函数的最大(小)值与导数

练习：函数 y = x³+ 3 x²－9x在 [－4 , 4 ] 上的最大值为 76 ,最小值为 -5 .
分析: (1) 由 f ´(x)=3x²+6x－9=0, 得x1=－3，x2=1 函数值为f (－3)=27, f (1)=－5
(2) 区间[－4 , 4 ]端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76 当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：
3.3.3函数的最大 （小）值与导数
课前自主学案
求函数f(x)的极值 首先解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧_f_′__(_x_0)_＞__0，右侧 f′(x0)＜0 __________,那么f(x极0)是大函值数的_______； (2)如果在x0附近的左侧_f_′__(_x_0)_＜__0，右侧 f′(x0)＞0 __________,那么f(x极0)小是值函数的_______．
3、比较确定最值。
函数f (x) 6 12x x3在3，3上的
最大值为22，最小值为 10.
例2:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2] 上的最大值与最小值.
解: y 4x3 4x.
令 y 0,解得x=-1,0,1.
当x变化时, y, y 的变化情况如下表:
从上表可知,最大值是13,最小值是4.
y
y
Fra Baidu bibliotek
a
0
b
c
xa
0d
eb x
观察以上两个函数图象，它们在 a,b上 有
最大值，最小值吗？如果有，分别是什么？
一.最值的概念(最大值与最小值)
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如 果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值
列表：
x
f′(x)
f(x)
－1
11 2
(－1，－32)
＋
－23
0
157 27
(－23，1)
－
x
f′(x) f(x)
1
0
7 2
(1,2)
＋
2
7
∴当 x＝－23时，f(x)取得极大值 f－32＝5＋2227；
当 x＝1 时，f(x)取得极小值 f(1)＝72.
题型一：求函数的最大值和最小值
例1:求函数f (x) 6 12x x3在3，3上的最大值与最小值.
解：f ' x 12 3x2 x 3,3 1、求出所有导数为0的点；
令f ' x 0,解得：x 2或x 2
2、计算；
又f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f (3) 3
问题在于如果在没有给出函数图象的 情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值， 而f(b)是最大值呢？
求函数 y = f (x) 在[a,b]上的最大值与 最小值的步骤如下: (1) 求函数 y = f (x) 在 ( a, b ) 内的极值;
(2) 将函数 y = f (x) 的各极值点与端 点处的函数值f (a), f (b) 比较, 其中最 大的一个是最大值, 最小的一个是最 小值.
∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3. 又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3， f(－1)＝－7a＋3>f(2)， ∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29， ∴a＝2， ∴a＝2，b＝3.
与最值有关的恒成立问题 例4 已知 f(x)＝x3－12x2－2x＋5，当 x∈[－1,2]
数必有最大 值与最小值
y
因此：该函数没 有最值。
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6 b x
y
f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6 b x
求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是一个局部概念,而函数的最值是对 整个定义域而言,是一个整体性的概念.
时，f(x)<m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
【思路点拨】 把m>f(x)恒成立，转化为求f(x)在 [－1,2]上的最大值，只要m大于此最大值即可. 【解】 ∵f(x)＝x3－12x2－2x＋5， ∴f′(x)＝3x2－x－2.
令 f′(x)＝0，即 3x2－x－2＝0，∴x＝1，或 x
＝－23.
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
观察下列图形,你能找出函数的最值吗？
在x开区(a间, b内)
的连续函数 不一定有最 大值与最小 值.
x上在的［闭连a区,续b间函］
y
c
a
0d
eb x
观察图象，你能找出函数的极大值，极小值吗？
新课引入
极值是一个局部概念，极值只是某个点
的函数值与它附近点的函数值比较是最大 或最小,并不意味着它在函数的整个的定义 域内最大或最小。
在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问 题，这就是我们通常所说的最值问题.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间 (a,b)内的可导函数不一定有最值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有 一个。
观察右边一个 定义在区间[a,b] 上的函数y=f(x) 的图象：
a
y x1 o X2
y=f(x)
X3
bx
发现图中__f_(_x_1)_、__f(_x_3_) _是极小值，__f_(_x_2)____是极 大值，在区间上的函数的最大值是___f(_b_)_，最小值 是__f_(_x_3)__。
比较以上各函数值，可知函数在［－4 , 4 ］上的最大 值为 f (4) =76，最小值为 f (1)=－5
已知函数的最值求参数
例3 若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1,2] 的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值． 【思路点拨】 可先对f(x)求导，确定f(x)在[－ 1,2]上的单调性及最值，再建立方程从而求得a， b的值． 【解】 f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令 f′(x) ＝ 0 ， 得 x ＝ 0 ， x ＝ 4 ， ∵ x ∈ [ － 1,2] ， ∴x＝0. ∵a>0，∴f(x)，f′(x)随x变化情况如下表：