2-5-2等差、等比数列的综合应用

2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
2．教材 56 页例 2 是等比数列求和知识在生产生活中的应 用．要进一步通过本例学习用方程思想处理数学公式，教材 57 页例 3 是一般数列求和的应用问题，通过本例的学习，一是体 会解答数列应用题型的思路方法步骤．二是进一步复习前边学 习过的程序语句，体会用循环结构来描述数列，用于求和．三 是体会无限逼近思想为今后进一步学习微积分知识作必要的 铺垫和储备．
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析]
由已知条件可得此等比数列的首项 a1＝2，公比 q
2×1－2n n＋1 4 ＝ ＝2，故前 n 项和 Sn＝ ＝2 －2. 2 1－2
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
2．等差数列{an}中，a3＝－5，a6＝1，设 Sn 是数列{an}的 前 n 项和，则 S8＝________.
[解析]
设等比数列{an}的公比为 q，
则 81＝3q3，则 q＝3，所以 an＝3n. 所以 bn＝log33n＝n. 1 1 1 1 所以 ＝ ＝ － . bnbn＋1 nn＋1 n n＋1 1 1 1 1 1 1 所以 Sn＝( － )＋( － )＋„＋( － ) 1 2 2 3 n n＋1 1 n ＝1－ ＝ . n＋1 n＋1
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
5．求和：Sn＝3＋33＋333＋„＋
＝________.
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析] ∵数列 3,33,333，„， 1 n an＝3(10 －1)．
的通项公式
1 1 2 1 n ∴Sn＝3(10－1)＋3(10 －1)＋„＋3(10 －1) 1 n 2 n ＝3(10＋10 ＋„＋10 )－3
n 1 101－10 n ＝3× －3 1－10
10 n n ＝27(10 －1)－3.
第二章 2.5 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
重点难点展示
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
重点：1.等差、等比数列的综合问题． 2．等差、等比数列的实际应用问题． 3．学科知识交汇问题． 难点：实际应用问题．
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析]
∵a、x、y、b 成等差，∴x＋y＝a＋b，
∵a、m、n、b 成等比，∴m· n＝a· b，设其公比为 q，则 m b ＝aq，n＝ ， q b ∴(x＋y)－(m＋n)＝(a＋b)－(aq＋q) 1 b ＝a(1－q)＋b(1－q)＝(1－q)[a－q] 由条件知，a，b，m，n 均为正数，
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
b ∴(1)若 q>1，则 1－q<0，a－ ＝a－n<0， q ∴x＋y>m＋n. b (2)若 0<q<1，则 1－q>0，a－ ＝a－n>0， q 亦有 x＋y>m＋n，综上知：x＋y＞m＋n.
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
(5)如果数列的通项能够进行分解，常用“拆项法”求和： 1 1 1 1 如{an}是等差数列，cn＝ ，则由于 cn＝da －a ，从而 anan＋1 n＋1 n 数列{cn}求和可以进行分拆，然后相加相消获解．
第二章
＋
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析]
a1＝1＝20，a2＝1＋2＝20＋21＝22－1，a3＝1＋2
＋4＝20＋21＋22＝23－1，„„ ∴an＝1＋2＋22＋„＋2n 1＝2n－1 ∴前 n 项和 Sn＝a1＋a2＋„＋an ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋„＋(2n－1) ＝(21＋22＋23＋„＋2n)－n＝2n＋1－n－2.
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
合作探究 在两个正数 a、b(a≠b)之间插入 x、y，使 a、x、y、b 成 等差数列，又在 a、b 之间插入 m、n，使 a、m、n、b 成等比 数列，比较 x＋y 与 m＋n 的大小结果为________．
[答案]
x＋y>m＋n
第二章
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
5 20 由 lg 2≈0.3， 可求得( ) ＝100， 代入上式整理得 396x≤31 4 680， 解得 x≤80(万立方米)． 答：每年砍伐量最大为 80 万立方米．
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
课前自主预习
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
1．(2011· 福州高二检测)等比数列 2,4,8,16，„的前 n 项和 Sn 等于( ) B．2n－2 D．2n＋1－2
D
A．2n＋1－1 Leabharlann Baidu．2n
[答案]
第二章
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
4．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足 1 bn＝log3an，则数列{ }的前 n 项和 Sn＝________. bnbn＋1
[答案] n n＋1
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
题，增长率问题是等比数列的题目，砍伐问题是一个常量．
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析] 为{an}，则
设从 2002 年起的每年年底木材储存量组成数列
a1＝330， 5 an＋1＝an1＋25%－x＝4an－x. 5 则 an＋1－4x＝4(an－4x)， an＋1－4x 5 即 ＝4. an－4x
，
∴这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[点评]
本题也可设四个数依次为 2a－aq， aq， 2(a≠0) a， aq
2a a 或 －a， ，a，aq(a≠0)．或依据两个和设未知数，根据等差 q q 等比关系列方程求解．
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
思路方法技巧
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
命题方向
等差等比数列的综合应用问题
[例 1]
有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等
比数列，且第一个数与第四个数的和为 16，第二个数与第三 个数的和为 12，则这四个数为________．
[答案]
0,4,8,16 或 15,9,3,1
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析]
a＋d2 设这四个数为：a－d、a、a＋d、 . a
a＋d2 a－d＋ ＝16， a ∴ a＋a＋d＝12.
a＝4 解之得： d＝4 a＝9 或 d＝－6
成才之路· 数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第二章
数 列
第二章
数
列
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第二章
2．5 等比数列前 n 项和
第二章
数
列
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第二章
第 2 课时 等差、等比数列的综合应用
a1＋a7＝a3＋a5 a2＝a2·6 a 4 由题设 a1＋a3＋a5＋a7－a2a4a6＝42 a1＋a7＋a4＝27
2a ＋a －a3＝42 1 7 4 ∴ a1＋a7＋a4＝27
，
，
∴2(27－a4)－a3＝42，∴a3＋2a4－12＝0， 4 4 分解为(a4－2)(a2＋2a4＋6)＝0，解得 a4＝2. 4
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
3．解数列应用题的方法步骤是： (1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还 是等比数列问题， 还是递推数列问题？是求 an 还是求 Sn？特别 要注意准确弄清项数是多少． ②弄清题目中主要的已知事项；
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
七个数排成一排，奇数项成等差数列，偶数项成等比数 列，且奇数项的和比偶数项的积多 42，首尾两项与中间项的 和为 27，则中间项为________．
[答案] a4＝2
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析]
设这七个数为 a1，a2„„a7，
－
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[点评]
1＋2＋22＋„＋2n
＋1
不是该数列的通项，求数列
{an＋bn}前 n 项的和应分部求和， 即将{an}与{bn}的前 n 项和分 别求出后再相加．若数列{an}的每一项都是一个数列的和，求 {an}前 n 项的和，要先把 an 求出来再据 an 的表达式特点求和．
[答案] －16
8a1＋a8 S8＝ ＝4(a3＋a6)＝－16. 2
[解析]
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
3． 数列 1， (1＋2)， (1＋2＋4)， (1＋2＋4＋„＋2n 1)， „， „„ 前 n 项的和为__________．
[答案] 2n＋1－n－2
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
5 ∴{an－4x}是以(330－4x)为首项，公比为 的等比数列， 4 5 n－1 即 an＝(330－4x)(4) ＋4x. 5 20 ∴a21＝(330－4x)(4) ＋4x. 5 20 令 a21≥4a1，即(330－4x)( ) ＋4x≥4×330. 4
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
学习要点点拨
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
1．数列求和方法探究 (1)公式法．直接运用等差、等比数列求和公式求和． 1 了解此结论：1 ＋2 ＋3 ＋„＋n ＝ n(n＋1)(2n＋1)． 6
2 2 2 2
第二章
数
列
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
课前自主预习 课堂巩固训练 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误作答
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
课程目标解读
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
熟练地应用等差数列、等比数列的性质、通项公式和前 n 项和的公式，解决一些实际问题，提高分析解决问题的能力．
(2)分部求和法，如果数列{an}的通项 an＝bn＋cn，求{an} 的前 n 项和，可分别求{bn}与{cn}的前 n 项和再相加．
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
(3)应用等差数列求和的方法“倒序相加法”求和： 此法适 用于 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝„＝ak＋an－k＋1＝„„类型． (4)应用等比数列求和的方法求和： 此法适用于由等差数列 和等比数列的对应项乘积构成的数列， 即{bn}是等差数列， n} {c 是等比数列，an＝bncn，则求数列{an}的前 n 项和用“乘公比错 位相减法”．
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参 数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子 表达． (3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来， 列出满足题意的数学关系式． 关于价格升降、细胞繁殖、利率、税率、增长率等问题常 归结为数列建模，即从实际背景中抽象出数学模型，归纳转化 为数学问题去解决．
建模应用引路
第二章
2.5
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
命题方向
数列的应用
[例 2]
某林场 2002 年底森林木材储存量为 330 万立方
米，若树林以每年 25%的增长率生长，计划从 2003 年起，每 年冬天要砍伐的木材量为 x 万立方米， 为了实现经过 20 年木 材储存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量 x 的最大值是多 少？(lg 2≈0.3) [分析] 本例既要考虑到增长问题，又要考虑到砍伐问