变异函数结构分析

第四章 变异函数及结构分析
——地统计学的工具
第一节 协方差函数和变异函数的性质
一、协方差函数的计算公式
设区域化变量Z(x)满足(准)二阶平稳假设，h为两样 本点空间分隔距离，Z(xi)与Z(xi+h)分别是Z(x)在空间 位置xi和xi+h上的观测值(i=1,2,…N(h)),则计算协方差 的公式为：
n
(
0)非负定矩阵，或说函数 (h)为非负定
i
i 1
函数
区域化变量Z(x)的 变异函数γ(h)是有条件的，即 需满足条件非负定条件
五、协方差函数与变异函数的关系
(h) C(0) C(h) C(h) C(0) (h)
变异函数与协方差函数值变化相反
C(0) C(h) (h)
4、随机型（random type）

(h)

0, C0
h (
0 0) ,
h

0
此时，C0=C(0)
这种变异函数可看成具有基台值C0和无穷小变程a的 跃迁型变异函数，则无论h多小，h总大于a，故Z(x)与 Z(x+h)总是互不相关
又称纯块金效应型，反映了区域化变量完全不存在空 间相关的情况，则本质上此区域化变量为普通随机变 量
x x #
1 N(h)
2
(h)
[Z( ) Z( h)]
2N (h) i1
i
i
式中，N (h)是分隔距离为h时的样本对数
变异函数曲线图：以h为横坐标， γ #(h)为纵坐标 作图
变异函数计算实例
（1）一维变异函数的计算
以下为一研究对象在水平方向上的采样数据，满足 二阶平稳或本征假设，采样值如图所示，点间分隔 距离h=1米，计算 γ #(h) 43 4 5 7 9 7 8 7 7 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
变异函数在原点处的性状主要有五种类型，每种类 型反映了变量的不同程度的空间连续性
1、抛物线型（parabolic type）
当|h|→0时, γ(h)→A|h|2(A为 常数)，即变异函数曲线在原 点处趋向一条抛物线，反映 区域化变量是具有高度连续 性的，如矿层厚度
2、线性型（linear type）
E{[Z(x) - m] [Z(x h) - m]}2 0
E[Z(x) m]2 E[Z(x h) m]2 2E[Z(x h) m][Z(x) m] 0
C(0) C(0) 2C(h) 0
C(0) C(h) 0 C (0) | C (h) |
差为C(h),变异函数为γ(h)，令Y是该类型区域化变
量的任意有限线性组合，即：
n
n
Y
Z
i
(
xi
)，权系数
满足条件
i
0
i
i 1
i 1
nn
Var(Y )
i jC(xi x j )
i1 j1
nn

i j[C(0) (xi x j )]
四、变异函数的性质
区域化变量Z(x)满足二阶平稳或本征假设条件，则 变异函数存在且平稳，计算公式为
(h) 1 E[Z(x)- Z(x h)]2 x h
2
1. γ(0) = 0，即在h=0时，变异函数为零
证： (0) 1 E[Z(x)- Z(x 0)]2 0
2
2. γ(h) = γ(-h) ，即γ(h)对h=0的直线对称，是一个 偶函数
C(-h) E[Z(x)- m][Z(x h) - m]
令x-h=y，则x=y+h，带入上式得
C(-h) E[Z(y h) - m][Z( y) - m] E[Z( y) - m][Z(y h) - m] C(h)
图形特征及含义
3.|C(h)| ≤C(0) ，即协方差函数绝对值小于等于先 验方差 证：
i1 j1
化变量的协方
nn

i jC(xi x j ) 0
i1 j1
差函数是有条 件的
三、实验(经验)变异函数(experimental variogram) 的计算公式
设区域化变量Z(x)满足(准)二阶平稳条件或(准)本征 假设，h为两样本点空间分隔距离，Z(xi)与Z(xi+h)分 别是Z(x)在空间位置xi和xi+h上的观测值(i=1,2,…N(h)), 则计算实验变异函数的公式为：
通过作出各个方向 上的变异函数图， 并放到一起来比较、 分析、研究，就可 以确定区域化变量 的各向异性（包括 有无各向异性，及 各向异性的类型等）
三、块金常数C0的大小可反映区域化变量的随机性大
小
——变异函数的块金效应
当h=0时，变异函数γ(h)≠0，而等于一个常数C0 ，这 种现象称为“块金效应”(nugget effect), C0称为块金常 数或块金方差(nugget variance)
证： () C(0) - C() C(0) - 0 C(0)
5.[- γ(h)]必须是一个条件非负定函数，即由[- γ(xixj)]构成的变异函数矩阵必须是条件非负定矩阵。
n
若条件
x x 0成立,则矩阵[ ( )]为非负定阵
i
i
j
i 1
区域化变量Z(x)二阶平稳，其数学期望为m，协方
二、协方差函数的性质
区域化变量Z(x)在二阶平稳假设下，其协方差函数 存在且平稳，定义为 Cov{Z(x),Z(x h)} E{Z(x)- E[Z(x)]}{Z(x h) - E[Z(x h)]} E[Z(x)Z(x h)]- E[Z(x)]E[Z(x h)] E[Z(x)Z(x h)]- m2 C(h) x h
h)]
2
N (h) i1
i
i
当h 0时，协方差计算公式可 变为：
C x m # (0)
1
N (h)
[Z (
)]2
2
N (h) i1
i
x x 式中m Z ( ) 1 N Z ( )
i
N i1
i
则空间相关函数计算公式为：
（# h）
C（# h） C（# 0）
协方差函数曲线图：以h为横坐标，C#(h)为纵坐 标作图
下图为正方形网格状的采样数据，*号处为无数据点， 点间距离h为100米，请分别计算南北、东西、西北和 东南方向上的变异函数值。
西北和东南方向上的变异函数值的计算，注意分隔 距离h的确定和样本数据对的查找
作业：
下图为正方形网格状的采样数据，网格交叉空白处为 无数据点，点间距离h为a米，请分别计算南北方向γ #(a), 西北—东南方向上γ #( 2a)。
两方面理解：变异性的理解与相关性的理解
作业：
以下为一研究对象在水平方向上的采样数据，满足 二阶平稳或本征假设，采样值如图所示，点间分隔 距离h=1米，计算 γ #(1), γ #(2), γ #(3) 24 3 1 5 3 6 4 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
（2）二维变异函数的计算
n i i 1
i
x x Z ( h) 1 n Z ( h)
i
n i1
i
式中，n为样本单元数。一般情况下，Z (xi) Z (xi h)
当Z (xi) Z (xi h) m(常数）时，
协方差计算公式可变为：
C x x m # (h)
1
N (h)
[Z (
)Z(
4.|h|→∞时,C(h) →0，或写作C(∞) =0，即当空间距 离很大时，协方差函数值很小
意义(空间局限性)：当距离很大时，Z(x)和Z(x+h) 之间的线性相关基本不存在
5.C(h)必须是一个非负定函数，由C(xi-xj）构成的 协方差函数矩阵必须是非负定矩阵
正定条件(positive definite condition)
证： (h) C(0) - C(-h) C(0) - C(h) (h)
3. γ(h) ≥0,即研究现象的变异性只能大于或等于零
证： (h) 1 E[Z(x)- Z(x h)]2 0
2
4.|h|→∞时, γ(h) →C(0)，或写作γ(∞) =C(0)，即当 空间距离很大时，变异函数值接近先验方差
C x x x x # (h)
1
N (h)
[Z (
) Z(
)][Z (
h) Z(
h)]
N (h) i1
i
i
i
i
式中，N (h)是分隔距离为h时的样本对数，Z (xi)和Z (xi h) 分别为Z (xi)和Z (xi h)的样本平均数
x x Z ( ) 1 n Z ( )
当 |h|→0 时 , γ(h)→A|h|(A 为 常数)，即变异函数曲线在原 点处趋向一条直线，或说在 原点处有斜向的切线存在， 反映区域化变量是具有平均 的连续性，如金属品位
3、间断型（discontinuous type）
当|h|→0 时, γ(h)→C0，即变异 函数曲线在原点处间断，说明块 金效应存在，又称“块金效应 型”，反映区域化变量的连续性 很差，但当h增大时，γ(h) 又变 的较为连续了，如金品位
先验方差等于协方差和变异函数之和， 即对一确定的研究区及对象相关性和 变异性值之和是常量
协方差函数和变异函数的曲线图 问题：为什么只 画出了h>0的关 系图？
当h足够大(即存在a>0， 当h≥a)时，可以使C(h) =0,γ(h)=C(0),a称为变 程(range)
变程a的意义：
1、变程a表示区域化变量从存在空间相关状态(当|h| <a时）转向不存在空间相关状态(当|h|>a时)的转折点
2、变程a的大小反映区域化变量影响范围的大小，或 说反映该变量自相关范围的大小。也可说变程a是区域 化变量空间变异尺度或空间自相关尺度
第二节 变异函数的功能
一、变异函数通过“变程”反映变量的影响范围 ——变异函数的跃迁现象
变异函数γ(h)是一个单调递增函数，当h超过某一数 值(变程a)后， γ(h)不再继续单调地增大，而往往稳定 在 一 个 极 限 值 γ(∞) 附 近 ， 这 种 现 象 称 为 “ 跃 迁 现 象”(transition phenomena)
1.C(0) = Var[Z(x)] ≥0，即先验方差不能小于零 2.C(h) =C(-h) ，即C(h)对h=0的直线对称，是一个 偶函数
证：
C(h) E{Z(x) - E[Z(x)]}{Z (x h) - E[Z(x h)]} E[Z(x) - m][Z(x h) - m]
块金效应的图形表示
“块金效应” 主要有两种来源： 1、区域化变量在小于抽样尺度h时所具有的变异性
2、采样分析误差
当样点间的距离大于微域结构的范围，或样点的大小 大 于 微 域 结 构 的 范 围 就 会 出 现 块 金 效 应 （ Webester ， 1985）
四、变异函数在原点处的性状可反映区域化变量的空 间连续性
γ(∞)极限值称为基台值(sill),即C(0)【二阶平稳条件】， 基台值的大小反映变量变化幅度的大小
凡具有一个变程a和一个基台值的变异函数，称为“跃 迁型”的变异函数
“变程”反映变量的影响范围(图示）
二、不同方向上的变异函数图可反映区域化变量的各
向异性
——变异函数表示的各向异性
如果在各个方向上区域化变量的变异性相同或相近， 则称区域化变量是各向同性的，反之称为各向异性
i1 j 1
n
n
nn
C(0)( )( )
i
j
i j[ (xi x j )]
i 1
j 1
i1 j1
nn

i j[ (xi x j )] 0
i1 j 1
即由(来自xix)(i,
j
j

1,2,...,
n)组成的矩阵为条件
区域化变量Z(x)二阶平稳，其数学期望为m，协方
差为C(h),变异函数为γ(h)，令Y是该类型区域化变
量的任意有限线性组合，即：
n
Y
Z
i
(
xi
)
i 1
Var(Y ) E[Y E(Y )]2 0
n
n
则由C(xi-xj） (i,j=1,2…n)构
E[ i 1
Z
i
(
xi
)

m
i 1
]2 成的协方差函
i 数矩阵是非负
n
较
难
E{
[
i
Z
(
xi
)

m]}2
i 1
定矩阵，即 C(h)为非负定 函数
理
nn
解
i j E[Z (xi ) m][Z (x j ) m]
i1 j 1
nn

i jCov[Z (xi ),Z (x j )] 二阶平稳区域