概率论与数理统计第一章5
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42 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为
P(B A), 则 P(B A) 1 1 4 P( AB) P(B). 3 3 4 P( A)
2. 定义
设 A, B 是两个事件,且 P( A) 0,称 P(B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件B发生的条件概率.
二、 乘法定理
设 P( A) 0, 则有 P( AB) P(B A)P( A). 设 A, B,C 为事件,且 P( AB) 0, 则有
P( ABC ) P(C AB)P(B A)P( A).
推广 设 A1, A2, , An 为 n 个事件,n 2, 且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有 P( A1 A2 An ) P( An A1 A2 An1 )
AB {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)}, 由条件概率的公式得
P(B A) P( AB) P( A)
6 12 2 . 9 12 3
例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
231 321 322 2, 543 543 543 5
依此类推
P( A4 )
P( A5 )
2 5
.
故抓阄与次序无关.
摸球试验 例4 设袋中装有 r 只红球、t 只白球.每次自袋中 任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入a 只 与所取出的那只球同色的球, 若在袋中连续取球 四次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取 到白球的概率.
54 54 5 P( A3 ) P( A3S) P( A3( A1 A2 A1 A2 A1 A2 )) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
以 (i, j) 表示第一次、第二次分别取到第 i 号、第 j 号产品, 则试验的样本空间为
S {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4) , , (4,1), (4,2), (4,3)},
A {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4)},
P( An1 A1 A2 An2 ) P( A2 A1 )P( A1 ).
例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽 样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率 P(解B|A)将. 产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 .
(4) P( A B) 1 P( A B).
(5) 可列可加性: 设 B1, B2 , 是两两不相容的事
件, 则有
P Bi A P(Bi A).
i1
i1
4.条件概率的计算
1.公式法 2.缩减样本空间法：在条件 A 缩减得新的样
本空间 SA,再进一步在新样本空间下计算
P(B),从而得 P(B / A).
解 设 Ai 表示“第i 人抓到有字阄”的事件,
i 1,2,3,4,5.
则有
P( A1 )
2, 5
P( A2 ) P( A2S) P( A2 ( A1 A1))
P( A1A2 A1A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 A1 ) P( A1 )P( A2 A1 ) 21 32 2,
P( AB) 2 1 6 * 6 18
P(B / A) P( AB) 1 / 18 1 P( A) 1 / 6 3
法2 缩减样本空间法
条件 A对应的样本空间为 SA {(1, 6), (6,1), (2,5), (5, 2), (3, 4), (4,3)}
在新的样本空间下
P(B) 2 1 63
则有
P(B A) P( AB) . P( A)
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4, P( AB) P(B),
所以 P(B A) P( AB) 0.4 1 . P( A) 0.8 2
抓阄是否与次序有关?
例3 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字， 三个阄内不写字 ，五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?
解 设 Ai (i 1,2,3,4) 为事件“第 i 次取到红球”
例：抛2颗骰子，已知两颗骰子点数之和为 7，求其中1颗骰子为1点的概率（用两种 方法）.
解：法1 设 A ={2颗骰子的点数和为7}
B ={有1颗骰子的点数为1点}
A 对应的样本空间为
SA ={(1,6),(6,1),(2,5)(5,2),(3,4),(4,3)}
P( A) 6 1 6*6 6
同理可得
P( A B) P( AB) P(B)
为事件 B 发生的条件下事件Leabharlann BaiduA 发生的条件概率.
3. 性质
(1) 非负性 : P(B A) 0;
(2) 规范性 : P(S B) 1, P( B) 0;
(3) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1A2 B);
第五节 条件概率
一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结
一、条件概率
1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反
两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”, 事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.
分析 设 HS 为 {正H面H, HTT为, T反H面, T.T }. A {HH, HT,TH}, B {HH ,TT}, P(B) 2 1 .
P(B A), 则 P(B A) 1 1 4 P( AB) P(B). 3 3 4 P( A)
2. 定义
设 A, B 是两个事件,且 P( A) 0,称 P(B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件B发生的条件概率.
二、 乘法定理
设 P( A) 0, 则有 P( AB) P(B A)P( A). 设 A, B,C 为事件,且 P( AB) 0, 则有
P( ABC ) P(C AB)P(B A)P( A).
推广 设 A1, A2, , An 为 n 个事件,n 2, 且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有 P( A1 A2 An ) P( An A1 A2 An1 )
AB {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)}, 由条件概率的公式得
P(B A) P( AB) P( A)
6 12 2 . 9 12 3
例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
231 321 322 2, 543 543 543 5
依此类推
P( A4 )
P( A5 )
2 5
.
故抓阄与次序无关.
摸球试验 例4 设袋中装有 r 只红球、t 只白球.每次自袋中 任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入a 只 与所取出的那只球同色的球, 若在袋中连续取球 四次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取 到白球的概率.
54 54 5 P( A3 ) P( A3S) P( A3( A1 A2 A1 A2 A1 A2 )) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
以 (i, j) 表示第一次、第二次分别取到第 i 号、第 j 号产品, 则试验的样本空间为
S {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4) , , (4,1), (4,2), (4,3)},
A {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4)},
P( An1 A1 A2 An2 ) P( A2 A1 )P( A1 ).
例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽 样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率 P(解B|A)将. 产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 .
(4) P( A B) 1 P( A B).
(5) 可列可加性: 设 B1, B2 , 是两两不相容的事
件, 则有
P Bi A P(Bi A).
i1
i1
4.条件概率的计算
1.公式法 2.缩减样本空间法：在条件 A 缩减得新的样
本空间 SA,再进一步在新样本空间下计算
P(B),从而得 P(B / A).
解 设 Ai 表示“第i 人抓到有字阄”的事件,
i 1,2,3,4,5.
则有
P( A1 )
2, 5
P( A2 ) P( A2S) P( A2 ( A1 A1))
P( A1A2 A1A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 A1 ) P( A1 )P( A2 A1 ) 21 32 2,
P( AB) 2 1 6 * 6 18
P(B / A) P( AB) 1 / 18 1 P( A) 1 / 6 3
法2 缩减样本空间法
条件 A对应的样本空间为 SA {(1, 6), (6,1), (2,5), (5, 2), (3, 4), (4,3)}
在新的样本空间下
P(B) 2 1 63
则有
P(B A) P( AB) . P( A)
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4, P( AB) P(B),
所以 P(B A) P( AB) 0.4 1 . P( A) 0.8 2
抓阄是否与次序有关?
例3 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字， 三个阄内不写字 ，五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?
解 设 Ai (i 1,2,3,4) 为事件“第 i 次取到红球”
例：抛2颗骰子，已知两颗骰子点数之和为 7，求其中1颗骰子为1点的概率（用两种 方法）.
解：法1 设 A ={2颗骰子的点数和为7}
B ={有1颗骰子的点数为1点}
A 对应的样本空间为
SA ={(1,6),(6,1),(2,5)(5,2),(3,4),(4,3)}
P( A) 6 1 6*6 6
同理可得
P( A B) P( AB) P(B)
为事件 B 发生的条件下事件Leabharlann BaiduA 发生的条件概率.
3. 性质
(1) 非负性 : P(B A) 0;
(2) 规范性 : P(S B) 1, P( B) 0;
(3) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1A2 B);
第五节 条件概率
一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结
一、条件概率
1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反
两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”, 事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.
分析 设 HS 为 {正H面H, HTT为, T反H面, T.T }. A {HH, HT,TH}, B {HH ,TT}, P(B) 2 1 .