一 二维形式的柯西不等式

3
2
4
2
x 5 6 x 5.
2.已知2 x2 3 y2 6, 求证x 2 y 11.
证明：因为2x 2 3 y 2 6, 1 4 所以 x 2 y 2 x 3 y 11. 2 3
2 2
因此x 2 y 11.
用平面向量的坐标表示不等式(2)得：
ac bd a b c d ,
2 2 2 2
定理2（柯西不等式的向量形式） 设α，β是两个向量，则 │α .β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量或存在 实数k,使α=kβ时，等号成立.
探究 试从不等式(1)推导不等式(2)，再 进行反方向的推导，从数形结合的角度 体会两者的等价关系。
≥x12+y12+2│x1x2+y1y2│+x22+y22 ≥ x12+y12-2(x1x2+y1y2)+x22+y22 =x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22 =(x1-x2)2+(y1-y2)2
所以 x1 y1 x2 y2
2 2 2 2
x1 x2 y1 y2
3.掌握柯西不等式的应用.
过程与方法
1.通过探究，从式子变形的角度证出柯 西不等式，从而认识其代数形式. 2.借助平面向量，从数量积的角度推 出二维柯西不等式的向量形式.从而给 出几何意义。
情感态度与价值观
锻炼学生分析问题，解决问 题的能力，并培养其审美观。
教学重难点
重点
定理(1)和定理(2).
证
明
根据柯西不等式，有 (a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
反思 在证明不等式时，联系经典不等式， 既可以启发证明思路，又可以简化运算.
例2
求函数y= 5 x 1 10 2 x .
分析
利用不等式解决极值问题，通常设法在 不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取 等号的条件。这个函数的解析式是两部分的 和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不 等式求其最大值。
难点
数形结合认识(1)与(2)两式的 等价关系.
定理1（二维形式的柯西不等式） 若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.
分析 你能否证明 a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
证
明
a b c d
而(ad-bc)2≥0, 因此(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2
提示
上式(1)是本节课所要研究 的柯西不等式.
教学目标
知识与能力
1.认识二维柯西不等式的代数和向量形 式.理解二维柯西不等式的几何意义.
2.通过探究，思考和讨论，使学生从数形 两方面认识柯西不等式的代数和向量的等 价关系。
x
定理3(二维形式的三角不等式)
设x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么 x1 y1 x2 y2
2 2 2 2
x1 x2 y1 y2
2
2
能用柯西不等 式证明吗？
证
明

x12 y12 x2 2 y2 2

2
x12 y12 2 x12 y12 x2 2 y2 2 x2 2 y2 2
2
2
分析
不等式(3)对于任何实数都成立，于是可 以得到：
x1 x3 y1 y3
2
2

2
x 2 x 3 Hale Waihona Puke Baidu y2 y3
2
2

x1 x2 y1 y2
2
4
探究 请结合平面直角坐标系，解释 不等式(4)的几何意义。
例1 已知a,b为实数。 试证(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3) 分析 虽然可以作乘法展开上式的两 边，然后在比较它们的大小。但如 果注意到不等式的形式与柯西不等 式的一致性，既可以避免繁杂了。
新课导入
探究
类比不等式a2+b2≥2ab的推导过程， 通过乘法及配方，研究关于它的不等 关系.
分析
把该式首先展开，再用配方法，问 题就可以解决。
解：
展开乘积得 (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2 即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2
观察
如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据△oP1P2 的边 长关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着 何种大小关系吗？
y
P1 x1 , y1
y
P1 x1 , y1
.
P2 x2 , y2
0
x
0
.
P2 x2 , y2
习题答案
习题3.1（第36页）
1.函数定义域为 5， 6，且y 0 y = 3 x - 5 + 4 6 - x (32 + 4 2 )(x - 5 + 6 - x) = 5 当且仅当4 x - 5 = 3 6 - x, 134 即x = 时，函数有最大值5. 25
2.三维柯西不等式
2 2 2 2 2 2 (a1 + a2 + a )(b + b + b ) (a b + a b + a b ) 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ;
分析 问题中a+b=1这个条件，由于常 数1的特殊性，用a+b去乘任何数或 式子，都不会改变它们的值.
证
明
由于a , b R , 根据柯西不等式，得 1 1 1 1 a b a b 4. a b a b 又a b 1, 1 1 所以 4. a b
设在平面直角坐标系xoy中有向量 α=(a,b), =(c,d) ，与之间的夹角为θ，0≤ θ ≤π （如图） y
c, d
根据向量数量积的定义，有 α.β=│α││β│cos θ
0

a, b
x
所以
│α.β│=│α││β││cosθ│
因为│cosθ│≤1,
所以│ α.β │≤│ α ││ β │
3.二维形式的柯西不等式的应用.
设x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么 x1 y1
2 2
x 2 y2
2 2
x1 x2
2
y1 y2
2
随堂练习
1.求函数y 3 x 5 4 6 x的最大值.
解：函数定义域为 5， 6，且y 0. y 3 x5 4 6 x
解：函数的定义域为 1， 5，且y 0. y 5 x 1 2 5 x 5
2
2
2


x 1

2
5 x

2
6 3 当且仅当 2 x 1 5 5 x时，等号成立， 127 即x 时函数取最大值6 3. 27
例3
设a , b R ，a+ b= 1, 求证 1 1 4. a b
2 2 2 2
a
2
b
2
c
2
2
d
2


ac bd
ac bd .
对于任何实数a , b, c , d 有不等式成立： a b c d ac bd ,
2 2 2 2
a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd .
讨论
对一个代数结果进行最简单的诠释， 往往要借助直观的几何背景。讨论柯西 不等式的几何意义。
2
课堂小结
1.二维形式的柯西不等式的代数形式. 若a,b,c,d都是实数， 则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且 仅当ad=bc时，等号成立.
2.二维形式的柯西不等式的向量形式. 设α，β是两个向量，
则│α .β│≤│α││β│,
当且仅当β是零向量或存在实数k,使 α=kβ时，等号成立.
三维三角不等式
2 2 2 2 2 x1 + y1 + z1 + x2 + y + z 2 2 2
(x1 - x 2 )2 + (y 1 - y 2 )2 + (z 1 - z 2 ) 2