《材料力学》第9章 压杆稳定 习题解.pdf

弹性支座较合适。这种情况， 2 ，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座
上）、上端自由、长度为 l 的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度 C = M = 20 EI ，
l
则：
Pcr固端 Pcr弹簧
= 2.12 22
= 1.1025 ， Pcr固端
= 1.1025 Pcr,弹簧 。因此，校核丝杆稳定性时，把它
（e） l = 18 = 8m
（f） l = 0.7 5 = 3.5m（下段）； l = 0.55 = 2.5m（上段）
故图 e 所示杆 Fcr 最小，图 f 所示杆 Fcr 最大。
பைடு நூலகம்
[习题 9-3] 图 a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图 a）的基础放在弹性
地基上，第二根杆（图 b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为 Pcr
=
2EI ( .l ) 2
。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，
它们能承受的压力与 原压相的相当长度 l 的平方成反比，其中， 为与约束情况有关的长
度系数。
（a） l = 15 = 5m
（b） l = 0.7 7 = 4.9m
（c） l = 0.59 = 4.5m
（d） l = 2 2 = 4m
临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素 = 2 ，其临界
力为： Pcr
= 2 EI min (2.l ) 2
。但是，(a)
为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素
2 ，因此，不能用 Pcr
=
2 EI min (2.l ) 2
来计算临界力。
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为了考察（a）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B）的转动刚度 C = M = 20 EI ，
下标 e 表示端部 end 的意思。若取下截离体为研究对象，则 M e 的
转向为逆转。
M (x) = Pcr v(x) − M e
EIv" = −M (x) = M e − Pcr v(x)
EIv" + Pcr v(x) = M e
v" + Pcr v(x) = M e ，令 k 2 = Pcr ，则 k 2 = 1
EI
EI
EI
Pcr EI
v" + k 2v = k 2 Me P cr
上述微分方程的通解为：
v = Asin kx + B cos kx + M e …………………………….(a) Pcr
v' = Ak coskx− Bk sin kx
边界条件：① x = 0 ； v = 0 ： 0 = Asin 0 + B cos 0 + M e ； B = − M e 。
Pcr
Pcr
② x = 0 v' = 0： 0 = Ak cos 0 − Bk sin 0 ； A = 0 。
把 A、B 的值代入（a）得：
v = M e (1 − cos kx) v' = M e k sin kx
Pcr
Pcr
螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相 对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能 看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以 看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的
看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为 l 的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。
[习题 9-4] 试推导两端固定、弯曲刚度为 EI ，长度为 l 的等截面中心受压直杆的临界应力 Pcr 的欧拉公式。
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[解]：设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反
力为 Pcr ，水平反力为 0，约束反力偶矩两端相等，用 M e 表示，
解得：
A = Fcr ， B = − ， = Fcr sin kl − cos kl +
Ck
Ck
整理后得到稳定方程： kl tan kl = C = 20 EI / l
用试算法得：
kl = 1.496
故得到压杆的临界力： Fcr
= (1.496)2
EI l
=
2 EI (2.1l ) 2
。
因此，长度因素 可以大于 2。这与弹性支座的转动刚度 C 有关，C 越小，则 值越大。 当 C → 0 时， → 。
第九章 压杆稳定 习题解
[习题 9-1] 在§9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图 a 所示坐标系及挠度曲线
形状，导出了临界应力公式 Pcr
=
2EI l2
。试分析当分别取图 b,c,d
所示坐标系及挠曲线形
状时，压杆在 Fcr 作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同，由此所得 Fcr 公式又
临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的
位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即： Pcr
=
2EI l2
。
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[习题 9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 f 所示杆在中间支承处不能转动）？
解：压杆能承受的临界压力为：Pcr
=
2 EI min (2.l ) 2
？为什么？并由此判断压杆长因数 是否可能大于 2。
2
螺旋千斤顶（图 c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，
把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为 l 的压杆是否偏于安全？
解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的
l
且无侧向位移，则：
EIw" = −M (x) = Fcr ( − w)
令 Fcr = k 2 ，得： w" + k 2w = k 2
EI 微分方程的通解为： w = Asin kx + B cos kx +
w' = Ak coskx− Bk sin kx
由边界条件： x = 0 ， w = 0 ， w' = = M = Fcr ； x = l ， w = CC
是否相同。
解： 挠曲线微分方程与坐标系的 y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是
EIw" = −M (x) 。（c）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：
EIw" = M (x) ，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。