天津市第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 PDF版含答案
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9． 100 101
10．2n-1
12
11．
5
12．2
13． ( 1 , 1) 2
14．1349
三．解答题：（共 52 分） 15．解：
（1）设平面 BDE 法向量 m (x, y, z) BD (1，1，0) BE (1，0，2)
x y 0 x 2z 0 m (2，2，1) CE (1，2，2) sin 2 4 2 4
16．已知椭圆 C : x2 y2 1 ， 43
（1）若
，求
分别为椭圆的左右焦点， 为椭圆上任意一点 的面积；
（2）是否存在着直线 ，使得当 经过椭圆左顶点 且与椭圆相交于点 ，点 与点 关于
轴对称， 满足 OB OD 20 ，若存在，请求出直线 的方程；若不存在，请说明理由． 7
17．已知数列an 是等差数列，其前 n 项和为 Sn ，数列bn 是等比数列，
（）
y 3x
A．
3
y 1 x B． 3
y1x
C．
2
y 2x
D．
2
二．填空题：（每题 4 分）
第 II 卷
9．已知等差数列 的前 n 项和为 ，
，
项和为__________．
，则数列
的前 100
10．记 Sn 为递增等比数列an 的前 n 项和，若 S1 1， S4 5S2 ，则 an __________.
33 9 （2）设平面 BDF 法向量 n (x, y, z) BF (0，2，8 )
7 2y 8 z 0 7 x y 0 n (4，4， 7) cos 8 8 7 1
39 3
16．解：
（1）
rr11
r2 r2
4 1
5
3
r1= 2 r2 = 2 |F1F2|=2
Rt
PF1F2
（）
A．10
B．15
C．30
D．3
4．在等差数列an 中，首项 a1 0 ，公差 d 0 ，前 n 项和为 Sn ，且满足 S3 S15 ，则
Sn 的最大项为（ ）
A． S7
B． S8
C． S9
D． S10
5．已知等比数列an 的公比 q 0 ，且 a2 1， an2 an1 2an ，则an 的前 2020 项
和等于（ ）
A．2020
B．-1
C．1
D．0
6．已知数列an 中， a1 1， an1 an n ，则数列an 的通项公式为（ ）
A． an
n2 2
n
B． an
n2 2
n
C． an
n2
n 2
2
D． an n2 n 1
7．已知双曲线方程为 x2 y2 4 ，过点 A(3,1) 作直线 l 与该双曲线交于 M , N 两点，若点 A
=
1 2
2
3 2
=
3 2
（2）A（-2，0）显然 k 存在
y k(x 2)
3x
2
4
y
2
12
0
△≥0
3x2+4k-(x+2)2-12=0
(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0
（2）若
bn
2n
n
nan
1
（n∈N*），求数列bn 的前
n
项和 Tn
;
（3）是否存在实数 使得 Tn 2 Sn 对 n N 恒成立，若存在，求实数 的取值范
围，若不存在说明理由．
一．选择题：（每题 3 分）
1．A
2．B
5．D
6．C
3．B 7．A
参考答案
4．C 8．D
二．填空题：（每题 4 分）
13．已知数列an 满足 an
1 3
a
n
2, n
8
n N
，若对于任意 n N 都有
an7 , n 8
an an1 ，则实数 a 的取值范围是__________.
14．已知数列an 满足
an
logn2
1,
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n 1
3, n 2, n
N
，
定义使 a1 a2 a3 ak k N 为整数的 k 叫做“幸福数”，则区间1, 2020 内所有“幸
11．已知直线 l : 4x 3y 8 0 ，抛物线 C : y2 4x 图像上的一动点到直线 l 与它到抛物线
准线距离之和的最小值为__________.
12．设双曲线
x2 a2
y2 b2
1（ a
0 ， b 0 ）的两条渐近线分别为 l1 ， l2 ，左焦点为 F ．若
点 F 关于直线 l1 的对称点 在 l2 上，则双曲线的离心率为__________．
福数”的和为__________．
三．解答题：（共 52 分）
15．如图， AE 平面 ABCD ， CF ∥ AE, AD∥BC ， AD AB,
AB AD 1, AE BC 2 , CF 8 7
（1）求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；
（2）求平面 BDE 与平面 BDF 夹角的余弦值。
且 a1 b1 2 ， a4 b4 27 ， S4 b4 10 .
（1）求数列an 与bn 的通项公式； （2）设 cn an bn ，求数列cn 的前 n 项的和 Tn .
18．已知正项数列an 的前 n 项和 Sn 满足 2Sn an2 an 2.
（1）求数列an 的通项公式；
恰好为 MN 中点，则直线 l 的方程为（ ）
A． y 3x 8
B． y 3x 8
C． y 3x 10
D． y 3x 10
8．在平面直角坐标系 xOy
中，双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0)
右支与焦点为 F
的抛物线
x2 2 py( p 0) 交于 A, B 两点，若 | AF | | BF | 4 | OF | ，则该双曲线的渐近线方程为
天津一中 2020-2021-1 高二年级数学学科期末质量调查试卷
本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用
时 90 分钟。考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效。 祝各位考生考试
顺利!
第I卷
一．选择题：（每题 3 分）
1．抛物线 y 1 x2 的准线方程为（ ） 4
A． y 1
x 1 B． 16
C． y 1
x 1
D．
16
2．已知圆 x 12 y 22 9 的一条直径通过直线 2x y 4 0 被圆所截弦的中
点，则该直径所在直线的方程为（ ）
A． x 2y 5 0 B． x 2y 5 0 C． x 2y 5 0 D． x 2y 5 0 3．已知数列{an}是等差数列， Sn 是数列{an}的前 n 项和， S2 a6 9 ，则S5 的值为
10．2n-1
12
11．
5
12．2
13． ( 1 , 1) 2
14．1349
三．解答题：（共 52 分） 15．解：
（1）设平面 BDE 法向量 m (x, y, z) BD (1，1，0) BE (1，0，2)
x y 0 x 2z 0 m (2，2，1) CE (1，2，2) sin 2 4 2 4
16．已知椭圆 C : x2 y2 1 ， 43
（1）若
，求
分别为椭圆的左右焦点， 为椭圆上任意一点 的面积；
（2）是否存在着直线 ，使得当 经过椭圆左顶点 且与椭圆相交于点 ，点 与点 关于
轴对称， 满足 OB OD 20 ，若存在，请求出直线 的方程；若不存在，请说明理由． 7
17．已知数列an 是等差数列，其前 n 项和为 Sn ，数列bn 是等比数列，
（）
y 3x
A．
3
y 1 x B． 3
y1x
C．
2
y 2x
D．
2
二．填空题：（每题 4 分）
第 II 卷
9．已知等差数列 的前 n 项和为 ，
，
项和为__________．
，则数列
的前 100
10．记 Sn 为递增等比数列an 的前 n 项和，若 S1 1， S4 5S2 ，则 an __________.
33 9 （2）设平面 BDF 法向量 n (x, y, z) BF (0，2，8 )
7 2y 8 z 0 7 x y 0 n (4，4， 7) cos 8 8 7 1
39 3
16．解：
（1）
rr11
r2 r2
4 1
5
3
r1= 2 r2 = 2 |F1F2|=2
Rt
PF1F2
（）
A．10
B．15
C．30
D．3
4．在等差数列an 中，首项 a1 0 ，公差 d 0 ，前 n 项和为 Sn ，且满足 S3 S15 ，则
Sn 的最大项为（ ）
A． S7
B． S8
C． S9
D． S10
5．已知等比数列an 的公比 q 0 ，且 a2 1， an2 an1 2an ，则an 的前 2020 项
和等于（ ）
A．2020
B．-1
C．1
D．0
6．已知数列an 中， a1 1， an1 an n ，则数列an 的通项公式为（ ）
A． an
n2 2
n
B． an
n2 2
n
C． an
n2
n 2
2
D． an n2 n 1
7．已知双曲线方程为 x2 y2 4 ，过点 A(3,1) 作直线 l 与该双曲线交于 M , N 两点，若点 A
=
1 2
2
3 2
=
3 2
（2）A（-2，0）显然 k 存在
y k(x 2)
3x
2
4
y
2
12
0
△≥0
3x2+4k-(x+2)2-12=0
(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0
（2）若
bn
2n
n
nan
1
（n∈N*），求数列bn 的前
n
项和 Tn
;
（3）是否存在实数 使得 Tn 2 Sn 对 n N 恒成立，若存在，求实数 的取值范
围，若不存在说明理由．
一．选择题：（每题 3 分）
1．A
2．B
5．D
6．C
3．B 7．A
参考答案
4．C 8．D
二．填空题：（每题 4 分）
13．已知数列an 满足 an
1 3
a
n
2, n
8
n N
，若对于任意 n N 都有
an7 , n 8
an an1 ，则实数 a 的取值范围是__________.
14．已知数列an 满足
an
logn2
1,
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n 1
3, n 2, n
N
，
定义使 a1 a2 a3 ak k N 为整数的 k 叫做“幸福数”，则区间1, 2020 内所有“幸
11．已知直线 l : 4x 3y 8 0 ，抛物线 C : y2 4x 图像上的一动点到直线 l 与它到抛物线
准线距离之和的最小值为__________.
12．设双曲线
x2 a2
y2 b2
1（ a
0 ， b 0 ）的两条渐近线分别为 l1 ， l2 ，左焦点为 F ．若
点 F 关于直线 l1 的对称点 在 l2 上，则双曲线的离心率为__________．
福数”的和为__________．
三．解答题：（共 52 分）
15．如图， AE 平面 ABCD ， CF ∥ AE, AD∥BC ， AD AB,
AB AD 1, AE BC 2 , CF 8 7
（1）求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；
（2）求平面 BDE 与平面 BDF 夹角的余弦值。
且 a1 b1 2 ， a4 b4 27 ， S4 b4 10 .
（1）求数列an 与bn 的通项公式； （2）设 cn an bn ，求数列cn 的前 n 项的和 Tn .
18．已知正项数列an 的前 n 项和 Sn 满足 2Sn an2 an 2.
（1）求数列an 的通项公式；
恰好为 MN 中点，则直线 l 的方程为（ ）
A． y 3x 8
B． y 3x 8
C． y 3x 10
D． y 3x 10
8．在平面直角坐标系 xOy
中，双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0)
右支与焦点为 F
的抛物线
x2 2 py( p 0) 交于 A, B 两点，若 | AF | | BF | 4 | OF | ，则该双曲线的渐近线方程为
天津一中 2020-2021-1 高二年级数学学科期末质量调查试卷
本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用
时 90 分钟。考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效。 祝各位考生考试
顺利!
第I卷
一．选择题：（每题 3 分）
1．抛物线 y 1 x2 的准线方程为（ ） 4
A． y 1
x 1 B． 16
C． y 1
x 1
D．
16
2．已知圆 x 12 y 22 9 的一条直径通过直线 2x y 4 0 被圆所截弦的中
点，则该直径所在直线的方程为（ ）
A． x 2y 5 0 B． x 2y 5 0 C． x 2y 5 0 D． x 2y 5 0 3．已知数列{an}是等差数列， Sn 是数列{an}的前 n 项和， S2 a6 9 ，则S5 的值为