高等数学第三章课件-矩阵的秩

方法三 用初等变换化 A 为阶梯阵 J，R( A)等于 J 中非零行的行数.
原理：初等变换不改变矩阵的秩； 阶梯阵的秩等于其中非零行的行数．
例 求矩阵A的秩
⎛3 2 0 5 0 ⎞
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
3 2 1
−2 0 6
3 1 −4
6 5 −1
−1 ⎟
−3 4
⎟⎟⎠
⎛ 1 λ −1 2⎞
例
求矩阵
A
=
⋯ ⋯ ⋯
a1ir
⎞ ⎟
a2 ir ⋯
⎟⎟)
=
r.
⎜
⎟
ari1 ari2 ⋯ arir
⎜⎝ ari1 ari2 ⋯ arir ⎟⎠
故 行向量组 (a1i1 , a1i2，⋯，a1ir ),⋯,(ari1 , ari2，⋯，arir )
线性无关.
则延伸向量组 (a11,a12，⋯，a1n ),⋯,(ar1,ar2，⋯，arn )
⎜ ⎜
a22
⎟ ⎟
⎛ a14 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎜
a24
⎟ ⎟
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
k1 ⎜ 0 ⎟ + k2 ⎜ 0 ⎟ + k3 ⎜ a34 ⎟ = ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
即
⎧ ⎪
k1a11
⎨
+
k2a12 k2a22
−1 − 2λ 10 − λ
λ+2 −5
1 −1
⎟ ⎟⎟⎠
−λc1 + c2
c1 + c3
−c1 + c4
⎛1 0
0 0⎞
⎜ ⎜
0
−1 − 2λ
λ+2
1
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 10 − λ −5 −1⎟⎠
c2 ↔ c4 r2 + r3
⎛1 0 0
0⎞
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 −1
λ+2 −5
⋮
⎟ ⎟
,
⎜ ⎝
asj
⎟ ⎠
1) 称行向量组α1,⋯,αs的秩为矩阵A的行秩;
2) 称列向量组β1,⋯, βn的秩为矩阵A的列秩.
⎛ a11 a12 a13 a14 ⎞
⎜ ⎜
0
a22
a23
a24
⎟ ⎟
例 设 A = ⎜ 0 0 0 a34 ⎟ , 其中a11a22a34 ≠ 0,
⎜ ⎜
0
0
0
0
⎟ ⎟
+ +
k3a14 k3a24
=0 = 0,
解得 k1 = k2 = k3 = 0.
⎪⎩
k3a34 = 0
所以, β1, β2 , β4 线性无关.
同时,
β3
=
a13a22 − a12a23 a11a22
β1
+
a23 a22
β2,
故 β1, β2 , β4 是 β1, β2 , β3 , β4 的一个极大无关组.
（1'）
在(1')中 r < n, 所以(1')有非零解，从而(1)有非零解.
定理1 矩阵的行秩＝矩阵的列秩.
证： 设 A = (aij )s×n，A的行秩＝r，A的列秩＝r1， 下证 r = r1． 先证 r1 ≥ r ． 设A的行向量组为 αi = (ai1,ai2 ,⋯,ain ), i = 1, 2,⋯, s 则向量组 α 1,α 2 , ⋯ ,αs 的秩为r， 不妨设 α1,α2 ,⋯,αr是它的一个极大无关组， 于是 α1,α2 ,⋯,αr 线性无关，
⎜ ⎝
0
0
0
0
⎟ ⎠5×4
求矩阵A的行秩、列秩.
解: 1) 求列秩, 即r(β1, β2, β3, β4 ). 我们断言, β1, β2 , β4是 β1, β2 , β3 , β4 的一个极大无关组. 事实上, 若 k1β1 + k2β2 + k3β4 = 0, 则
⎛ a11 ⎞
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
⎛ a12 ⎞
因此, 矩阵 A 的列秩为 3 .
2) 求行秩, 即 r(α1,α2 ,α3 ,α4 ,α5 ).
我们断言, α1 ,α2 ,α3 是 α1 ,α2 ,α3 ,α4 ,α5 的极大无关组.
事实上, 令 γ 1 = (a11,a12 ,a14 ),γ 2 = (0,a22 ,a24 ), γ 3 = (0,0,a34 ), γ1
A的列向量
同理可证 r1 ≤ r. 所以 r1 = r ．
定义2 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩， 记作秩(A) 或 ra nk( A) 、R( A).
注 ① 若 A = 0 ，则 R( A) = 0.
( ) ② 设 A = a ij s ×n，则 R( A) ≤ min(s,n).
若 R ( A ) = s , 则称A为行满秩的； 若 R ( A ) = n , 则称A为列满秩的.
定理2 设 A = (aij )n×n , 则 R( A) = n ⇔ | A |≠ 0 R( A) < n ⇔ | A |= 0
(满秩矩阵) (降秩矩阵)
k 级子式
定义 在一个 s×n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列
(1 ≤ k ≤ min(s,n)) , 位于这些行和列的交点上的 k 2
定理3 矩阵 A的秩为 r 的充要条件是 A中有一 个 r 级子式不等于0，且所有 r + 1 级子式等于0．
注
① R( A) ≤ r ⇔ A的所有 r + 1级子式等于0； R( A) ≥ r ⇔ A有一个 r 级子式不为0.
② 若 R ( A ) = r 则 A的不为0的 r 级子式所在行(列)
中一定可以找到 r 个线性无关的向量.不妨设
(a11, a21 ,⋯, ar1 , ),(a12 ,a22 ,⋯,ar2 ),⋯,(a1r ,a2r ,⋯ ,arr ) 是r个线性无关的行向量，则该向量组的延伸组 (a11,a21,⋯,ar1,ar+1,1,⋯,an1 ),⋯,(a1r ,a2r ,⋯,arr ,ar+1,r ,⋯,anr ) 也线性无关． 于是矩阵A的列秩 r1 ≥ r ．
注: 1) 阶梯形矩阵的非零行全体构成行向量组的 一个极大无关组;
阶梯所在的列向量构成列向量组的一个极大 无关组. 2) 阶梯形矩阵的行秩 = 非零行的个数
= 阶梯的个数 = 列秩
引理1 如果齐次线性方程组
⎧⎪⎨⎪⎩aaa⋯2s1111x⋯xx111 ⋯+++ aaa⋯21s222⋯xxx222⋯+++⋯⋯⋯⋯⋯+++ a⋯aa12snnn⋯xxxnnn====0000
⎛ a11
A1
=
⎜ ⎜
a⋯12
a21 a⋯22
⋯
⋯ ⋯
ar1 ⎞
a⋯r 2
⎟ ⎟
⎜ ⎝
a1n
a2n
⋯
arn
⎟ ⎠
的行秩 ≥ r （未知量的个数）.
从而在矩阵 A1 的行向量组 (a11, a21 ,⋯, ar1 , ),(a12 ,a22 ,⋯,ar2 ),⋯,(a12 ,a2n ,⋯ ,arn )
§3.4 矩阵的秩
一、矩阵的行秩、列秩、秩
1. 定义
定义1
⎛ a11
设
A
=
⎜ ⎜
a⋯21
a12 a⋯22
⋯ ⋯
⋯
a1n ⎞
a⋯2n
⎟ ⎟
,
记行向量为α1
,⋯
,α
s
,
⎜⎝ as1 as2 ⋯ asn ⎟⎠
⎛ a1 j ⎞
记列向量为 β1,⋯, βn , 其中αi
=
(ai1 ,⋯,ain ), β
j
=
⎜ ⎜
证: “ ⇒”由 A 是行满秩矩阵知: A 的列秩为 r .
于是, A 中存在 r 个列向量线性无关.
设第 i1, i2,⋯, ir个列向量线性无关,
⎛ ⎜
a1
i1
则
R(⎜⎜
a2i1 ⋯
a1i2 a2i2 ⋯
⋯ ⋯ ⋯
a1ir
⎞ ⎟
a2ir ⋯
⎟⎟)
=
r.
⎜
⎟
⎜ ⎝
ari1
ari2
⋯
arir
⎟ ⎠
推论 齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
aa21⋯11xx1⋯1 ++⋯aa21⋯22xx⋯22 ++⋯⋯⋯⋯++⋯aa12⋯nnxx⋯nn ==
0 0
(∗)
⎪⎩an1 x1 + an2 x2 + ⋯ + ann xn = 0
(∗)有非零解 ⇔ R( A) < n.
(∗)只有零解 ⇔ R( A) = n.
二、矩阵的秩的相关结论
的秩为r，且不妨设α 1 ,α2 ,⋯ ,α r 为其一个极大无关组. 由于向量组 α1 ,α 2 ,⋯ ,α s与向量组 α1 ,α 2 ,⋯ , αr等价，
于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.
⎧⎪⎨⎪⎩aaa⋯2r1111⋯xxx111 ⋯+++ aaa⋯21r222⋯xxx222⋯+++⋯⋯⋯⋯⋯+++ a⋯aa12rnnn⋯xxxnnn====0000
个元素按原来次序所组成的 k 级行列式，称为矩阵 A的一个k级子式．
注 s × n 矩阵 A 的 k 级子式共有 C skC nk 个.
定理3 矩阵 A的秩为 r 的充要条件是 A中有一 个 r 级子式不等于0，且所有 r + 1 级子式等于0．
引理2 设 A 是一个 r × n矩阵, 则A是行满秩矩阵 的充要条件是 A 中存在一个不为 0 的 r 级子式.
线性无关.
从而, R(A)=r.
定理3的证明
“ ⇒”由于R(A)=r, 所以A中含r个线性无关的行向量.
设 α j1 ,α j2 ,⋯,α jr 是A中线性无关的行向量.
⎛α ⎜
j1
⎞ ⎟
则
B
=
⎜ α j2 ⎜⋮
⎟ ⎟
是行满秩矩阵.
⎜⎟
⎜ ⎝
α
jr
⎟ ⎠
由引理2, B 中含一个非零的 r 级子式．
这个 r 级子式自然也是 A 的一个 r 级子式,
因此, A 中存在一个非零的 r 级子式.
下证所有的 r+1 级子式全为 0.
a源自文库1 j1
(反证法)假设存在 r+1 级子式 ai2 j1
⋯ air+1 j1
ai1 j2 ai2 j2 ⋯
air+1 j2
⋯ ai1 jr+1 ⋯ a ≠ 0 i2 jr+1 ⋯⋯ ⋯ air+1 jr+1
则 γ 2 = a11a22a34 ≠ 0. 所以, γ 1,γ 2 ,γ 3线性无关. γ3
故延伸向量组 α1,α2 ,α3线性无关.
同时, α4 = α5 = 0可由α1,α2 ,α3线性表出. 因此, α1,α2 ,α3是 α1,α2 ,α3 ,α4 ,α5 的极大无关组. 从而, 矩阵 A 的行秩为 3 .
（1）
⎛ a11
的系数矩阵
A
=
⎜ ⎜
a⋯21
a12 a⋯22
⋯ ⋯
⋯
a1n ⎞
a⋯2 n
⎟ ⎟
的行秩
r
<
n,
⎜ ⎝
as1
as2
⋯
asn
⎟ ⎠
则它有非零解.
注: 若 (1) 只有零解, 则系数矩阵的行秩 r ≥ n.
证： 设矩阵 A 的行向量组 αi = (ai1,ai2 ,⋯,ain ), i = 1, 2,⋯, s
就是A行(列)向量组的一个极大无关组.
例
⎛1 1 1 ⋯ 1⎞
⎜ ⎜
a1
a2
a3
⋯
an
⎟ ⎟
设 A = ⎜ a12 a22 a32 ⋯ an2 ⎟ , 其中 a1 , a2 ,⋯, an
⎜ ⎜
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⎟ ⎟
⎜ ⎝
a s−1 1
a s−1 2
a s−1 3
⋯
a s−1 n
⎟ ⎠
互不相同, 且 s ≥ n,求 R(A).
所以方程组 x1α1 + x2α2 + ⋯ + xrαr = 0 只有零解.
即
⎧ ⎪ ⎨
aa11⋯21xx1⋯1 ++⋯aa22⋯21xx⋯22++⋯⋯⋯⋯++⋯aa⋯rr12xx⋯rr ==
0 0
⎪ ⎩
a1n
x1
+
a2n
x2
+
⋯
+
arn xr
=
0
（2）
只有零解. 由引理1，方程组（2）的系数矩阵
于是, 由定理2可知: A 存在一个非零的 r 级子式
a1i1 a1i2 ⋯ a1ir a2i1 a2i2 ⋯ a2ir . ⋯ ⋯⋯⋯
ari1 ari2 ⋯ arir
a1i1
“ ⇐” 设
a2i1
⋯
a1i2 a2i2 ⋯
⋯ a1ir
⎛ ⎜
a1
i1
⋯ ⋯
a2ir ⋯
≠ 0,
则
R(⎜⎜
a2 i1 ⋯
a1i2 a2 i2 ⋯
三、矩阵的秩的求法
方法一 按定义求出A的行(列)向量组的秩.
方法二 利用定理3，R( A)等于 A中非零子式 的最大级数.
例 求下列矩阵的秩
⎛1 2 3 ⎞
A
=
⎜⎜⎝
2 4
3 7
−5 1
⎟⎟⎠
,
⎛ 2 −1 0 3 −2 ⎞
B
=
⎜ ⎜⎜ ⎝
0 0 0
3 0 0
1 −2 5 ⎟
0 0
4 0
−3 0
⎟⎟ ⎠
则这个 r+1 阶子式的所有行向量线性无关.
于是,
延伸向量组 αi1
,α i2
,⋯
,α
ir
线性无关.
+1
则R( A) ≥ r + 1, 这与 R( A) = r 相矛盾.
所以, A 的所有 r+1 阶子式全为 0.
“ ⇐” 设 R(A) = t , 则存在一个非零的 t 级子式, 且所有的 t+1 级子式全为 0. 注意到所有的 r+1级子式全为 0, 所以, t ≤ r. 又 A 中存在一个非零的 r 级子式, 故 t + 1 ≥ r + 1. 从而, R( A) = r.
⎜ ⎜⎜ ⎝
2 1
−1 10
λ −6
5 1
⎟ ⎟⎟ ⎠
的秩.
解: 对矩阵A作初等变换
A −2r1 + r2
− r1 + r3
⎛1 λ
−1 2 ⎞
⎜ ⎜⎜ ⎝
0 0
−1 − 2λ 10 − λ
λ+2 −5
1 −1
⎟ ⎟⎟ ⎠
−λc1 + c2
c1 + c3
−c1 + c4
⎛1 0
0 0⎞
⎜ ⎜⎜⎝
0 0