2021年优课系列高中数学北师大版选修2-2 2.4导数的四则运算法则 课件(22张)

例4．求y=tanx的导数。
解：y′= ( sin x ) ' cos x
cos
x
cos x cos2
sin x
x
Hale Waihona Puke Baidu
sin
x
1 cos2
x
1.求y 2x3 3x2 5x 4的导数
解: y (2x3 3x2 5x 4) 6x2 6x 5
2. 用两种方法求y (2x2 3)(3x 2) 的导数
法则3 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
[ f (x)] g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 ( x)
其中g(x) 0
提示： 积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导,
但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.
解：法一：y (2x2 3)(3x 2) (2x2 3)(3x 2)
4x(3x 2) (2x2 3) 3
18x2 8x 9
法二：y (6x3 4x2 9x 6)
18x2 8x 9
3. y x2 的导数 sin x
解：y'
(x2 )'
sin x x2 sin 2 x
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数 的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在 求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构 特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导 数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的 要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形 式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时 速度等问题.
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
这个法则可以推广到任意有限个函数， 即
( f1 f2 fn ) ' f1 ' f2 ' fn '
例1. (1)求函数f (x) x2 sin x的导数.
解：f (x) (x2 sin x) (x2 ) (sin x) 2x cosx
（loga
x)
x
1 ln
a
;
(ax ) ax lna;
(sin x) cos x;
(x ) x1(为实数）； （ln x) 1 ;
x (ex ) ex; (cos x) sin x;
注意:关于a x和xa 是两个不同
的函数,例如:
(1)(3x ) 3x ln 3
(2)( x3) 3x2
f (x) g(x) x2 x
结论：(x2 x) (x2 ) (x).
猜想：[ f (x) g(x)] f (x) g(x)
证明猜想 f (x) g(x) f (x) g(x).
证明：令 y f (x) g(x).
y f (x x) g(x x)f (x) g(x)
2、由定义求导数（三步法）
步骤:
(1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3) 当x 0, y 常数 x
3．巩固练习：利用导数定义求 y x2 x
的导数.
(x2 x) 2x 1
f (x) x2 g(x) x
有上述法则立即可以得出:
[Cf (x)] Cf (x).(C为常数)
即，常数与函数之积的导数，等 于常数乘以函数的导数。
例2．求y=xsinx的导数。 解：y′=(x·sinx) ′ =x′·sinx+x·(sinx) ′ =sinx+xcosx.
例3．求y=sin2x的导数。
解：y′=(2sinxcosx) ′ =2(cosx·cosx－sinx·sinx) =2cos2x.
(sin
x)'
2x sin x x2 cos x sin 2 x
例5:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切 线的方程.（备选）
解: f (x) (x3 3x 8) 3x2 3， k f (2) 3 22 3 15， 又切线过点(2, 6)， 切线方程为 : y 6 15(x 2)， 即：15x y 24 0．
(2)求函数g(x) x3 3 x2 6x 2的导数. 2
解：g(x) (x3 3 x2 6x) 2
(x3) ( 3 x2 ) (6x) 3x2 3x 6 2
法则2:两个函数的积的导数，等于第一 个函数的导数乘以第二个函数加上第一个 函数乘以第二个函数的导数．即：
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x).
学习目标：
1.理解两函数的和(或差)的导数法则， 会求一些函数的导数．
2.理解两函数的积（或商）的导数法则， 会求一些函数的导数
教学重难点
教学重点：
导数公式和导数的四则运算法则。
教学难点：
灵活地运用导数的四则运算法则进 行相关计算
1、基本求导公式:
C 0(C为常数）；
xn nxn1 n N
1.导数的四则运算法则是什么? 2.几个常用的函数的导数是什么?
y c(c是常数), y x (为实数),
y ax (a 0, a 1), y loga x(a 0, a 1), y sin x, y cosx, y tan x, y cot x.
3.导数应用的注意事项：
f (x x) f (x) g(x x) g(x)
y f (x x) f (x) g(x x) g(x)
x
x
f (x x) f (x) g(x x) g(x)
x
x
f (x) g(x)
同理可证 : y ' ( f g) ' f ' g '
二、
法则1: 两个函数的和（或差）的导数， 等于这两个函数的导数的和（或差），即：