非线性动力学

即non-linear 是指输出输入既不是正比例也不是反比例的情形。

如宇宙形成初的混沌状态。

自变量与变量之间不成线性关系，成曲线或抛物线关系或不能定量,这种关系叫非线性关系。

“线性”与“非线性”，常用于区别函数y = f (x)对自变量x的依赖关系。

线性函数即一次函数，其图像为一条直线。

其它函数则为非线性函数，其图像不是直线。

线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。

如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是 6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。

非线性关系虽然千变万化，但还是具有某些不同于线性关系的共性。

线性关系是互不相干的独立关系，而非线性则是相互作用，而正是这种相互作用，使得整体不再是简单地等于部分之和，而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。

激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好像听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。

迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，并没有清晰的、完整的认识，对其哲学意义也没有充分地开掘。

线性：从相互关联的两个角度来界定，其一：叠加原理成立；其二：物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量。

在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：
其—，“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符”，即叠加原理不成立，这意味着φ与ψ间存在着耦合，对（aφ+bψ）的*作，等于分别对φ和ψ*作外，再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的*作，或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。

其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。

可以说，这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统复杂性的根源。

对非线性概念的这两种表述实际上是等价的，其—叠加原理不成立必将导致其二物理变量关系不对称；反之，如果物理变量关系不对称，那么叠加原理将不成立。

之所以采用了两种表述，是因为在不同的场合，对于不同的对象，两种表述有各自的方便之处，如前者对于考察系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的，后者对于考察特定的变量间的关系(包括变量的时间行为)将是方便的。

非线性的特点是：横断各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时有。

”确实如此。

非线性动力学随着科学技术的发展,非线性问题出现在许多学科之中.传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求.非线性动力学也就由此产生. 非线性动力学联系到许多学科,如力学.数学.物理学.化学,甚至某些社会科学等. 非线性动力学的三个主要方面：分叉.混沌和孤立子.事实上,这不是三个孤立的方面.混沌是一种分叉过程.孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系,同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象. 经过
多年的发展,非线性动力学已发展出了许多分支,如分叉.混沌.孤立子和符号动力学等.然而,不同的分支之间又不是完全孤立的.非线性动力学问题的解析解是很难求出的.因此,直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段. Non-linear Dynamics
随着科学技术的发展,非线性问题出现在许多学科之中.传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求.非线性动力学也就由此产生.
非线性动力学联系到许多学科,如力学.数学.物理学.化学,甚至某些社会科学等. 非线性动力学的三个主要方面：分叉.混沌和孤立子.事实上,这不是三个孤立的方面.混沌是一种分叉过程.孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系,同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象.
经过多年的发展,非线性动力学已发展出了许多分支,如分叉.混沌.孤立子和符号动力学等.然而,不同的分支之间又不是完全孤立的.非线性动力学问题的解析解是很难求出的.因此,直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段. 真实的动力系统几乎都含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、变结构控制策略等。

实践中，人们经常试图用线性模型来替代实际的非线性系统，以求方便地获得其动力学行为的某种逼近.然而，被忽略的非线性因素常常会在分析和计算中引起无法接受的误差，使得线性逼近徒劳无功.特别对于系统的长时间历程动力学问题，有时即使略去很微弱的非线性因素，也会在分析和计算中出现本质性的错误.
因此，人们很早就开始关注非线性系统的动力学问题.早期研究可追溯到1673年Huygens对单摆大幅摆动非等时性的观察，从19世纪末起，Poincar6，Lyapunov，Birkhoff，Andronov，Arnold和Smale等数学家和力学家相继对非线性动力系统的理论进行了奠基性研究，Duffing，van der Pol，Lorenz，Ueda等物理学家和工程师则在实验和数值模拟中获得了许多启示性发现.他们的杰出贡献相辅相成，形成了分岔、混沌、分形的理论框架，使非线性动力学在20世纪70年代成为一门重要的前沿学科，并促进了非线性科学的形成和发展.
近20年来，非线性动力学在理论和应用两个方面均取得了很大进展.这促使越来越多的学者基于非线性动力学观点来思考问题，采用非线性动力学理论和方法，对工程科学、生命科学、社会科学等领域中的非线性系统建立数学模型，预测其长期的动力学行为，揭示内在的规律性，提出改善系统品质的控制策略，一系列成功的实践使人们认识到：许多过去无法解决的难题源于系统的非线性，而解决难题的关键在于对问题所呈现的分岔、混沌、分形、孤立子等复杂非线性动力学现象具有正确的认识和理解.
近年来，非线性动力学理论和方法正从低维向高维乃至无穷维发展.伴随着计算机代数、数值模拟和图形技术的进步，非线性动力学所处理的问题规模和难度不断提高，已逐步接近一些实际系统.在工程科学界，以往研究人员对于非线性问题绕道而行的现象正在发生变化.人们不仅力求深入分析非线性对系统动力学的影响，使系统和产品的动态设计、加工、运行与控制满足日益提高的运行速度和精度需求，而且开始探索利用分岔、混沌等非线性现象造福人类。

《非线性动力学理论与应用的新进展》主要研究工程系统中的非线性动力学、分叉和混沌理论、控制理论及其应用，重点介绍近几年来国内外的最新进展，包括高维非线性系统的多脉冲全局分叉、时滞动力系统、非光滑动力系统等变非线性动力系统、C-L方法、规范形的计算、非线性随机优化控制、后绝对稳定性、网络结构与动力学、非线性色散波、非线性系统大范围运动动力学、碰撞振动系统、微转子系统、轴向运动弦线和梁的非线性动力
学。

《非线性动力学理论与应用的新进展》可供高等院校力学、机械、数学、物理、航空航天、土木工程等专业的高年级本科生、研究生阅读学习，也可作为教师和科研人员的参考书。

非线性动力学系统的数学称为混沌理论。

一个混沌系统可以产生看上去随机实际上却并非真正随机的结果。

长期预报是不可能的。

混沌理论说：市场不是有效的，但它们也是不可预报的。

对于非线性动力学系统的研究和对于复杂理论的研究就是对于紊乱的研究。

更准确地说，它是对于从稳定到紊乱的过渡的研究。

牛顿物理学能够预测三个世纪后火星在哪，却不能预测后天的天气。

这是因为：
牛顿物理学是建立在变量之间的线性关系上的。

它假定：
对于每个因，都有一个直接的果。

所有系统都寻求系统在哪里可以安静下来的均衡点。

自然是有序的。

时钟是牛顿物理学的最好象征。

精确地组合到一起的零件，以完美的和谐走向一个可预测的结果。

然而，局限性是存在的。

牛顿物理学能够解释两个物体如何相互作用，却不能预测三个物体的相互作用。

在19世纪的大部分时间里，科学家们都为三体问题所困扰。

最后庞加莱说，因为系统内在的非线性性质，这个问题无法求得单一解。

庞加莱解释了为什么这些非线性性质是重要的：
一个我们根本注意不到的非常小的因可以决定一个我们不可能注意不到的果，而那时我们会说这个果是处于偶然。

初始条件的很小差异产生出最终现象的极大不同的这种情况是会发生的。

前者的很小的误差导致后者的极大的误差预测变得不可能。

这个效应现在被称为“对于初始条件的敏感依赖”，并且已变成动力学系统的重要特征。

一个动力学系统的内在地不可作长期预测。

不可预测性是由于两个原因出现的。

动力学系统是反馈系统。

出来的东西会回去，经过变换，再出来，没完没了。

出来变换是指数外，反馈系统非常像复利，他有一个高于1的幂。

任何初始值的差别又都会按指数增长。

复杂系统的另一个特征牵涉到临界水平的概念。

一个经典的例子就是压断了骆驼背的最后一根稻草。

骆驼突然垮下来是一个非线性反应，因为在骆驼垮掉和那根特定的稻草之间没有直接的关系。

所有的重量的累计效应最后超过了骆驼站直的能力，使骆驼垮下来。

动力学系统是反馈系统。

混沌动力学系统的关键要素包括：
1.对于初始条件的敏感依赖。

2.临界水平。

3.分形维。

经典计量经济学倾向于把经济系统看成是均衡系统（点吸引子），或以周期方式围绕均衡点变动的系统（极限环）。

经验证据对这两种看法都不支持。

经济学的时间序列的特征是非周期性循环（没有特征长度或时间标度的循环）。

非周期循环容易在非线性动力学系统中出现。

对于混沌，计算机变成了一个实验室。

用不同的吸引子试验，改变参数和检查结果，设计你自己的吸引子，计算机使得你能够用眼睛去看那些庞加莱只能在脑子里想象的东西。

埃农映射：
埃农的吸引子是二维迭代映射，当a=1.4 b=0.3时，我们获得了混沌运动。

方程如下：
x(t+1) =1+y(t) -a*pow(x(t),2)
y(t+1) = bx(t)
无规则运动在两个序列中都很明显。

但结果不是随机的，根据初始点的不同，次序也不同，但结果总是一个：埃农吸引子。

改变初始值，所有的值都改变了，看看平面图上的二维空间上的点形成的图形，它看上去一点也没变。

无论你选择什么初始值图总是一样的。

系统被吸引到这个形状。

这个形状是系统的奇异吸引子。

它也具有对初始条件的依赖的敏感性。

放大埃农映射的一部分，会看到更多的细节；放的越大，显示的细节就越多。

就像大多数混沌吸引子一样，这个映射是分形。

分形维数是1.26，就像股票收益率的时间序列一样。

罗吉斯蒂克延滞方程：
x(t) = a*x(t-1)*(1-x(t-2)) 其中a是常数
这个方程之所以令人感兴趣是因为它表现出一种叫做霍普夫分叉的行为。

一个点吸引子到极限环的变化。

当a增加到2.58时，螺旋变得越来越大最终变成了一个闭合的卵形。

它的重要性在于它显示了一个非线性动力学系统的行为如何因其控制参数常量a而改变。

在经济学和投资金融学中，我们不能固定住控制参数不变，并进行受控试验，如果上涨和下跌的价值的比率是驱动股票市场的“热量”，我们是不能进行试验并在不同的水平上观测其行为的。

只能考察历史数据，其中各个时刻的控制参数可能有所变化。

因此，在考察经济学和投资学的时间序列时，必须意识到数据可能包含了混在一起的所有可能状态；点吸引子，极限环，奇异吸引子。

李雅普诺夫指数
对于混沌系统的重要特征——“对于初始条件的敏感依赖”存在两种观点：
.第一种观点认为，这个概念描述了确定问题的困难。

模型建立者知道运动的正确方程，但由于模型生成的预测的准确性依赖于输入的质量。

我们在时间上走的越远，预测就变得越不
准确。

第二种观点是，系统自身通过混合过程生成随机性，并且在过了某一点之后，丢失了所有关于初始条件的知识。

这一解释是“向后看”的。

我们现在在哪里依赖于我们曾经在哪里。

然而，由于被非线性性质放大的缘故，进化过程可以是如此之复杂，以至于我们不可能回溯其步骤和对系统“消除混合”。

关于这种类型的行为有一个常见比喻就是一架拉太妃糖的机器。

一滴染料滴到太妃糖中燃料会被拉伸和折叠，直到复杂的条纹出现在太妃糖中，然而，由于对于初始条件的敏感依赖，我们永远不可能消除太妃糖的混合去找回催出的那一滴燃料。

这是历史学家有关初始条件的敏感依赖的观点，我们永远不可能以足够的精确性去展开一个系统来找出我们是从哪里来的。

这两种观点可以被结合成一个统一体。

我们现在在哪依赖于我们曾经在哪，而我们能够多么精确的预报未来依赖于我们对于现在在哪知道多少。

一个事件可以无限的影响未来，虽然系统可能只在有限的时间长度内基础这一事件。

系统对对于初始条件的依赖的敏感性可以用李雅普诺夫指数来度量。

它们度量相空间中临近的轨道发散的有多么快。

相空间中的每一个维度都有一个李雅普诺夫指数。

一个正的李雅普诺夫指数度量相空间中的伸展；也就是，它度量邻近的点相互之间发散得有多么快。

一个负的李雅普诺夫指数度量收缩——一个系统在受到扰动之后需要多长时间才能恢复自己。

度量相图回到他的吸引子——在这里是极限环所需的轨道数，或时间量。

李雅普诺夫指数提供了一种给吸引子分类的方法。

点吸引子总是收敛到一个固定点。

因此，一个三维的点吸引子的特征是三个负的李雅普诺夫指数，所有三个维度都收缩进一个点。

三维极限环有两个负指数和一个等于零的指数（0，-，-）极限环有两个相互收敛到对方的维度和一个其中的点的相对位置不发生变化的维度。

这导致闭合的轨道。

最后，三维奇异引子有一个正整数，一个负指数，和一个等于零的指数（+，0，-）正指数显示对于初始条件的敏感依赖，或初始条件的小变化改变预报的倾向。

负指数保持发散的点留在吸引子的区域内。

对于一个奇异吸引子均衡是有树枝在被带回到一个合理的区域内之前能够发散的多远所定义的。

例如对于资本市场的奇异吸引子的一个可能的解释是：情绪和技术因素导致伸展，但基本价值把价格带回到一个合理的区域内。

知道最大的李雅普诺夫指数是多少可以告诉我们，我们对于未来时间期间的预报的可靠性如何。

我们只能对于一个我们知道其运动方程的系统度量其可靠性。

在实际生活中，我们永远不可能知道牵涉到不确定性的所有变量，更不用说运动方程了。

非线性动力学研究所成立于1994年。

研究方向：高维非线性动力系统的定性理论和全局分析、生物神经放电非线性动力学行为和神经信息编码、航天工程中柔性多体系统动力学及控制、自适应结构理论与应用研究、微纳制造非线性动力学问题。

现有研究人员教授5人、副教授1人、讲师1人，其中具有博士学位5人。

主持国家自然科学基金面上项目11项，国家自然科学基金重大、重点项目的分课题2项，国家“863”计划、“973”计划、“七五”、“八五”攻关项目等分课题5项，陕西自然科学基金面上项目1项，教育部优秀青年教师资助计划项目1项，横向研究课题4项，外国国家研究课题3项，参加国家自然科学基金重大、重点项目5项。

在国际学术刊物发表论文73篇，中国学术刊物发表论文170篇，国际会议论文63篇，出版著作3部。

论文被SCI收录102篇，SCI引用210次，其他国际国内刊物索引303次。

获得国家自然科学二等奖、国家科技进步三等奖、国家科学大会奖，省部直辖市自然科学奖和科技进步奖6项，3项成果部级鉴定为达到国际先进水平。

培养博士、硕士
45人，其中1人获“全国百篇优秀博士论文”、1人获“全国百篇优秀博士论文提名”。

多位教授担任学会兼职、学术期刊编委和国际学术期刊的审稿人。

所长：徐健学（航天学院）
维复杂系统的非线性动力学问题研究进展
随着社会经济和科学技术的发展，人们越来越重视非线性科学和技术，而非线性力学则是其中的一个重要方面。

本文主要对于高维复杂系统的非线性动力学问题相关研究内容进行分析，对于提高相关工程技术应用具有一定帮助。

目前，非线性动力学已从以经典的摄动和渐近分析方法为基础对低维、弱非线性、弱耦合进行研究的阶段，进入到用近代的动力系统方法对高维、复杂系统开展深入研究的阶段[1]。

根据上面所提及的对非线性的国内外研究现状和发展趋势，下面从三个方面展望非线性动力学在本世纪的动向，探讨一下在理……
大气非线性动力学取得新突破
自80年代起，“非线性科学”的研究已经成为当今科学的前沿课题。

北京大学地球物理系刘式达、刘式适从1986年到1988年获得国家自然科学基金两项资助，项目名称分别是“大气非线性动力过程”和“波和湍流的相互作用、混沌和大气湍流”(批准号：485077，4860217) 。

在国内首先系统地研究了非线性大气波动、波动和大气湍流的非线性相互作用，取得了许多创新的理论成果，有较大的应用价值。

例如：
1.自有天气图以来，大气长波的移动被认为是天气形势预报的主要因子，1939年著名气象学家Rossby用线性理论导得长波移动公式为：
C=u-β/k
其中u为西风风速，k是波数，β是Rossby参数，显然，波长越长的波(k越小)移动越慢，这是附合实际的，这个公式的导得被认为是气象学的一巨大成果。

不过，它是线性的结果，公式中不含有振幅。

刘氏兄弟用了一个简单的非线性模式，导出了非线性大气长波的移动公式为： C=u-β(1+a)／k
这个公式中包含了波的相对振幅a,这样，就说明了振幅越大的波移动越慢的事实，a→0就是 Rossby公式，所以，该公式具有普遍性，更附合实际，为更准确的天气预报提供了重要的理论基础。

2.大气是温度和密度随高变变化的分层流体，位温的垂直梯度θ/ Z和速度的垂直梯度 θ/ Z是控制大气运动状态的基本参数。

1962年miles用线性稳定性理论说明：当Richard son数(Ri)大于1/4时，分层流是稳定的，这是著名的Miles定理。

我国研究者用
非线性分岔理论分析Burgers方程，将运动分成四类：定常状态0，对流状态C，周期状态(重力波)P及湍流状态T 在参数平面(Ri,Re)(Re称为Reynolds数)上得到的图像如下图所示。

这是国际上首次得到的曲线，它说明形成湍流的临界线关不是Ri=1/4，而是Ri=π(Re- π)/Rc当Rc=2π时就是Miles定理的结果，从图上还可看出，在Ri>0时也可以以生湍流。

而且在临界曲线处，波和湍流相互作用将产生间隙湍流，这些结果将大气科学的难题—大气湍流的研究向前推进了一大步，使我国在非线性大气动力学和大气湍流的研究达到国际先进水平。

3.采用相图分析法，用最简洁的模式求得了大气各种非线性波长的解析解，并找到了这些非线性大气波动的共同特征。

上述结果发表论文36篇，并写出了《特殊函数》、《非线性动力学的复杂现象》、《地球流体力学的数学方法》等专著。

这些著作和论文在国内外有较大的影响，获得1991年国家自然科学奖三等奖。

郑哲敏 著名力学家、爆炸力学专家。

早期在水弹性力学研究中取得成就。

长期从事固体力学研究，开拓和发展了我国的爆炸力学事业。

擅长运用力学理论解决工程实际问题，提出了流体弹塑性体模型和理论，并在爆炸加工、岩土爆破、核爆炸效应、穿甲破甲、材料动态破坏、瓦斯突出等方面取得重要成果。

倡导海洋工程力学、材料力学性能、环境灾害力学的研究，创建了中国科学院力学研究所非线性连续介质力学实验室，为推动我国力学事业的发展作出了贡献。

1980年当选为中科院院士,1993年被选为美国国家工程科学院外籍院士，1994年被选聘为中国工程院院士。

非线性力学国家重点实验室(LNM)的前身是成立于1988年的中国科学院力学研究所非线性连续介质力学开放实验室。

LNM于1999年10月被科技部批准建设，2001年4月通过科技部专家组的验收，正式晋升为国家重点实验室。

2005年3月在重点实验室评估中LNM获得良好的成绩。

现任学术委员会名誉主任为中科院院士郑哲敏研究员，学术委员会主任为中科院院士白以龙研究员，实验室主任为何国威研究员。

LNM的中、长期学科方向为（1）固体变形、损伤、破坏的非线性力学性质，（2）流体运动的非线性规律，（3）材料和环境系统中非线性问题的基本理论和方法。

近年来，LNM确定以多尺度力学为研究主题，它包括材料强度及灾变的跨尺度关联和复杂流动的多过程耦合现。