线性代数矩阵的性质及应用举例

华北水利水电学院线性代数解决生活中实际问题

课程名称：线性代数

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2012年11月7日

关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨

摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。 关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵

矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。

定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。

定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1

-A 。 定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。 逆矩阵的基本性质：

性质1 当A 为可逆阵，则A

A

1

1

=

-. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1

-为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--1

1)(

)0(1)(1

1≠=

--k A k

kA . 性质3 111

)

(---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11

'=--A .

由性质3有 定理2

若)2(,21≥n A A A n Λ是同阶可逆阵，则n A A A Λ21,是可逆阵，且21(A A

下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法

利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1

。

方法二 伴随矩阵法

定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i Λ=，

矩阵 ⎝⎛⎪⎪⎪

⎭

⎫nn n n

n n A A A A A A A A A Λ

ΛΛ2122212

12111称为A 的伴随矩阵，记作A*。 定理3 矩阵A 可逆的充分必要条件是0≠A ，并且当A 可逆时,有

*1

1A A

A =

-。 定理证明见[1].

定理3不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。

由定理3逆矩阵判定的方法还有：

推论3.1 n 级矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 的秩为n 。 推论3.2 矩阵A 可逆的充要条件是它的特征值都不为0。

推论3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是它的行(或列)向量组线性无关。 方法三 初等变换法

定义4 对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换：

)1(

交换矩阵的两行(列)；

)2(以一个非零的数k 乘矩阵的某一行(列)；

)3( 把矩阵的某一行（列)的k 倍加到另一行(列)。

定理4 方阵A 可逆的充分必要条件是A 可表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。

具体方法是：欲求A 的逆矩阵时，首先由A 作出一个n n 2⨯矩阵，即)(E A M

，其次对这个矩阵施以行初等变换(且只能用行初等变换)，将它的左半部的矩阵A 化为单位矩阵，那么原来右半部的单位矩阵就同时化为1

-A ：

)()(1-−−−→−A E E A M M 行初等变换

或者⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A ΛΛ列初等变换

例1

求矩阵A 的逆矩阵，已知⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=521310132A 。

解：

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→001132010310100521100521010310001132)(E A M ⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---→20191001031010052

1

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

--

--→⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

--→⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--→316

16110012321

103265

65021316

161100010

31010

0521211600010310100521

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-----

-

→31616110012

3

21

0103461361001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛----

-=∴-31616

112

3

21

34613611A 注：在事先不知道n 阶矩阵是可逆的情况下，也可直接用此方法。如果在初等变换过程中发

现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆。 方法四 利用解线性方程组来求逆矩阵 若n 阶矩阵A 可逆，则E AA

=-1

，于是1-A 的第j 列是线性方程组j AX ε=的

解，n j Λ2,1=.因此我们可以去解线性方程组β=AX ，其)(1'=n b b Λβ，把所得的解的公