第17讲：复数(二)复数综合 作业

第十七讲 复数（二）复数综合

课后作业

【1】若复数123,,z z z 满足1230z z z ++=，且1231z z z ===，求证复平面以123,,z z z 所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形。

【2】（2006复旦）在实数范围内分解因式4321x x x x ++++=________

【3】已知半径为1的定圆O 的内接正n 边形的顶点为(1,2,,)k P k n =，P 为该圆周上任意一

点，求证：2

2

2

1

2n PP PP PP +++为一定值。

【4】已知,,,a b c d 为实数，关于x 的五次方程54320x x ax bx cx d +++++=有四个相异的纯虚数根。求 ,,,a b c d 满足的条件。

【5】（2013清华保送生）求证：112i 00

1gcd(,)e mnb

a a a m n a

b a π--===∑∑，其中N ,a b ∈，gcd(,)a b 表

示正整数,a b 的最大公约数。

第十七讲 复数（二）复数综合

参考答案

【1】若复数123,,z z z 满足1230z z z ++=，且1231z z z ===，求证复平面以123,,z z z 所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形。

【解析】由于1231z z z ===，设123cos sin ,cos sin ,cos sin z i z i z i ααββγγ=+=+=+，

由对称性不妨设0αβγ≤≤≤

又因1230z z z ++=，所以cos sin cos sin cos sin 0i i i ααββγγ+++++= 有cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ+=-+=- 将2个式平方相加：1

22cos()1,cos()2

αβαβ+-=-=-

02,βαπ≤-<所以24

33βαππ-=或

同理24

33

γβππ-=或

又2πγαγββα>-=-+- 所以只能2

3

βαγβπ-=-=

所以以123,,z z z 所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形 【2】（2006复旦）在实数范围内分解因式4321x x x x ++++=________

【解析】由等比数列求和公式，54

3

2

1

11

x x x x x x -++++=

- 记5次单位根22cos

isin 55

ππω=+，

则5234

1(1)()()()()x x x x x x ωωωω-=-----， 故432234

1()()()()x x x x x x x x ωωωω++++=----。 而其中32ωω=，4ωω=。而2

44cos

isin 55

ππω=+。 于是432221()()()()x x x x x x x x ωωωω++++=---- 其中2

2

2()()()2cos

15x x x x x x π

ωωωωωω--=-++=-+， 222222224()()()2cos 15

x x x x x x π

ωωωωωω--=-++=-+。

由第13讲例3结论，sin

10

π

=

，故2cos sin 510ππ==

，

24cos

cos 2sin 15510πππ=-=-=

于是4322

22412cos

12cos 155x x x x x x x x ππ⎛

⎫⎛⎫++++=-+-+ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭

2211x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

【3】已知半径为1的定圆的内接正n 边形的顶点为(1,2,,)k P k n =，P 为该圆周上任意一点，

求证：2

2

2

1

2n PP PP PP +++为一定值。

【解析】以O 为坐标原点，不妨设1P 的坐标为（1,0），设k P 对应的复数为k z ，P 对应的复数为z ，则

2222

2

12()()n i i i i i PP PP PP z z z z z z n z z z z z n ++

+=-=--=--+∑∑∑∑

另一方面2

1,0i i z z z ===∑∑ 所以2

22

2

12()()2n i i i PP PP PP z z z z z z n ++

+=-=--=∑∑为定值

【4】已知,,,a b c d 为实数，关于x 的五次方程54320x x ax bx cx d +++++=有四个相异的纯虚数根。求 ,,,a b c d 满足的条件。

【解析】由于54320x x ax bx cx d +++++=是实系数方程，所以有虚根成对原理，由题意可

设543222()()()x x ax bx cx d x t x p x q +++++=-++，其中,,,,0t p q R p q ∈> 展开得5432542232222222()()x x ax bx cx d x tx p q x t p q x p q x tp q +++++=-++-++- 比较系数得222222221,,(),,t p q a t p q b p q c tp q d -=+=-+==-= 所以22220,0a b p q c d p q ==+>==>

22,p q 为方程20t at c -+=的2个相异正实根，则240a c =->，

所以所求的条件为20,0,4a b c d a c =>=>>

【5】（2013清华保送生）求证：112i 00

1gcd(,)e mnb

a a a m n a

b a π--===∑∑，其中N ,a b ∈，gcd(,)a b 表

示正整数,a b 的最大公约数。 【解析】先考虑内层对n 求和。 对于任意给定的m ，

2i

e

mnb a

π是关于n 的等比数列，公比为

2i

e

mb a

π。

当

mb

a 不是整数时，公比是一个不是1的a 次单位根，故2i

1

2i

2i

1e

e 01e

mnb

a mn

b a a a

mnb n a

πππ⋅-=-=

=-∑。

当mb a 是整数时，公比是1，故12i

e mnb

a a

n a π-==∑。

mb

a

是整数，即mb 是a 的倍数，故我们只需要清点当0,1,2,1,a m =-时，有几个m 能

使得mb 是a 的倍数。

由于gcd(,)gcd(,)b b a b a b =⋅

，其中gcd(,)

b

a b 与a 互素。

（将b 分解成与a “共同的”部分与a 和“无关的”部分，b 能帮得上忙的只有“共同的”

部分） 故m 必须是

gcd(,)

a

a b 的倍数。

在0到1a -范围之内，

gcd(,)

a

a b 的倍数共有gcd(,)a b 个。

故

11

2i

00

e

gcd(,)mnb a a a

m n a b a π--===⋅∑∑，即112i 00

1gcd(,)e mnb

a a a m n a

b a π--===∑∑。