影响线

第五章 影响线

§5-1 影响线的概念

一、移动荷载的概念

1. 固定荷载——荷载作用位置固定不变。

2. 移动荷载——大小相对确定但作用位置随时间不断变化，如汽车、火车、厂房吊车等。

3. 二者的区别

（1）在固定荷载作用下，结构内力与位移是确定的，某截面的内力是定值； （2）在移动荷载作用下，结构某截面的内力随荷载位置的变化而变化。 二、本章讨论的主要问题

1.结构上某截面的内力或支座反力随移动荷载位置变化而变化的规律。

2.研究移动荷载的最不利位置，并求出支座反力或内力的最大值，作为结构设计的依据。 三、影响线

1.概念——在单位移动荷载1=P 作用下，结构某一截面的支座反力或内力的变

化规律用图形表示出来，称为该量值的影响线。

2.绘制方法——静力法和机动法

§5-2 用静力法作静定梁的影响线

一、静力法作图的原理和步骤

1. 选择坐标系，定坐标原点，并用变量x 表示单位移动荷载1=P 的作用位置；

2. 列出某截面内力或支座反力关于x 的静力平衡方程，并注明变量x 的取值范围；

3. 根据影响线方程绘出影响线。

注意：（1）内力或支座反力的正负号规定：弯矩和剪力同前，竖向支座反力以向上为正；

（2）量值的正值画在杆轴上侧，负值画在杆轴下侧。

二、应用举例 1.简支梁

∑=0A

M ()l x l

x R x l R B B ≤≤=

⇒=⨯-⨯001

∑

=0B

M

()()l x l x l R x l l R A A ≤≤-=

⇒=-⨯-⨯001

1=P 位于

C 点左侧时，()a x l

x

R F B QC ≤≤-

=-=0

()a x x l

b b R M

B C

≤≤=

⨯=0

1=P 位于

C 点右侧时，()l x a l x l R F A QC ≤≤-=

=

()()l x a

x l l

a a R M

A C

≤≤-=

⨯=

2.外伸梁——设外伸梁如图所示，需作出反力A R 、B R 以及截面C 和D 的弯矩、剪力影响线。(1) 反力影响线

取支座A 为坐标原点，以1=P 作用点到A 点的距离为变量x ，且取x 以向右为正。利用简支梁平衡条件分别求得A R 和B R 的影响线方程为 l

x l R A -= ()21l l x l +≤≤-

l x R B =

()21l l x l +≤≤-

(2) 简支部分任意截面C 的内力影响线 当1=P 位于截面C 以左时， x

l b b R M B C =⨯= ()a x l ≤≤-1

l x R F B QC -

=-= ()a x l ≤≤-1

当1=P 位于截面C 以右时，则有 ()x l l a a R M A C -=⨯= ()2l l x a

+≤≤

l

x l R F A QC -=

= ()2l l x a +≤≤

(3) 外伸部分任意截面D 的内力影响线

当1=P 位于D 以左部分时，有 x M D ∙-=11-=QD F 当P=1位于D 以右部分时，则有 0=D M 0=QD F

特别注意：不要把影响线和一个集中荷载作用下简支梁的弯矩图混淆。

§5-3 用机动法作静定梁的影响线

一、机动法作图的基本原理——刚体体系的虚位移原理（虚设单位位移法） 二、作图步骤

1.撤掉与所求量值相对应的约束（支座或与截面内力对应的约束），用正方向的量值来代替；

2.沿所求量值正方向虚设单位位移，并画出整个梁的刚体位移图；

3.应用刚体体系的虚功原理建立虚功方程，导出所求量值与位移图之间的关系，即为影响线。

§5-4 影响线的应用

一、当荷载位置固定时求某量值

1．集中荷载作用

图(a)所示的外伸梁上，作用一组位置确定的集中荷载P 1、P 2、P 3。现拟求截面C 的弯矩M C 。

首先作出M C 影响线如图(b)所示，并计算出对应各荷载作用点的竖标y 1、y 2、y 3。根据叠加原理可知，在P 1、P 2、P 3共同作用下，M C 值为 332211y P y P y P M C ++=

在这组集中荷载共同作用下，量值为 ∑=

+⋅⋅⋅++=i

i

n n y

P y P y P y P Z 2211

说明：i P 与单位移动荷载1=P 方向一致为正，即向下为正；i y 与影响线正负号相同。

2．均布荷载作用

图(a)所示简支梁DE 段作用均布荷载q ，求截面C 的剪力C Q F 。 首先作出截面C 的C Q F 影响线，如图(b)所示。全部均布荷载作用下的C Q F 值为 ⎰⎰

==⋅=

E

D

E

D

C Q q ydx q qdx y F ω

同理，当梁上作用有荷载集度各不相同的均布荷载，或不连续的均布荷载时，则应逐段计算，然后求其代数和，即

∑=

i

i

q Z ω

说明：i q 与单位移动荷载1=P 方向一致为正，即向下为正；i ω表示均布荷载i q 作

用区段内的面积，与影响线正负号相同。