到图（2），此时重叠部分的面积为，周长为．
（3）如果将 绕 旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为．
3、如图，P是等边△ABC内一点，PA=2， ，PC=4，求BC的长。
四边形B'ECF为长方形，∴CE=BF'=AB
∵CF+CE=B'E+CE=BE+EC=BC=6
∴CF=BC-CE=6-4=2
二.求角的大小
例2.如图，在等边 中，点 、 分别为 、 上的两点，且 ， 与 交于点 ，求 的大小。
【解析】：
因为 , ,
所以以 的中心（等边三角形三条中线的交点） 为旋转
中心，将 顺时针旋转 பைடு நூலகம்得到了 ，
4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°，求证： ．
5、如图正方形ABCD中， ，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．
（1）求∠1的度数；
（2）判断△GMH的形状。
中考数学旋转五大模型专题
中考数学旋转五大模型专题
目录
一、旋转的性质与手拉手模型
相比平移、对称，旋转无疑是三大变换中最难的一个，一方面在于图形构造较为复杂，另一方面旋转本身的故事就很多，本节从性质开始，介绍旋转经典模型之一：手拉手模型。
二、三垂直模型
同样作为模型，但“三垂直模型”的定位和“手拉手模型”完全不同，“手拉手模型”是在讲旋转本身，而“三垂直”模型本身并不复杂，更多地是作为一种方法来解决其他问题，了解模型需了解其定位与应用，会帮助我们更准确地把握模型。
三、半角模型
如果说手拉手侧重在旋转本身，三垂直侧重在模型构造，半角模型则更多地体现在题型变化，半角模型一般条件如下：
(1)角含半角：
(2)邻边相等；
(3)对角互补，
其中邻边相等与对角互补，以正方形为背景即可，至于角含半角，是明面上的半角模型，可替换为其他条件，模型条件的等价条件，亦是模型的重点。
四、手连心模型与对补四边形
旋转本身或许并不难，难的是构造旋转，确定旋转的一个必要前提：邻边相等，再加入其它的料，会有不同的结果。
五、共顶点旋转模型
所谓共点旋转，是旋转构造的一种，即图形绕着自身某个顶点作旋转，常见为等边三角形共点旋转和正方形共点旋转，有着一般性的条件、结论及推广应用，即可视为模型。
2023年中考数学几何模型(全国通用版)：图形变换中的重要模型之旋转模型(原卷版)
专题16图形变换中的重要模型之旋转模型几何变换中的旋转问题是历年中考考查频率高且考查难度较高，综合性强，通常有线段、三角形、（特殊）平行四边形的旋转问题。
在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。
模型1.三角形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝，AD ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A B C ，当A B 恰好经过点D 时，△B CD 为等腰三角形，若B B ＝2，则A A ＝（）AB ．C D 变式1．（2022·山西·中考真题）综合与实践问题情境：在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =6，AC =8．直角三角板EDF 中∠EDF =90°，将三角板的直角顶点D 放在Rt △ABC 斜边BC 的中点处，并将三角板绕点D 旋转，三角板的两边DE ，DF 分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M 为边AB 的中点时，试判断四边形AMDN 的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当B MDB 时，求线段CN 的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM =AN 时，直接写出线段AN 的长．2）最值（范围）型例1．（2022·江苏常州·一模）如图，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，∠BAC ＝∠DCE ＝90°，AB ＝AC ＝4，CD ＝CE ＝2，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．若将△CDE 绕点C 旋转一周，则线段AF 的最小值是______．变式1．（2021·四川成都·中考真题）在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC △，其中点A ，C 的对应点分别为点A ，C ．（1）如图1，当点A 落在AC 的延长线上时，求AA 的长；（2）如图2，当点C 落在AB 的延长线上时，连接CC ，交A B 于点M ，求BM 的长；（3）如图3，连接,AA CC ，直线CC 交AA 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．3）综合证明型例1．（2021·黑龙江·中考真题）在等腰ADE 中，AE DE ，ABC 是直角三角形，90CAB ，12ABC AED ，连接CD BD 、，点F 是BD 的中点，连接EF ．（1）当45EAD ，点B 在边AE 上时，如图①所示，求证：12EF CD ．（2）当45EAD ，把ABC 绕点A 逆时针旋转，顶点B 落在边AD 上时，如图②所示，当60EAD ，点B 在边AE 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF 和CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．变式1．（2021·山东潍坊·中考真题）如图1，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，AC =1，D 为△ABC 内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．（1）求证：△BDA ≌△BFE ；（2）①CD +DF +FE 的最小值为；②当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD ∥BF ．（3）如图2，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．模型2.平行四边形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2022·浙江宁波·一模）如图，一副三角板如图1放置，AB CD E 重合，将DEC 绕其顶点E 旋转，如图2，在旋转过程中，当75AED ，连接AD ，BC ，此时四边形ABCD 的面积是________．变式1．（2022·广东广州·一模）如图，将▱ABCD 绕点A 逆时针旋转到▱AB ′C ′D ′的位置，使点B ′落在BC 上，B ′C ′与CD 交于点E ．若AB ＝3，BC ＝4，BB ′＝1，则CE 的长为___．2）最值（范围）型例1．（2022·广东·深圳九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ∠ABC ＝45°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是_____．变式1．（2022·河南洛阳·一模）如图，在平行四边形ABCD 中，6AB ，10BC ，=60B ，点E 在线段BC 上运动（含B 、C 两点）．连接AE ，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转60°得到AF ，连接DF ，则线段DF 长度的最小值为______．3）分类讨论型例1．（2022·江西·寻乌县二模）如图，在平行四边形ABCD 中，10AB ，15BC ，4tan 3A ．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90 得到线段PQ ．若点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边所在的直线上，则BQ 的长为______________．变式1．（2022·江苏·九年级专题练习）在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，高AH ＝4，点E 是边AD 上任意一点，现将点B 绕着点E 逆时针旋转90°到点B ，若点B 恰好在平行四边形的边上，则AE ＝______．4）综合证明型例1．（2022·广西·九年级期中）如图，在ABCD Y 中，60BAD ，将ABCD Y 绕顶点A 逆时针旋转至AEFG Y ，此时点D 在AE 上，连接AC AF CF EB 、、、，线段EB 分别交CD AC 、于点H 、K ，则下列四个结论中：①60CAF ；②DEH △是等边三角形；③23AD HK ；④当2AB AD 时，47ACF ABCD S S △；正确的是（）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③变式1．（2022·山西阳泉·一模）综合与实践【问题背景】如图1，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝6，AD ＝8．点E 、G 分别是AD 和DC 边的中点，过点E 、G 分别作DC 和AD 的平行线，两线交于点F ，显然，四边形DEFG 是平行四边形．【独立思考】(1)线段AE和线段CG的数量关系是：______．(2)将平行四边形DEFG绕点D逆时针旋转，当DE落在DC边上时，如图2，连接AE和CG．①求AE的长；②猜想AE与CG有怎样的数量关系，并证明你的猜想；【问题解决】(3)将平行四边形DEFG继续绕点D逆时针旋转，当A，E，F三点在同一直线上时（如图3），AE与CG交于点P，请直接写出线段CG的长和∠APC的度数．模型3.菱形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2022·安徽黄山·二模）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，OD＝2，将BC绕点B逆时针旋转得到BE，交CD于点F，且使得DE⊥BD．若AC＝4DE，则CF＝___．的位置，变式1．（2022·安徽·模拟预测）如图，将边长为3的菱形ABCD绕点A逆时针旋转到菱形AB C D使点B 落在BC上，B C 与CD交于点E．若1BB ，则CE的长为_______．2）最值（范围）型例1．（2022·山东济宁·模拟预测）如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60 ，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．2变式1．（2022·江苏苏州·校联考一模）如图，菱形ABCD 的边长为∠ABC ＝60°，对角线AC 、BD 交于点O ．点E 为直线AD 上的一个动点，连接CE ，将线段EC 绕点C 顺时针旋转∠BCD 的角度后得到对应的线段CF （即∠ECF ＝∠BCD ），DF 长度的最小值为_________．3）综合证明型例1．（2022·江苏南京·模拟预测）【探究发现】(1)如图1，正方形ABCD 两条对角线相交于点O ，正方形111A B C O 与正方形ABCD 的边长相等，在正方形111A B C O 绕点O 旋转过程中，边1OA 交边AB 于点M ，边1OC 交边BC 于点N ．①线段BM 、BN 、AB 之间满足的数量关系是________；②四边形OMBN 与正方形ABCD 的面积关系是OMBN S 四边形________ABCD S 正方形；【类比探究】(2)如图2，若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“含60°的菱形ABCD ”，即1160B OD DAB ，且菱形111OB C D 与菱形ABCD 的边长相等．当菱形111OB C D 绕点O 旋转时，保持边1OB 交边AB 于点M ，边1OD 交边BC 于点N ．请猜想：①线段BM 、BN 与AB 之间的数量关系是_________________；②菱形OMBN 与菱形ABCD 的面积关系是OMBN S 四边形________ABCD S 菱形；请你证明其中的一个猜想．【拓展延伸】(3)如图3，把（2）中的条件“1160B OD DAB ”改为“11DAB B OD ”，其他条件不变，则①BM BN BD________；（用含α的式子表示）②OMBN ABCD S S 四边形菱形________．（用含α的式子表示）变式1．（2022·重庆·九年级统考期中）如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC．（1）如图1，探究PG 与PC 的位置关系，写出你的猜想并加以证明；（2）如图1，若PG PC ，2BE ，求菱形BEFG 的面积．（3）如图2，将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的边BG 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，若60ABC BEF ，请直接写出PG 与PC 的数量关系．模型4.矩形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2022·江西·统考三模）如图，矩形ABCD 中，4AB ，2BC ，将矩形ABCD 绕着点A 顺时针旋转得到矩形AFGE ，当点F 落在边CD 上时，连接BF 、DE ，则ADE ABF S S （）A ．12B ．13C ．14D ．23变式1．（2022·江苏无锡·校考一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AB ′C ′D ′，AB ′交CD 于点E ，且DE ＝B ′E ，则AE 的长为_____．2）最值（范围）型例1．（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，BC =2AB ，点P 为边AD 上的一个动点，线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到线段BP '，连接PP '，CP '．当点P '落在边BC 上时，∠PP 'C 的度数为________；当线段CP '的长度最小时，∠PP 'C 的度数为________变式1．（2022·江苏·江阴市华士实验中学一模）如图，在矩形ABCD 中，3AB cm ，6AD cm ，点P 为边AD 上一个动点，连接CP ，点P 绕点C 顺时针旋转90 得到点P ，连接CP 并延长到点E ，使2CE CP ，以CP 、CE 为邻边作矩形PCEF ，连接DE 、DF ，则DEF 和DCE △面积之和的最小值为______．3）分类讨论型例1．（2022·江苏·一模）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°≤θ≤360°），得到矩形AEFG．（1）当点E在BD上时，求证：AF∥BD；（2）当GC＝GB时，求θ；（3）当AB＝10，BG＝BC＝13时，求点G到直线CD的距离．4）综合证明型例1．（2022·重庆·一模）矩形ABCD中．∠ADB＝30°，△AEF中，∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，AE12BD．连接EC，点G是EC中点．将△AEF绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°）．(1)如图1，若A恰好在线段CE延长线上，CD＝2，连接FG，求FG的长度；(2)如图2，若点F 恰好落在线段EC 上，连接BG ．证明：2（GC ﹣GB ）3；(3)如图3，若点F 恰好落在线段BA 延长线上，M 是线段BC 上一点，3BM ＝CM ，P 是平面内一点，满足∠MPC ＝∠DCE ，连接PF ，已知CD ＝2，求线段PF 的取值范围．变式1．（2022·四川·眉山市东坡区模拟预测）如图，Rt △ABE 中，∠B=90°，AB=BE ，将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，过D 作DC ⊥BE 交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分∠HDC ；②DO=OE ；③H 是BF 的中点；④BC-CF=2CE ；⑤CD=HF ，其中正确的有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个模型5.正方形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2022·河南·平顶山市模拟预测）如图，正方形ABCD 的顶点B 在原点，点D 的坐标为（4，4），将AB 绕点A 逆时针旋转60°，使点B 落在点B ′处，DE ⊥BB ′于点E ，则点E 的坐标为（）A ． 31B ． 31C ． 31D ．31 变式1．（2022·辽宁辽宁·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是OD的中点，连接CE 并延长交AD 于点G ，将线段CE 绕点C 逆时针旋转90°得到CF ，连接EF ，点H 为EF 的中点．连接OH ，则GE OH的值为_______．2）最值（范围）型例1．（2022·江苏扬州·三模）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，连接DF ，CF ，则DF ＋CF 的最小值是（）A ．B ．C ．D ．变式1．（2022·安徽合肥·二模）正方形ABCD 中，4 AD ，点E 为AB 边上一动点（不与A 、B 重合），将DAE 绕点D 逆时针旋转90°得到DCF ，过E 作EG DF ∥交BC 于点G ．则GC 的最小值为（）．A ．2BC ．D ．33）路径（轨迹）型例1．（2022·浙江·九年级期末）如图所示，正方形ABCD 的边长为4，点E 为线段BC 上一动点，连结AE ，将AE 绕点E 顺时针旋转90°至EF ，连结BF ，取BF 的中点M ，若点E 从点B 运动至点C ，则点M 经过的路径长为（）A．2B．C．D．4变式1．（2022·山西·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为O为正方形的中心，点，垂足为点E，F为边AB的中点，点G为线段AF上一动点，直线GO交CD于点H，过点D作DE GO当点G从点A运动到点F时，点E所经过的路径长是（）A．12πB．C． D．224）分类讨论型例1．（2022·云南昆明·统考二模）如图，大正方形ABCD中，3AB ，小正方形AEFG中，AE正方形绕A点旋转的过程中，当C，F，G三点共线时，线段CF的长为_______．变式1．（2022·湖北模拟预测）如图，以AB为边作边长为8的正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD 的边上运动，且PQ＝8，若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，点Q只能在线段AD 上运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长为_____．5）综合证明型例1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD 是正方形，△ECF 为等腰直角三角形，∠ECF ＝90°，点E 在BC 上，点F 在CD 上，P 为EF 中点，连接AF ，G 为AF 中点，连接PG ，DG ，将Rt △ECF 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．(1)如图1，当α＝0°时，DG 与PG 的关系为；(2)如图2，当α＝90°时①求证：△AGD ≌△FGM ；②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．变式1．（2022·南充·中考真题）如图，正方形ABCD 边长为1，点E 在边AB 上（不与A ，B 重合），将ADE V 沿直线DE 折叠，点A 落在点1A 处，连接1A B ，将1A B 绕点B 顺时针旋转90 得到2A B ，连接112,,A A AC A C ．给出下列四个结论：①12ABA CBA ≌△△；②145ADE ACB ；③点P 是直线DE 上动点，则1CP A P 的④当30ADE 时，1A BE 的面积36．其中正确的结论是_________．（填写序号）课后专项训练1．（2022·浙江·九年级期末）如图，在ABCD Y 中，=45ABC ，2AB ，将点B 绕点A 逆时针旋转120 得到点E ，点E 落在线段BD 上，在线段BE 上取点F ，使BF DE ，连结AE ，CF ，则EF 的长为（）A ．2B ．2C ．2D ．32．（2022·河南·模拟预测）如图，在菱形OBCD 中，OB=1，相邻两内角之比为1：2，将菱形OBCD 绕顶点O 顺时针旋转90°，得到菱形OB′C′D′，则点C′的坐标为（）A ．（32B ．-32）C ．（32，D ．32）4．（2022·山东·滕州市一模）在矩形ABCD 中，AD =2AB =4，E 为AD 的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E 重合，将三角板绕点E 旋转，三角板的两直角边分别交AB 、BC （或它们的延长线）于点M 、N ，设∠AEM =α（0°＜α＜90°），给出四个结论：①AM ＝CN ②∠AME ＝∠BNE③BN －AM ＝2④22cos EMN S.上述结论中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．（2020·湖北孝感·中考真题）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，将ADE V 绕点A 顺时针旋转90 到ABF △的位置，连接EF ，过点A 作EF 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点G ．若3BG ，2CG ，则CE的长为（）A ．54B ．154C ．4D ．926．（2022·四川眉山·中考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，将EDC △绕点C 逆时针旋转90 至HBC ，点D ，B ，H 在同一直线上，HE 与AB 交于点G ，延长HE 与CD 的延长线交于点F ，2HB ，3HG ．以下结论：①135EDC ；②2EC CD CF ；③HG EF ；④2sin 3CED ．其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2022·江苏扬州·三模）如图，在等边△ABC 和等边△CDE 中，AB ＝6，CD ＝4，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．若将△CDE 绕点C 旋转一周，则线段AF 的最小值是______．8．（2022·山东济南·九年级统考期末）如图，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，∠A ＝60°，E 是边AD 上且AE ＝2DE ，F 是射线AB 上的一个动点，将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°，得到EG ，连接BG 、DG ，则BG －DG 的最大值为________．9．（2022·江苏·南京市花园中学模拟预测）ABCD Y 中，2CD ，4BC ，BD ，对角线AC ，BD 交于点O ，将CDO 绕点O 顺时针旋转，使点D 落在AD 上'D 处，点C 落在'C 处，'C O 交AD 于点P ，则'OPD 的面积是___________．10．（2022·山西·九年级专题练习）如图，菱形ABCD 中，AB ＝12，∠ABC ＝60°，点E 在AB 边上，且BE ＝2AE ，动点P 在BC 边上，连接PE ，将线段PE 绕点P 顺时针旋转60°至线段PF ，连接AF ，则线段AF 长的最小值为___．11．（2022·新疆·中考真题）如图，四边形ABCD 是正方形，点E 在边BC 的延长线上，点F 在边AB 上，以点D 为中心将DCE △绕点D 顺时针旋转90 与DAF △恰好完全重合，连接EF 交DC 于点P ，连接AC 交EF 于点Q ，连接BQ ，若·AQ DP BQ ______．12．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知正方形ABCD 与正方形AEFG ，正方形AEFG 绕点A 旋转一周．(1)如图①，连接BG 、CF ，求CF BG的值；(2)当正方形AEFG 旋转至图②位置时，连接CF 、BE ，分别取CF 、BE 的中点M 、N ，连接MN 、试探究：MN 与BE 的关系，并说明理由；(3)连接BE 、BF ，分别取BE 、BF 的中点N 、Q ，连接QN ，AE =6，请直接写出线段QN 扫过的面积．13．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形ABCD 中，4,3AB AD ，点E 在折线BCD 上运动，将AE 绕点A 顺时针旋转得到AF ，旋转角等于BAC ，连接CF ．(1)当点E 在BC 上时，作FM AC ，垂足为M ，求证AM AB ；(2)当AE时，求CF 的长；(3)连接DF ，点E 从点B 运动到点D 的过程中，试探究DF 的最小值．14．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．如图①，在矩形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边BC 、AB 、AD 的中点，连接EF 、DF ，H 为DF 的中点，连接GH ．将△BEF 绕点B 旋转，线段DF 、GH 和CE 的位置和长度也随之变化．当△BEF 绕点B 顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中，AB =BC ，此时点E 落在AB 的延长线上，点F 落在线段BC 上，连接AF ，猜想GH 与CE 之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中，AB =2，BC =3，则GH CE ；(3)当AB =m ,BC =n 时．GH CE ．(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC ，并沿对角线AC 剪开，得△ABC （如图④)．点M 、N 分别在AC 、BC 上，连接MN ，将△CMN 沿MN 翻折，使点C 的对应点P 落在AB 的延长线上，若PM 平分∠APN ，则CM 长为．15．（2022·福建泉州·九年级统考期末）如图1，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，以点A 为旋转中心，将菱形ABCD 逆时针旋转α（0°＜α＜30°）得到菱形'''AB C D ，''C D 交对角线AC 于点M ，边AB 的延长线交''B C 于点N ．（1）当''D M B N ＝时，求α的度数；（2）如图2，对角线B 'D '交AC 于点H ，交AN 于点G ，延长''C D 交AD 于点E ，连接EH ，若菱形ABCD 的周长为正数a ，试探索：在菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜30°）的过程中，'EHD △的周长是否为定值，若是，试求出此定值；若不是，请说明理由．16．（2022·重庆·二模）如图1，在平行四边形ABCD 中，AD AC ，AD AC ，等腰Rt CEF 绕点C 旋转，90ECF ，连接BF ．(1)当4AD AC ，CE CF ，1tan2ACE 时，求BF 的长．(2)如图2，若P 、Q 、H 分别是AF 、EF 、AB 的中点，连接PQ 、QH ，猜想线段PQ 、QH 的数量关系并证明；(3)如图3，若AD AC ，CE CF CEF 在旋转过程中，连接AE 、BE ，当BE AE 有最大值时，把BFC 沿着BC 翻折到与BFC 同一平面内得到BHC ，连接EH ，请直接写出BEH 的面积．17．（2021·山东济南·中考真题）在ABC 中，90BAC ，AB AC ，点D 在边BC 上，13BD BC ，将线段DB 绕点D 顺时针旋转至DE ，记旋转角为 ，连接BE ，CE ，以CE 为斜边在其一侧制作等腰直角三角形CEF ．连接AF ．（1）如图1，当180 时，请直接写出．．．．线段AF 与线段BE 的数量关系；（2）当0180 时，①如图2，（1）中线段AF 与线段BE 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当B ，E ，F 三点共线时，连接AE ，判断四边形AECF 的形状，并说明理由．18．（2020·重庆·中考真题）△ABC 为等边三角形，AB =8，AD ⊥BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE =．以AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点．（1）如图1，EF 与AC 交于点G ，连接NG ，求线段NG 的长；（2）如图2，将△AEF 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，M 为线段EF 的中点，连接DN ，MN ．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN ．在△AEF 绕点A 逆时针旋转过程中，当线段BN 最大时，请直接写出△ADN 的面积．。
初中数学突破中考压轴题几何模型之旋转模型(、)
年初中数学突破中考压轴题几何模型之旋转模型(、)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23 旋转提升专题知识点一 旋转构造全等几何变换——旋转旋转中的基本图形利用旋转思想构造辅助线⎧⎨⎩（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形4 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化二利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形三 旋转变换前后具有以下性质：（1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ．【例题精讲】例1.在四边形ABCD 中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD ，DP ⊥AB 于P ，若S ABCD =25，求DP 的长。
例2.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ．⑴求证：AMB ENB ∆∆≌⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由；⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长．ENMDCBA5 方法总结:1、共顶点的等线段中，最常用旋转思路，但也不可以思维定势，辅助线叙述中用一般语言2、旋转变换还用于处理：①几何最值问题：几何最值两个重要公理依据是：两点之间线段最短和垂线段最短； ②有关线段的不等关系； ③自己构造绕某点旋转某角度（特别是60度），把共顶点的几条线段变为首尾相接的几条线段，再变为共线取得最小值问题，计算中常用到等腰三角形或勾股定理等知识。
(完整)圆和旋转压轴题解题技巧与近几年中考试题汇总,推荐文档
如何短时间突破数学压轴题还有不到一个月的时间就要进行期中考试了，期中考试的重要性不必多说。
各区期中考试的范围相信学生们都已经非常清楚。
个人觉得现在大部分学生的困难在于旋转、圆，由于时间比较紧张，给大家一些复习资料和学习方法，希望能够帮到大家。
一、旋转：纵观几年的数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转，在此给出旋转中最常见的几何模型和一些解题技巧。
旋转模型： 1、三垂直全等模型三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。
EDCABE D CAB2、手拉手全等模型 手拉手全等基本构图：CCCABDEABDEEDBAEDCBAEDCBAABCDEEDCBAEDCBA3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转180°)(2) 等腰直角三角形(旋转90°)A'DCBAF'D'FEDCA(3) 等边三角形旋转(旋转60°)(4) 正方形旋转(旋转90°)②①FEDCBAPFEDCBAGFEDCBA4、半角模型半角模型所有结论：在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF =45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N .求证：NM FEDC BAGO AHN MFEDCB(1) BE +DF =EF ；(2) S △ABE +S △ADF =S △AEF ； (3) AH =AB ； (4) C △ECF =2AB ； (5) BM 2+DN 2=MN 2；(6) △DNF ∽△ANM ∽△AEF ∽△BEM ；相似比为1：2(由△AMN 与△AEF 的高之比AO ： AH =AO ：AB =1：2而得到)；M E DC BA(7) S △AMN =S 四边形MNFE ；(8) △AOM ∽△ADF ，△AON ∽△ABE ；(9) ∠AEN 为等腰直角三角形，∠AEN =45°.(1. ∠EAF =45°；2.AE ：AN =1：2)解题技巧：1.遇中点，旋180°，构造中心对称例：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，ABC α∠=，在四边形BDEC 中，DB DE =，2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM ，DM ．⑴ 在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形； ⑵ 求证：AM DM ⊥；⑶ 当α=___________时，AM DM =．[解析]⑴ 如图所示；⑵ 在⑴的基础上，连接AD AF ，由⑴中的中心对称可知，DEM FCM △≌△，∴DE FC BD ==，DM FM =，DEM FCM ∠=∠， ∵360ABD ABC CBD BDE DEM BCE α∠=∠+∠=+︒-∠-∠-∠360DEM BCE α=︒--∠-∠，360360ACF ACE FCM BCE FCM α∠=︒-∠-∠=︒--∠-∠， ∴ABD ACF ∠=∠，∴ABD ACF △≌△，∴AD AF =， ∵DM FM =，∴AM DM ⊥．⑶ 45α=︒．2.遇90°。
初中数学突破中考压轴题几何模型之旋转模型(5、26)
以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化二利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质：（1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ．【例题精讲】例1.在四边形ABCD 中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD ，DP ⊥AB 于P ，若S ABCD =25，求DP 的长。
例2.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ．⑴求证：AMB ENB ∆∆≌⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长．ENMDCB A2.如图，正方形ABCD 边长为3，点E 、F 分别在边BC 、CD 上且EAF=45°,求△CEF 的周长。
知识点三（知识点名称） 【例题精讲】1.例2.1.FECBDA2.3.旋转的性质，利用旋转构造全等，利用全等构造特殊三角形。
额外拓展：如图，已知抛物线322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，该抛物线顶点为D ，对称轴交x 轴于点H 。
（1）求A,B 两点的坐标；（2）设点P 在x 轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB 时，求出点P 的坐标；（3）以OB 为边在第四象限内作等边△OBM ，设点E 为x 轴的正半轴上一动点（OE>OH ），连接ME ，把线段ME 绕点M 顺时针旋转60°得MF ，求线段DF 的长的最小值。
(简略版)中考数学旋转模型及例题
(简略版)中考数学旋转模型及例题本文档旨在介绍中考数学中的旋转模型及相关例题。
以下是一些常见的旋转模型及其解题方法。
1. 点绕原点旋转当一个点绕原点进行旋转时，可以利用坐标系中点的坐标变化来解题。
假设有点P(x, y)绕原点逆时针旋转α角后得到的点为P'(x', y')，则有以下结论：- P'的横坐标x' = x * cosα - y * sinα- P'的纵坐标y' = x * sinα + y * cosα下面是一个例子：例题：点A(2, 3)绕原点逆时针旋转90°，求旋转后点的坐标。
解题思路：根据上述结论，带入坐标值可得：- A'的横坐标x' = 2 * cos90° - 3 * sin90° = -3- A'的纵坐标y' = 2 * sin90° + 3 * cos90° = 2因此，点A旋转90°后得到的点为A'(-3, 2)。
2. 图形绕原点旋转当一个图形绕原点进行旋转时，可以先找出图形中的点坐标，然后通过点的旋转来确定旋转后整个图形的形状和位置。
下面是一个例子：例题：如图所示的三角形ABC绕原点逆时针旋转60°，连接旋转后的点A', B', C'，求旋转后的三角形ABC'的面积。
解题思路：- 首先，可以求出点A(2, 3)、B(4, 5)、C(6, 1)绕原点逆时针旋转60°后的点坐标。
- 然后，连接旋转后的点A', B', C'得到旋转后的三角形。
- 最后，计算旋转后的三角形ABC'的面积。
通过上述步骤可以得到旋转后的三角形ABC'的面积。
以上是中考数学旋转模型的一些例题和解题思路。
旋转模型在中考数学中经常出现，掌握了旋转模型的解题方法，可以更好地应对考试中的相关问题。
【吃透中考数学29个几何模型】模型05 等腰旋转模型
专题05 等腰旋转模型一、解答题1．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若△CAB＝△CBA＝△CDE＝△CED＝50°．△求证：AD＝BE；△求△AEB的度数．（2）如图2，若△ACB＝△DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．【答案】（1）△见解析；△80°；（2）AE＝2CF+BE，理由见解析．【分析】（1）△通过角的计算找出△ACD=△BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD△△BCE，由此即可得出结论AD=BE；△结合△中的△ACD△△BCE可得出△ADC=△BEC，再通过角的计算即可算出△AEB的度数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．【详解】（1）△证明：△△CAB＝△CBA＝△CDE＝△CED＝50°，△△ACB＝△DCE＝180°﹣2×50°＝80°，△△ACB＝△ACD+△DCB，△DCE＝△DCB+△BCE，△△ACD＝△BCE，△△ACB，△DCE都是等腰三角形，△AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ACD△△BCE （SAS ）， △AD ＝BE ．△解：△△ACD△△BCE ， △△ADC ＝△BEC ，△点A 、D 、E 在同一直线上，且△CDE ＝50°， △△ADC ＝180°﹣△CDE ＝130°， △△BEC ＝130°，△△BEC ＝△CED+△AEB ，△CED ＝50°， △△AEB ＝△BEC ﹣△CED ＝80°． （2）结论：AE ＝2CF+BE ．理由：△△ACB ，△DCE 都是等腰直角三角形， △△CDE ＝△CED ＝45°， △CF△DE ，△△CFD ＝90°，DF ＝EF ＝CF ， △AD ＝BE ，△AE ＝AD+DE ＝BE+2CF ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形全等的证明，正确理解等腰三角形的性质以及三角形全等的证明是本题的解题关键．2．在△ABC 中，△BAC=90°，AC=AB ，点D 为直线BC 上的一动点，以AD 为边作△ADE （顶点A ､D ､E 按逆时针方向排列），且△DAE=90°△AD=AE ，连接CE ．（1）如图1，若点D 在BC 边上（点D 与B ､C 不重合）， △求证：△ABD△△ACE ； △求证：222DE BD CD =+（2）如图2，若点D 在CB 的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE 的面积为____．（3）如图3，若点D 在BC 的延长线上，以AD 为边作等腰Rt△ADE ，△DAE=90°，连结BE ，若BE=10，BC=6，则AE 的长为______．【答案】（1）△见解析；△见解析；（2）1694；（3【分析】（1）△根据△BAC=△DAE ，推出△BAD=△CAE ，再结合AB=AC ，AD=AE ，即可证明△ABD△△ACE ，△根据△ABD=△ACE ，可得△ABD+△ACB=△ACE+△ACB=△BCE ，根据BD=CE ，即可证明结论； （2）过点A 作AF△DE 于点F ，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质，易得AF ＝12DE ，利用全等三角形的判定定理可得△ABD△△ACE ，由全等三角形的性质可得△ADB ＝△AEC ，DB ＝EC ，易得EC ＝5，DC ＝12，利用勾股定理可得DE 的长，利用三角形的面积公式可得结论；（3）根据Rt△BCE 中，BE ＝10，BC ＝6，求得CE 8，进而得出CD ＝8−6＝2，在Rt△DCE 中，求得DE △ADE 是等腰直角三角形，即可得出AE 的长． 【详解】（1）△△△BAC=△DAE ， △△BAD=△CAE ， 又△AB=AC ，AD=AE ， △△ABD△△ACE ， △△△ABD△△ACE△ △△ABD=△ACE△BD=CE△22222 DE CD CE CD BD∴=+=+；（2）过点A作AF△DE于点F．△AD＝AE，△点F是DE的中点，△△DAE＝90°，△AF＝12 DE，同理可证△ABD△△ACE，△△ADB＝△AEC，DB＝EC，△DB＝5，BC＝7，△EC＝5，DC＝12，△△DAE＝90°，△△ADE＋△AED＝90°，△△ADC＋△CDE＋△AED＝90°，△△AEC＋△AED＋△CDE＝90°，即△CED＋△CDE＝90°，△△ECD＝90°，△DE2＝CE2＋CD2＝25＋144＝169，△DE＞0，△DE＝13，△AF＝132，△△ADE的面积为＝12DE•AF＝12×13×132＝1694；（3）由（1）可知：△ABD△△ACE△△BD△CE△△ABD△△ACE△△Rt△BCE 中，BE ＝10，BC ＝6，△CE 8， △BD ＝CE ＝8， △CD ＝8−6＝2，△Rt△DCE 中，DE △△ADE 是等腰直角三角形，△AE【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，还有等腰三角形的性质等，综合利用定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．3．如图1，在Rt△ABC 中，△A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值． 【答案】（1）PM ＝PN ，PM △PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论； （3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD最大是14AB AD +=，即可得出结论． 【详解】 解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=， PM PN ∴=，//PN BD ， DPN ADC ∴∠=∠， //PM CE ， DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒， PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形． 由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =，利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠， MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠， 90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒， 90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大， //DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，AN =MN ∴==最大，22211114922242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．4．（1）操作发现：将等腰Rt ABC 与等腰Rt ADE 按如图1方式叠放，其中90︒∠=∠=ACB ADE ，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，M 为BE 的中点，连结CM ，DM ．小明发现CM DM =，你认为正确吗？请说明理由．（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰Rt ADE 绕点A 沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：探究一：将图1中的等腰Rt ADE 绕点A 沿逆时针方向旋转45︒（如图2），其他条件不变，发现结论CM DM =依然成立．请你给出证明．探究二：将图1中的等腰Rt ADE 绕点A 沿逆时针方向旋转135︒（如图3），其他条件不变，则结论CM DM =还成立吗？请说明理由．【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析 【分析】（1）连接DM 并延长，作BN△AB ，与DM 的延长线交于N ，连接CN ，先证明△EMD△△BMN ，得到BN=DE=DA ，再证明△CAD△△CNB ，得到CD=CN ，证明△DCM 是等腰直角三角形即可； （2）探究一：延长DM 交BC 于N ，根据平行线的性质和判定推出△DEM=△MBC ，根据ASA 推出△EMD△△BMN ，证出BN=AD ，证明△CMD 为等腰直角三角形即可；探究二：作BN△DE 交DM 的延长线于N ，连接CN ，根据平行线的性质求出△E=△NBM ，根据ASA 证△DCA△△NCB ，推出△DCN 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出△CMD 为等腰直角三角形． 【详解】解：（1）如图一，连接DM 并延长，作BN△AB ，与DM 的延长线交于N ，连接CN ，△△EDA=△ABN=90°， △DE△BN ， △△DEM=△MBN ， △在△EMD 和△BMN 中，DEM NBM EM BMEMD NMB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△EMD△△BMN （ASA ）， △BN=DE=DA ，MN=MD ， 在△CAD 和△CNB 中，45AC BC A CBN BN DA =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， △△CAD△△CNB ， △CD=CN ，△△DCN 是等腰直角三角形，且CM 是底边的中线， △CM△DN ，△△DCM 是等腰直角三角形， △DM=CM ； （2）探究一，理由：如图二，连接DM 并延长DM 交BC 于N ， △△EDA=△ACB=90°， △DE△BC ， △△DEM=△MBC ， △在△EMD 和△BMN 中，DEM NBM EM BMEMD NMB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△EMD△△BMN （ASA ）， △BN=DE=DA ，MN=MD △AC=BC ， △CD=CN ，△△DCN 是等腰直角三角形，且CM 是底边的中线， △CM△DM ，△DCM=12△DCN=45°=△BCM ， △△CMD 为等腰直角三角形． △DM=CM ； 探究二，理由：如图三，连接DM ，过点B 作BN△DE 交DM 的延长线于N ，连接CN ， △△E=△MBN=45°．△点M 是BE 的中点， △EM=BM ．△在△EMD 和△BMN 中，E MBN EM BMDME NMB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△EMD△△BMN （ASA ）， △BN=DE=DA ，MN=MD ， △△DAE=△BAC=△ABC=45°， △△DAC=△NBC=90° △在△DCA 和△NCB 中DA BN DAC NBC CA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△DCA△△NCB （SAS ）， △△DCA=△NCB ，DC=CN ， △△DCN=△ACB=90°，△△DCN 是等腰直角三角形，且CM 是底边的中线， △CM△DM ，△DCM=12△DCN=45°=△CDM ， △△CMD 为等腰直角三角形． △DM=CM【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度较大．5．在ABC 中，AB AC =，D 是直线BC 上一点（不与点B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE .（1）如图，当 D 在线段BC 上时，求证：BD CE =.（2）如图，若点D 在线段CB 的延长线上，BCE α∠=，BAC β∠=.则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由.（3）如图，当点D 在线段BC 上，90BAC ∠=︒，4BC =，求DCES 最大值.【答案】（1）见解析；（2）αβ=，理由见解析；（3）2 【分析】（1）证明()ABD ACE SAS ≅△△，根据全等三角形的性质得到BD CE =；（2）同（1）先证明()ABD ACE SAS ≅△△，得到△ACE=△ABD ，结合等腰三角形的性质和外角和定理用不同的方法表示△ACE ，得到α和β关系式；（3） 同（1）先证明()ABD ACE SAS ≅△△，得到ABC ADCE S S ∆=四边形，那么DCE ADE ADCE S S S ∆∆=-四边形，当AD BC ⊥时，ADE S ∆最小，即DCE S ∆最大． 【详解】解：（1）△BAC DAE ∠=∠，△BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠， △BAD CAE ∠=∠， 在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ABD ACE SAS ≅△△， △BD CE =；（2）同（1）的方法得()ABD ACE SAS ≅△△， △△ACE=△ABD ，△BCE=α， △△ACE=△ ACB+△BCE=△ACB+α， 在ABC 中， △AB= AC ，△BAC=β，△△ACB=△ABC =12(180°-β)= 90°-12β， △△ABD= 180°-△ABC= 90°+12β，△△ACE=△ACB +α= 90°-12β+α，△△ACE=△ABD = 90°+12β，△90°-12β+α= 90°+12β，△α = β；（3）如图，过A 做AH BC ⊥于点H ， △AB AC =，90BAC ∠=︒， △45ABC ∠=︒，122BH AH BC ===， 同（1）的方法得，()ABD ACE SAS ≅△△，AEC ABD S S ∆∆∴=,AEC ADC ABD ADC S S S S ∆∆∆∆+=+，即142ABC ADCE S S BC AH ∆==⋅=四边形， △DCE ADE ADCE S S S ∆∆=-四边形， 当ADE S ∆最小时，DCE S ∆最大，∴当AD BC ⊥2AD =，时最小，2122ADE S AD ∆==， 422DCE S ∆∴=-=最大．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，解题的关键是抓住第一问中的那组全等三角形，后面的问题都是在这个基础上进行证明的．6．（1）问题发现与探究：如图1，,ACB DCE ∆∆都是等腰直角三角形，90ACB DCE ︒∠=∠=，点A ，D ，E 在同一直线上，CM AE ⊥于点M ，连接BD ，则：（1）线段AE ，BD 之间的大小关系是_________________； ADB =∠ ； （2）求证：AD=2CM+BD ；如图2，3，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ︒∠=，过点A 作直线，在直线上取点D ，45ADB ︒∠=，连接BD ，BD=1，AC=，则点C 到直线的距离是多少．【答案】（1）AE ＝BD ，90°；（2）证明见解析；2或2【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC ＝BC ，CE ＝CD ，由△ACB ＝△DCE ＝90°，得到△ACE ＝△BCD ，证得△ACD△△BCE ，根据全等三角形的性质得到AE ＝BD ，△AEC ＝△BDC ，根据邻补角的定义得到△AEC ＝135°即可得到结论；△根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．（2）如图2，过C 作CH△AD 于H ，CE△CD 交AD 于E ，于是得到△CDE 是等腰直角三角形，由（1）知，AE＝BD＝1，△ADB＝90°，根据勾股定理得到AB AC＝2，AD 角形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：△△△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，△AC＝BC，CE＝CD，△△ACB＝△DCE＝90°，△△ACE＝△BCD，在△ACE与△BCD中，AC＝BC，△ACE＝△BCD，CE＝CD，△△ACD△△BCE，△AE＝BD，△AEC＝△BDC，△△CED＝△CDE＝45°，△△AEC＝135°，△△BDC＝135°，△△ADB＝90°；故答案为：AE＝BD，90°；△证明：在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，△CM＝DM＝ME，△DE＝2CM，△AE＝DE＋AD＝2CM＋BE；（2）解：如图，过C作CH△AD于H，CE△CD交AD于E，则△CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AE＝BD＝1，△ADB＝90°，＝2，△AD△DE ＝AD−AE −1， △△CDE 是等腰直角三角形，△CH ＝12DE ＝2， 如图所示，过C 作CH△AD 于H ，CE△CD 交AD 于E ，则△CDE 是等腰直角三角形，由（1）知，AE ＝BD ＝1，△ADB ＝90°，△AB ＝2，△AD ＝AD ，△DE ＝AE ＋AD ＝1 △△CDE 是等腰直角三角形，△CH ＝12DE△点C故答案为： 2或2． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．7．直线m△n ，点A 、B 分别在直线m ，n 上（点A 在点B 的右侧），点P 在直线m 上，AP ＝13AB ，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，连接AC 交直线n 于点E ，连接PC ，且ABE 为等边三角形．（1）如图△，当点P在A的右侧时，请直接写出△ABP与△EBC的数量关系是，AP与EC的数量关系是．（2）如图△，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图△，当点P在A的左侧时，若△PBC AC的长．【答案】（1）△ABP＝△EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）7【分析】（1）根据等边三角形的性质得到△ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到△CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到△ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到△CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（3）过点C作CD△m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到△CAD＝△AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）△△ABE是等边三角形，△△ABE＝60°，AB＝BE，△将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，△△CBP＝60°，BC＝BP，△△ABP＝60°﹣△PBE，△CBE＝60°﹣△PBE，即△ABP＝△EBC，△△ABP△△EBC（SAS），△AP ＝EC ；故答案为：△ABP ＝△EBC ，AP ＝EC ； （2）成立，理由如下， △△ABE 是等边三角形， △△ABE ＝60°，AB ＝BE ，△将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ， △△CBP ＝60°，BC ＝BP ，△△ABP ＝60°﹣△PBE ，△CBE ＝60°﹣△PBE ， 即△ABP ＝△EBC ， △△ABP△△EBC （SAS ）， △AP ＝EC ；（3）过点C 作CD△m 于D ，△将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ， △△PBC 是等边三角形，2△PC ＝3，设AP ＝CE ＝t ，则AB ＝AE ＝3t ， △AC ＝2t ， △m△n ，△△CAD ＝△AEB ＝60°，△AD ＝12AC ＝t ，CD ＝， △PD 2+CD 2＝PC 2，△（2t ）2+3t 2＝9，△t （负值舍去），△AC ＝2t ＝7． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．8．（1）如图△，Rt ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 为BC 边上的一点，将ABD △绕点A 逆时针旋转90°至ACF ，作AE 平分DAF ∠交BC 于点E ，易证明：222BD CE DE +=．若DE ，则以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是______；（2）如图△，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，AB AD =，若四边形ABCD 的面积是32，CD =，求BC 的长度；（3）ABC 是以BC 为底的等腰直角三角形，点D 是ABC 所在平面内一点，且满足4=AD ，6BD =，2CD =，请画草图并求ADC ∠的度数．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）；（3）图见解析，135°或45° 【分析】（1）要判断以BD 、DE 、EC 为边的三角形形状，根据题干中所给条件，只需证明BD EC =即可； （2）先构造出ABE ADC △≌△，进而判断出CAE 是等腰直角三角形，四边形的面积等于ACE △的面积，由此求出AC ，CE 即可；（3）分情况讨论：△当点D 在ABC 内时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题；△当点D 在ABC 外时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题． 【详解】 解：（1）222BD CE DE +=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，2DE BD =，设BD a =，则DE =，2222a EC a ∴+=，EC a ∴=， BD EC ∴=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是等腰直角三角形．故答案：等腰直角三角形．（2）如图△，延长CB 至E ，使BE CD =，连接AE ， 在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒， 180ABC ADC ∴∠+∠=︒，180ABC ABE ∠+∠=︒，ABE ADC ∴∠=∠，在ABE △和ADC 中，,,,AB AD ABE ADC BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADC SAS ∴△≌△， AE AC ∴=，BAE DAC ∠=∠，90CAE BAE BAC DAC BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒， 212ACE S AC ∴=△， 四边形ABCD 的面积为32，ACE ABCD S S =△四边形，21322AC ∴=， 8AC ∴=（负值已舍），EC ∴==BC EC BE ∴=-==图△（3）△画图如图△，△．当点D 在ABC 内时，如图△，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，90BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BAD CAE SAS ∴≌，6BD CE ∴==，2DE ==2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒，4590135ADC ∴∠=︒+︒=︒；△当点D 在ABC 外时，如图△，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，90BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BAD CAE SAS ∴≌，6BD CE ∴==，2DE ==2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒，45ADC ∴∠=︒．综上所述，ADC ∠的度数为135°或45°．图△ 图△ 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．9．点C 为线段AB 上一点，以AC 为斜边作等腰Rt ADC ，连接BD ．在ABD △外侧，以BD 为斜边作等腰Rt BED ，连接EC ． （1）如图1，当△DBA =30︒时： △求证：AC =BD ；△判断线段EC 与EB 的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜△DBA ＜45°时，EC 与EB 的数量关系是否保持不变？如果不变，请你证明EC =EB ．【答案】（1）△证明见解析；△EC EB =，证明见解析；（2）EC 与EB 的数量关系保持不变，证明见解析． 【分析】（1）△先根据等腰三角形三线合一、直角三角形斜边上的中线可得12DF AC =，再根据直角三角形的性质可得12DF BD =，然后根据等量代换即可得证； △先根据等腰直角三角形的定义与性质、题△的结论可得CD DE EB ==，45ACD BDE ∠=∠=︒，再根据角的和差、三角形的外角性质可得60CDE ∠=︒，然后根据等边三角形的判定与性质可得EC DE =，由此即可得证；（2）先根据等腰直角三角形的性质、角的和差可得,AD CD ADB CDG =∠=∠，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD GD =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得45A DCG ∠=∠=︒，从而可得90BCG ∠=︒，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证．【详解】（1）△如图1，过点D 作DF AB ⊥于点F ，Rt ADC 是等腰三角形， DF ∴是斜边AC 上的中线，12DF AC ∴=， 又在Rt BDF 中，30DBA ∠=︒，12DF BD ∴=， 1122AC BD ∴=， 即AC BD =；△EC EB =，证明如下：Rt ADC 和Rt BED 都是等腰直角三角形，,CD AC DE EB BD ∴===，45ACD BDE ∠=∠=︒， 由△知，AC BD =，CD DE ∴=， 30∠=︒DBA ，15BDC ACD DBA ∴∠=∠-∠=︒，60CDE BDC BDE ∴∠=∠+∠=︒， CDE ∴是等边三角形，EC DE EB ∴==；（2）EC 与EB 的数量关系保持不变，证明如下：如图2，过点D 作BD 的垂线，交BE 延长线于点G ，连接CG ，90BDG ∴∠=︒，Rt ADC 是等腰直角三角形，,90,45AD CD ADC A ACD ∴=∠=︒∠=∠=︒，ADC BDC BDG BDC ∴∠+∠=∠+∠，即ADB CDG ∠=∠， Rt BED 是等腰直角三角形，45,DBE DE BE ∴∠=︒⊥，BDG ∴△是等腰直角三角形，且BD GD =，EB EG ∴=（等腰三角形的三线合一），在ABD △和CGD △中，AD CD ADB CDG BD GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CGD SAS ∴≅，45A DCG ∴∠=∠=︒，90ACG ACD DCG ∴∠=∠+∠=︒， 18090BCG ACG ∴∠=︒-∠=︒， BCG ∴是直角三角形，又EB EG =，∴点E 是BG 的中点，即EC 是斜边BG 上的中线，EC EB ∴=．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、直角三角形斜边上的中线、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．10．如图△，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC EC =，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．（1）BE 与MN 的数量关系是______．（2）将DEC ∆绕点C 逆时针旋转到图△和图△的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图△或图△进行证明．【答案】（1）BE =；（2）图（2）：BE =，图（3）：BE =，理由见解析． 【分析】（1）先证明AD=BE ，根据中位线定理证明△PMN 为等腰直角三角形，得到2PM MN =，再进行代换即可；（2）：如图（2）连接AD ，延长BE 交AD 于H ，交AC 于G ，先证明ACD BCE ≅△△，得到，AD=BE ，90AHB ∠=︒，根据中位线定理证明△PMN 为等腰直角三角形，得到2PM MN =，再进行代换即可． 【详解】解：（1）△Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =， △△BAC=△ABC=45° △AC BC =，DC EC =， △AD=BE ，△点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点， △PM ，PN 分别为△ABE ，△BAD 中位线， △PM△BE,PM=12BE,PN△AC,PN= 12AD, △PM=PN, △APM=△BPN=45°，△△PMN=90°，△△PMN为等腰直角三角形，△22sin22PM MN PNM MN MN =∠==，△2BE PM==，即BE=；（2）图（2）：BE=图（3）：BE=证明：如图（2）连接AD，延长BE交AD于H，交AC于G，90ACB DCE∠=∠=︒，DCA ECB∴∠=∠，DC EC=，AC BC=，ACD BCE∴≅△△，CAD CBE∴∠=∠，BE AD=，AGH CGE∠=∠，90 CAD AGH CBE CGE∴∠+∠=∠+∠=︒，90AHB∴∠=︒，P、M、N分别是AB、AE、BD的中点，//PN AD ∴，12PN AD=，//PM BE，12PM BE=，PM PN∴=，190 MPN AHB∠=∠=∠=︒，PMN∴△是等腰直角三角形，MN∴=，2BE PM∴==．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，中位线定理等知识，综合性较强，解题关键理解运用好中位线性质．11．将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，,,90OA OB OC OD AOB COD ︒==∠=∠=，连接,AC BD ．（1）如图1,若A O D 、、三点在同一条直线上，则AC 与BD 的关系是 ；（2）如图2，若A O D 、、三点不在同一条直线上,AC 与BD 相交于点E ，连接OE ,猜想AE BE OE 、、之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，在(2)的条件下作BC 的中点F ,连接OF ，直接写出AD 与OF 之间的关系．【答案】（1）AC BD =且AC BD ⊥；（2）AE BE =+；证明见解析；（3）2AD OF =且AD OF ⊥． 【分析】（1）根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长AC 交BD 于点C’进行角的等量代换进行分析即可； （2）根据题意在AE 上截取AM BE =,连接OM ，并全等三角形的判定证明AOC BOD ∆≅∆和AMO BEO ∆≅∆，进而利用勾股定理得出222OM OE ME +=进行分析求解即可；（3）过点B 作BM△OC ，交OF 的延长线于点M ，延长FO 交AD 于点N ，证明∆BFM△∆CFO ，∆AOD△∆OBM ，进而即可得到结论． 【详解】解：()1△,,90OA OB OC OD AOB COD ︒==∠=∠=，△(),AOC BOD SAS AC BD ≅=， 延长AC 交BD 于点C’，如下图：△,AOC BOD ≅'ACO BCC ∠=∠，△'''90,90ACO CAO BCC CBC BC C ︒︒∠+∠=∠+∠=∠=， 即AC BD ⊥，综上AC BD =且AC BD ⊥， 故答案为：AC BD =且AC BD ⊥；()2AE BE =+证明:在AE 上截取AM BE =,连接OM90AOB COD ︒∠=∠=AOB BOC COD BOC ∴∠+∠=∠+∠ AOC BOD ∴∠=∠在AOC ∆和BOD ∆中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOC BOD SAS ∴∆≅∆CAO DBO ∴∠=∠在AMO ∆和BEO ∆中AM BE MAO EBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AMO BEO SAS ∴∆≅∆ ,OM OE AOM BOE ∴=∠=∠90AOM MOB ︒∠+∠=90BOE BOM ︒∴∠+∠= 222OM OE ME ∴+=即222OE ME =ME =ME MA AE +=BE AE +=；()32AD OF =且AD OF ⊥△理由如下：过点B 作BM△OC ，交OF 的延长线于点M ，延长FO 交AD 于点N ， △BM△OC ， △△M=△FOC ，△△BFM=△CFO ，BF=CF, △∆BFM△∆CFO （AAS ）， △OF=MF ，BM=CO ， △DO=CO ， △DO=BM ，△BM△OC ，△△OBM+△BOC=180°，△△BOC+△AOD=360°-90°-90°=180°， △△OBM=△AOD ， 又△AO=BO ，△∆AOD△∆OBM （SAS ），△AD=OM=2OF ，△BOM=△OAD ， △△BOM+△AON=180°-90°=90°， △△OAD+△AON=90°，即OF△AD ． △2AD OF =且AD OF ⊥△【点睛】本题考查等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.12．在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A （4，0），点B （0，4），C 是AB 中点，连接OC ，将△AOC 绕点A 顺时针旋转，得到△AMN ，记旋转角为α，点O ，C 的对应点分别是M ，N ．连接BM ，P 是BM 中点，连接OP ，PN ．（△）如图△．当α＝45°时，求点M 的坐标；（△）如图△，当α＝180°时，求证：OP ＝PN 且OP △PN ；（△）当△AOC 旋转至点B ，M ，N 共线时，求点M 的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（△）M（4﹣，）；（△）见解析；（△）满足条件的点M的坐标为（2，2，﹣．【分析】（△）如图△中，过点M作MD△OA于D．解直角三角形求出OD，OM即可解决问题．（△）如图△，当α＝180°时，点B，A，N共线，O，A，M共线，利用直角三角形斜边中线定理即可解决问题．（△）分两种情形：△如图△−1中，当点M在线段BN上时，△如图△−2中，当点N在线段BM上时，分别求解即可解决问题．【详解】（△）如图△中，过点M作MD△OA于D．△A（4，0），B（0，4），△OA＝OB＝4，△C是AB的中点，△OC＝CB＝CA＝12AB，且OC△AB，△△AOC是等腰直角三角形，△当α＝45°时，点M在AB上，由旋转可知：△AOC△△AMN，△AM＝OA＝4．MD＝AD AM＝，△OD＝OA＝AD＝4﹣，△M（4﹣，）．（△）如图△，当α＝180°时，点B，A，N共线，O，A，M共线，△△BNM＝△BOM＝90°，P是BM的中点，△OP＝PN＝PB＝PM，△△PMN＝△PNM，△POB＝△PBO，△△NPM＝180°﹣2△PMN，△BPO＝180°﹣2△PBO，△△MPN+△BPO＝360°﹣2（△PMN+△PBO）△△MPN+△BPO＝360°﹣2（45°+△PMO+△PBO），△△PMO+△PBO＝90°，△△MPN+△BPO＝90°，△△OPN＝180°﹣（△MPN+△BPO）＝90°，△OP△PN．（△）△如图△﹣1中，当点M在线段BN上时，在Rt△ABN中，△AB＝，AN＝，△AB＝2AN，△△ABN＝30°，△BN＝，BM＝BN＝MN＝﹣，过点M作MK△OB于K，在MK上截取一点J，使得BJ＝MJ，设BK＝a，△△ABO＝45°，△△MBK＝75°，△KMB＝15°，△JB＝JM，△△JBM＝△JMB＝15°，△△BJK＝△JBM+△JMB＝30°，△BJ＝JM＝2a，KJ a，△BM2＝BK2+KM2，△（﹣）2＝a2+（2a）2，解得a＝4﹣，△KM＝2a a＝2，OK＝，△M（2，，△如图△﹣2中，当点N在线段BM上时，同法可得M（2，﹣，综上所述，满足条件的点M的坐标为（2，2，﹣）．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．13．已知点(),A a m 在双曲线8y x=上且0m <，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B （1）如图1，当2a =-时，(),0P t 是x 轴上的动点，将点B 绕点P 顺时针旋转90°至点C △若1t =，直接写出点C 的坐标；△若双曲线8y x=经过点C ，求t 得值； （2）如图2，将图1中的双曲线()80y x x =>沿y 轴折叠得到双曲线()80y x x =-<，将线段OA 绕点O旋转，点A 刚好落在双曲线()80y x x=-<上的点(),D d n 处，求m 和n 的数量关系．【答案】（1）△C （1，3）；△t=-4 或2；（2）m+n=0或mn=-8． 【分析】（1）△如图1-1中，求出PB 、PC 的长即可解决问题；△图1-2中，由题意C （t ，t+2），理由待定系数法，把问题转化为方程解决即可； （2）分两种情形△当点A 与点D 关于x 轴对称时，A （a ，m ），D （d ，n ），可得m+n=0． △当点A 绕点O 旋转90°时，得到D′，D′在8y x=-上，作D′H△y 轴，则△ABO△△D′HO ，推出OB=OH ，AB=D′H ，由A （a ，m ），推出D′（m ，-a ），即D′（m ，n ），由D′在8y x=-上，可得mn=-8； 【详解】解：（1）△如图1-1中，由题意：B（-2，0），P（1，0），PB=PC=3，△C（1，3）．△图1-2中，由题意C（t，t+2），△点C在8yx=上，△t（t+2）=8，△t=-4 或2；（2）如图2中，△当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），△m+n=0．△当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在8yx=-上，作D′H△y轴，△△AOB+△BOD′=90°，△D′OH=△△BOD′=90°，△△AOB=△D′OH，△AO=D′O，△ABO=△D′OH=90°，则△ABO△△D′HO（AAS），△OB=OH，AB=D′H，△A（a，m），△D′（m，-a），即D′（m，n），△D′在8yx=-上，△mn=-8，综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=-8．【点睛】本题考查反比例函数综合题、旋转变换、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．14．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，△BAC＝90°，BF平分△ABC，CD△BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．【答案】见解析【分析】作BF的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分△ABC就可以得出△ABE＝△DBC＝22.5°，从而可以得出△BAE＝△BAE＝△ACD＝22.5°，△AEF＝45°，由△BAC＝90°，△BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC△△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．【详解】解：取BF的中点E，连接AE，AD，△△BAC ＝90°， △AE ＝BE ＝EF ， △△ABD ＝△BAE ， △CD △BD ，△A ，B ，C ，D 四点共圆， △△DAC ＝△DBC ， △BF 平分△ABC ， △△ABD ＝△DBC ， △△DAC ＝△BAE ， △△EAD ＝90°， △AB ＝AC ， △△ABC ＝45°，△△ABD ＝△DBC ＝22.5°， △△AED ＝45°， △AE ＝AD ，在△ABE 与△ADC 中，ABE DAC BAE ACD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ABE △△ADC ， △BE ＝CD ， △BF ＝2CD ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．15．（2017观成周考）在△ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上的一点（不与B ，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD =AE ，△DAE =△BAC ，连接CE ，设△BAC =α，△BCE =β． （1）如图，当点D 在线段BC 上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由． （2）当点D 在直线BC 上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）α＋β=180°，理由见解析；（2）当点D 在线段BC 上移动或点D 在BC 延长线上移动时，α＋β=180°；当点D 在CB 延长线上移动时，α=β，理由见解析． 【分析】（1）利用SAS 证出△DAB△△EAC ，可得△B=△ACE ，然后根据三角形的内角和定理即可求出结论； （2）根据点D 的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理和三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）α＋β=180°，理由如下 △△DAE =△BAC△△DAE －△DAC=△BAC －△DAC △△EAC=△DAB 在△DAB 和△EAC 中AB AC DAB EAC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△DAB△△EAC △△B=△ACE△△BAC ＋△B ＋△ACB=180° △α＋△ACE ＋△ACB=180° △α＋△BCE=180° △α＋β=180°（2）△当点D 在线段BC 上移动时，由（1）知α＋β=180°； △当点D 在BC 延长线上移动时，如下图所示△△DAE =△BAC△△DAE ＋△DAC=△BAC ＋△DAC △△EAC=△DAB 在△DAB 和△EAC 中AB AC DAB EAC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△DAB△△EAC △△B=△ACE△△BAC ＋△B ＋△ACB=180° △α＋△ACE ＋△ACB=180° △α＋△BCE=180° △α＋β=180°△当点D 在CB 延长线上移动时，如下图所示，连接BE△△DAE =△BAC△△DAE －△BAE=△BAC －△BAE △△DAB=△EAC 在△DAB 和△EAC 中AB AC DAB EAC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△DAB△△EAC △△ABD=△ACE△△ABD=△BAC ＋△BCA ，△ACE=△BCA ＋△BCE △△BAC ＋△BCA=△BCA ＋△BCE △△BAC=△BCE △α=β．综上：当点D 在线段BC 上移动或点D 在BC 延长线上移动时，α＋β=180°；当点D 在CB 延长线上移动时，α=β． 【点睛】此题考查的是全等三角形判定及性质、三角形的内角和定理和三角形外角的性质，掌握利用SAS 判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．16．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ， （1）求证：ABD ACE ≅； （2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，△探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明； △若3BD =，4CF =，求AD 的长，【答案】（1）见详解（2）△结论：222BD FC DF +=，证明见详解△。
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需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化
二利用旋转思想构造辅助线
（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度
（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质：
（1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同
（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ．
【例题精讲】
例1.在四边形ABCD 中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD ，DP ⊥AB 于P ，若S ABCD =25，求DP 的长。
例2.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM
绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ．
⑴求证：AMB ENB ∆∆≌
⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；
②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长．
方法总结:
1、共顶点的等线段中，最常用旋转思路，但也不可以思维定势，辅助线叙述中用一般语言
2、旋转变换还用于处理：
①几何最值问题：几何最值两个重要公理依据是：两点之间线段最短和垂线段最短； ②有关线段的不等关系；
③自己构造绕某点旋转某角度（特别是60度），把共顶点的几条线段变为首尾相接的几条线
E
N
M
D
C
B A
例2. 1.
2.
3.
旋转的性质，利用旋转构造全等，利用全等构造特殊三角形。
额外拓展：
如图，已知抛物线322
--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，该抛物线顶点为D ，对称轴交x 轴于点H 。
（1）求A,B 两点的坐标；
（2）设点P 在x 轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB 时，求出点P 的坐标；
（3）以OB 为边在第四象限内作等边△OBM ，设点E 为x 轴的正半轴上一动点（OE>OH ），连接ME ，把线段ME 绕点M 顺时针旋转60°得MF ，求线段DF 的长的最小值。
1、如图，四边形OABC和ODEF都是正方形，CF交OA于点P,交DA于点Q.
(1) 求证：AD=CF
(2)AD与CF垂直吗？说说你的理由；
(3)当正方形ODEF绕O点在平面内旋转时，(1)、(2)的结论是否有变化？为什么？。